基于貝葉斯理論的小子樣運(yùn)載火箭可靠性評(píng)估技術(shù)

宋征宇，方志耕，赫武樂(lè)，孫云柯，王 召，李彩霞，劉思峰

（1. 中國(guó)運(yùn)載火箭技術(shù)研究院，北京 100076；2. 南京航空航天大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，南京 211106）

引 言

運(yùn)載火箭研制具有高成本、高可靠和高風(fēng)險(xiǎn)等特點(diǎn)。為保證執(zhí)行任務(wù)足夠高的可靠性，開(kāi)展可靠性分析、評(píng)估等量化工作尤為關(guān)鍵。選取恰當(dāng)?shù)目煽啃栽u(píng)估方法是運(yùn)載火箭研制工程的迫切需求。

經(jīng)典可靠性評(píng)估理論和方法是基于概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)建立的，由產(chǎn)品可靠性試驗(yàn)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)推斷產(chǎn)品的可靠性。基于概率論的可靠性評(píng)估，需要首先擬合產(chǎn)品壽命分布。從實(shí)際來(lái)看，電子產(chǎn)品、機(jī)械產(chǎn)品和機(jī)電產(chǎn)品等不同類(lèi)型產(chǎn)品服從不同的壽命分布模型。針對(duì)常見(jiàn)單元分布類(lèi)型的經(jīng)典可靠性評(píng)估方法，Epstein B.等，Weibull W.，Daniels H.E.，分別對(duì)指數(shù)型、Weibull型、正態(tài)型、對(duì)數(shù)正態(tài)型單元的評(píng)估方法進(jìn)行了研究[1-3]?，F(xiàn)有運(yùn)載火箭單機(jī)產(chǎn)品可靠性評(píng)估模型主要包括指數(shù)壽命、性能正態(tài)等評(píng)估方法、應(yīng)力–強(qiáng)度法等。呂箴等在對(duì)運(yùn)載火箭典型產(chǎn)品常用可靠性評(píng)估特征量提取的基礎(chǔ)上，針對(duì)新一代運(yùn)載火箭機(jī)構(gòu)類(lèi)產(chǎn)品構(gòu)成復(fù)雜、失效模式種類(lèi)繁多，部分產(chǎn)品評(píng)估信息少的問(wèn)題，提出“三要素”可靠性評(píng)估方法[4]。申桂香等[5]采用極大似然估計(jì)與參數(shù)偏差修正方法，對(duì)威布爾分布中的參數(shù)進(jìn)行了估計(jì)與修正，對(duì)于數(shù)控機(jī)床可靠性評(píng)估中的小樣本類(lèi)型故障數(shù)據(jù)處理方法進(jìn)行了研究，結(jié)果對(duì)可靠性評(píng)估模型的偏差修正具有顯著效果。平仕良等[6]結(jié)合結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)應(yīng)力、振動(dòng)等量化參數(shù)，在考慮運(yùn)載火箭發(fā)射臺(tái)的熱燒蝕、振動(dòng)環(huán)境等影響下，采用專(zhuān)家模糊評(píng)分和層次分析法，對(duì)運(yùn)載火箭發(fā)射臺(tái)主體結(jié)構(gòu)可靠性進(jìn)行了評(píng)估。馮鐵山等[7]以試驗(yàn)階段和相似系統(tǒng)飛行試驗(yàn)的有關(guān)歷史數(shù)據(jù)為先驗(yàn)信息，綜合現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)信息，運(yùn)用貝葉斯公式對(duì)運(yùn)載火箭系統(tǒng)可靠性進(jìn)行了評(píng)估。根據(jù)已有對(duì)運(yùn)載火箭可靠性評(píng)估的研究可知，在對(duì)運(yùn)載火箭首飛可靠性評(píng)估的過(guò)程中，受限于試驗(yàn)周期短，試驗(yàn)樣本成本高等因素，可靠性試驗(yàn)子樣相對(duì)較少，數(shù)據(jù)較為匱乏，因此運(yùn)載火箭的可靠性評(píng)估是典型的小子樣可靠性評(píng)估問(wèn)題。

在國(guó)內(nèi)外研究中，小子樣可靠性評(píng)定方法在不斷涌現(xiàn)，有置信區(qū)間法、貝葉斯方法、信息熵法、近似正態(tài)法、矩估計(jì)法等[8-11]。Hathout[12]將概率論和模糊理論相結(jié)合，應(yīng)用于可靠性和安全性評(píng)估問(wèn)題；Bourinet等將信息熵法應(yīng)用于離散狀態(tài)空間馬爾可夫鏈模型，用交叉熵逐步更新傳遞概率矩陣，改進(jìn)了蒙特卡羅方法在可靠性評(píng)估中的應(yīng)用[13]；文獻(xiàn)[14]提出了一種利用少量有價(jