沖擊/周期載荷作用下分布式調(diào)諧質(zhì)量阻尼器對響應(yīng)控制的影響

宋吉祥，吳 煒，嚴定幫，郭雙喜，陳偉民

（1.中國科學(xué)院 力學(xué)研究所，北京 100190；2.中國空空導(dǎo)彈研究院，河南 洛陽 471009；3.中國科學(xué)院大學(xué) 工程科學(xué)學(xué)院，北京 100049）

0 引言

懸臂梁是一種常見的工程結(jié)構(gòu)，例如飛機機翼、吊車懸臂、混凝土泵車的懸臂、高壓電電塔懸臂、航天機械臂［1］、太陽翼［2］等。由于懸臂梁僅在一端有固定約束，結(jié)構(gòu)剛度低，所以在受動力荷載作用時，位移響應(yīng)大，應(yīng)力幅值偏高，容易導(dǎo)致結(jié)構(gòu)疲勞破壞。因此，如何有效抑制懸臂梁的振動響應(yīng)一直是工程上研究的熱點和難點。

事實上，關(guān)于懸臂梁/板振動控制的研究已有大量成果。例如，針對飛行器固定機翼的振動控制和顫振抑制，壓電結(jié)構(gòu)被廣泛使用，并且取得了良好 的成果［3-10］。FEI［11］使用基于xPC 目 標實時系統(tǒng)的主動控制方法，控制壓電作用器，抑制懸臂梁的振動。許睿等［12］基于模糊控制方法對柔性太陽能帆板振動進行了控制，數(shù)值結(jié)果表明采用變論域自適應(yīng)模糊控制比簡單模糊控制的效果更好，但是采用壓電材料不僅需要有外部電源且主動控制算法復(fù)雜，而被動控制由于不需要外部能量，并且構(gòu)造簡單、易于維護，因而得到廣泛關(guān)注。例如，調(diào)諧質(zhì)量阻尼器（Tuned Mass Damper，TMD）應(yīng)用于建筑結(jié)構(gòu)、橋梁、海洋工程、抗震工程［13-16］。BAE 等［17］將渦流阻尼器與調(diào)諧質(zhì)量阻尼器組合在一起控制懸臂梁振動，發(fā)現(xiàn)即使不調(diào)諧，該裝置依然可以增強TMD 的阻尼效果。VERMA 等［18］在安裝單樁式海上風(fēng)力渦輪機的葉片時，通過在風(fēng)塔上安裝TMD，降低風(fēng)塔與葉片的相對沖擊速度達到了40%。在已有研究中，針對懸臂梁的振動控制研究，一般都采用沖擊荷載［5-6，19］，實際工程中載荷情況復(fù)雜，不僅有沖擊荷載，周期載荷也是一種很常見的載荷情況。并且懸臂梁結(jié)構(gòu)在服役時，振動通常以低階模態(tài)為主導(dǎo)。所以本文針對常見的懸臂梁結(jié)構(gòu)，考慮兩種載荷激勵，即低階彎曲頻率的周期激勵荷載和沖擊荷載，通過安裝多個TMD，控制懸臂梁的振動位移，以期降低應(yīng)力幅值，提高結(jié)構(gòu)的疲勞壽命。

本文推導(dǎo)了安裝N個TMD 的懸臂梁動力學(xué)偏微分方程；使用有限元法對控制偏微分方程進行離散，轉(zhuǎn)為代數(shù)方程，便于求解計算；以一種典型尺寸的懸臂梁模型為例，進行周期荷載和沖擊荷載作用，研究TMD 對振動抑制效果；最后結(jié)果顯示，TMD 可以有效抑制懸臂梁的振動。

1 理論模型

1.1 含多TMD 的懸臂梁控制方程

一個安裝N個TMD 的懸臂梁結(jié)構(gòu)示意圖如圖1 所示。懸臂梁為等截面均勻梁，TMD 包括1 個質(zhì)量塊、1 個彈簧和1 個阻尼器。對于不考慮剪切變形的歐拉伯努利梁，其運動控制方程為

式中：y為懸臂梁的豎向位移；z為懸臂梁的橫向位置；EI為懸臂梁的抗彎剛度；mz為懸臂梁的單位長度質(zhì)量；c為阻尼系數(shù)；t為時間；f(s，t)為在s處t時刻施加的外部激勵荷載；fTMD，i(z，t)為第i個TMD對懸臂梁的作用力；mTMD，i、cTMD，i、yTMD，i(s，t)分別為第i個TMD 的質(zhì)量、阻尼系數(shù)和位移；δ(z-s)為狄利克雷函數(shù)，其表達式為

懸臂梁的一端固定，一端懸臂，邊界條件為

圖1 安裝TMD 的懸臂梁示意圖Fig.1 Schematic diagram of cantilever beam with TMD

1.2 基于FE 的多TMD 懸臂梁動響應(yīng)求解

本文采用有限元法對式（1）和式（2）進行離散，建立如下代數(shù)方程組：

式中：M為質(zhì)量矩陣；C為阻尼矩陣；K為剛度矩陣；Y為位移矩陣；F為外部激勵荷載矩陣；FTMD為N個TMD 對懸臂 梁的作 用力矩 陣；KTMD、CTMD、YTMD(s，t)、MTMD分 別為N個TMD 的剛度矩陣、阻尼矩陣、位移矩陣和質(zhì)量矩陣。

阻尼系數(shù)采用Rayleigh 阻尼計算，公式如下：

式中：a0和a1為常系數(shù)。

式中：ωn為第n階模態(tài)自振頻率。一般通過兩個關(guān)心的自振模態(tài)的振型阻尼比ξ計算獲得a0和a1。

動力學(xué)方程組求解使用Newmark-β方法，a=0.5，β=0.25，時間總長1 s，時間步長Δt取第4 階自振頻率ω4的1/20。Newmark-β方法如下：

式中：等效剛度矩陣和等效荷載向量分別為

2 算例和數(shù)值結(jié)果分析

通過數(shù)值算例，具體分析分布式調(diào)諧質(zhì)量阻尼器對懸臂梁振動的抑制效果。結(jié)構(gòu)參數(shù)見表1，懸臂梁在自重的作用下，懸臂端最大位移為0.0014 m，所以認為懸臂梁處于線彈性狀態(tài)。

表1 懸臂梁的結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.1 Structural parameters of cantilever beam

懸臂梁的自振頻率與自振模態(tài)形狀如圖2 所示，根據(jù)結(jié)構(gòu)動力學(xué)原理可知，在振動中低頻模態(tài)更容易被激發(fā)并在響應(yīng)中占主導(dǎo)，為了提高TMD抑制振動的效果，設(shè)計TMD 的自振頻率應(yīng)盡量與控制懸臂梁的目標頻率相同，以達到共振。本文設(shè)計TMD 參數(shù)時，以TMD 的自振頻率與控制懸臂梁的目標頻率相同為設(shè)計原則，設(shè)計針對前4 階模態(tài)的TMD 物理參數(shù)，并且在相應(yīng)模態(tài)振型最大位移位置處安裝TMD。另外，為了避免同一位置安裝多個TMD 導(dǎo)致相互碰撞，對TMD 安裝的位置進行了調(diào)整，放置模態(tài)振型的第2 個最值位置，如圖2 所示。TMD 的物理參數(shù)見表2。

假設(shè)1 階模態(tài)16.55 Hz 和2 階模態(tài)103.72 Hz的模態(tài)阻尼比ξ為0.05，根據(jù)式（8），可得Rayleigh阻尼系數(shù)a0=8.968，a1=1.30×10-4。

3 荷載作用下的振動抑制效果

3.1 周期荷載下的振動抑制效果

懸臂端豎向正弦荷載為

圖2 懸臂梁前4 階振型、自振頻率及TMD 安裝位置Fig.2 The first 4 modes of cantilever beam，natural frequency and TMD installation position

這里考慮與前4 階振動頻率相同的荷載頻率達到共振，增大響應(yīng)位移。荷載頻率ωi為第i階彎曲自振頻率，ω1=103.99 rad/s，ω2=651.69 rad/s，ω3=1 824.76 rad/s，ω4=3 576.01 rad/s。荷載激勵幅值f1=5 N，f2=150 N，f3=3 500 N，f4=15 000 N，荷載激勵幅值不同主要是為了使前4 階振動幅值比較接近。

通過懸臂梁響應(yīng)時域分析，根據(jù)懸臂端位移時程結(jié)果，研究設(shè)計不同TMD 數(shù)量對懸臂端位移的振動控制效果的影響，如圖3 所示。考慮4 個工況，工況（a）為一個TMD 安裝在1.00 m 處控制1 階振動的情況，工況（b）為2個TMD 分別安裝在1.00 m 和0.45 m處控制1、2 階振動的情況，工況（c）為3 個TMD 分別安裝在1.0 m、0.45 m、0.30 m 處控制1、2、3 階振動的情況，工況（c）為4 個TMD 安裝在1.00 m、0.45 m、0.30 m 和0.20 m 處控制1、2、3、4階振動的情況。

表2 TMD 的物理參數(shù)Tab.2 Physical parameters of TMD

如圖3 所示，在激勵荷載作用下位移響應(yīng)很快上升到最大，然后隨著時間的增加，位移逐漸變小，達到穩(wěn)定狀態(tài)。在4 個工況下，控制前的懸臂端位移均大于控制后的懸臂端位移，說明TMD 可以抑制懸臂梁的振動。為了定量分析控制效果，選取穩(wěn)定段0.8 s～1.0 s 的最大位移進行比較，控制前為0.045 m，抑制后4 個工況的位移依次為0.024 0 m、0.022 2 m、0.021 8 m 和0.021 2 m，控制位移降低比例分別是46.67%、51.11%、51.56%和52.89%。由此可知，采用單個TMD（即工況（a））的抑制效果最低，而隨著安裝TMD 數(shù)量的增加，抑制效果逐漸增加并不斷改善，直至采用4 個TMD（工況（d））時抑制效果達到最佳，因此，安裝TMD 數(shù)量越多抑制效果也越好。但是，如果關(guān)注單個TMD 的控制效率，即平均單個TMD 抑制位移效果的值分別為46.67%、25.56%、17.19%、13.22%，可見隨著安裝TMD 的數(shù)量增加，平均單個TMD 抑制位移效果的值明顯下降。TMD 的安裝數(shù)量需要進行合理的計算，并非越多越好。

觀察響應(yīng)頻譜，對穩(wěn)定段0.8 s～1.0 s 的懸臂端位移進行傅里葉變換，如圖4 所示。盡管控制前后的前四階自振頻率變化較小，但是頻譜峰值顯著降低。尤其是第1 階、第2 階彎曲自振頻率的幅值，隨著TMD 的數(shù)量增加顯著降低。但是第3 階、第4 階彎曲自振頻率的幅值，TMD 的數(shù)量增加并沒有降低幅值。采用1 個TMD 控制第1 階彎矩振動的效果最為顯著，因為增加的TMD 與懸臂梁組成了新的動力系統(tǒng)，系統(tǒng)的質(zhì)量增加，自振頻率降低，與激勵荷載頻率不再一致，共振效果減弱。采用多個TMD 雖然進一步降低了自振頻率，因自振頻率距離激勵荷載頻率較遠，以致從懸臂梁傳遞到TMD的能量較小，故懸臂梁振動幅值下降緩慢。

3.2 沖擊荷載下的振動抑制效果

瞬時沖擊荷載如圖5 所示，安裝不同的TMD 數(shù)量對懸臂端位移的振動響應(yīng)結(jié)果如圖6 所示。

圖3 安裝不同的TMD 數(shù)量對懸臂端位移的振動控制Fig.3 Vibration control of cantilever end displacement by installing different TMD numbers

圖4 在0.8 s～1.0 s 懸臂端的豎向位移頻譜和峰值Fig.4 The spectrum and peak values of the vertical displacement of the cantilever end in 0.8 s～1.0 s

圖5 沖擊荷載Fig.5 Impact load

結(jié)構(gòu)在第1 個振動周期達到位移最大，隨著時間的增加，在結(jié)構(gòu)阻尼的作用下，位移緩慢降低。當安裝TMD 后，第1 個振動周期的位移減小，最大位移降低比例分別12.31%、11.59%、14.63%、14.87%?？梢姡琓MD 可以減小懸臂梁在沖擊荷載作用下的最大位移。但是，從0.2 s 之后，安裝TMD的懸臂端位移比沒有安裝TMD 的懸臂端位移大，因為從懸臂梁傳導(dǎo)到TMD 的能量沒有被迅速消耗，可以增加TMD 的阻尼增加能量消耗速度，降低位移幅值。所以，TMD 不能迅速抑制懸臂梁的自由衰減振動。

圖6 安裝不同的TMD 數(shù)量對懸臂端位移的振動控制Fig.6 Vibration control of cantilever end displacement by installing different TMD numbers

懸臂端位移譜如圖7 所示。圖中可知，懸臂梁的自由衰減運動中僅有1 階和2 階彎曲振動響應(yīng)較大，并且1 階彎曲振動幅值遠大于2 階彎曲振動幅值，3、4 階彎曲等高階模態(tài)難以被沖擊載荷激勵。當 安裝1 個或者2 個TMD 時，懸臂 梁?TMD 系 統(tǒng)的1 階彎曲自振頻率幅值相差較小，懸臂端位移沒有2 階彎曲自振頻率參與振動；當安裝3 個或者4 個TMD 時，系統(tǒng)一階彎曲自振頻率幅值接近，頻率比懸臂梁的1 階彎曲自振頻率低，但是在60 Hz 處頻率幅值大于零，可能是由于懸臂梁將能量傳遞給第3 個、第4 個TMD。TMD 在通過自身阻尼耗散能量的過程中，對懸臂梁產(chǎn)生了激勵荷載。

圖7 懸臂端位移頻譜Fig.7 Spectrum of cantilever end displacement

在沖擊荷載作用下，振動響應(yīng)以一階彎曲為主，因為高階振動頻率需要的激勵荷載幅值較大，而且頻率高，單位時間內(nèi)的能量需求高，所以高階振動頻率難以激發(fā)。即使高階振動被激發(fā)，在沒有穩(wěn)定的激勵荷載的作用下，由于阻尼效應(yīng)，也會迅速耗散靜止。因此，懸臂梁的振動控制應(yīng)該關(guān)注于低階模態(tài)。

4 結(jié)束語

本文研究了采用多個分布式調(diào)諧質(zhì)量阻尼器（TMD）對懸臂梁進行振動的控制，通過數(shù)值分析，分別研究了周期荷載和沖擊荷載作用下梁振動控制的效果。數(shù)值結(jié)果表明：

1）TMD 可以有效抑制懸臂梁的振動。在周期荷載作用下，懸臂端的位移降低46.67%。在沖擊荷載作用下，懸臂端最大位移降低12.31%，但是不能迅速抑制自由衰減振動。

2）在周期荷載和沖擊荷載作用下，由于結(jié)構(gòu)1 階彎曲自振頻率遠低于其他階彎曲自振頻率，激發(fā)高階模態(tài)所需要的荷載幅值遠大于1 階；考慮到結(jié)構(gòu)低階彎曲振動在響應(yīng)中占主導(dǎo)，控制懸臂梁的振動應(yīng)該關(guān)注于低階模態(tài)。

3）TMD 的分布形式對控制效果有重要的影響。當使用1 個TMD 抑制振動時，建議TMD 最好安裝在懸臂端部，且自振頻率應(yīng)與懸臂梁1 階彎曲頻率相等；采用多個TMD 可以提高控制效果，但需要安裝不同的位置以防碰撞，但平均單個TMD 抑制效果降低。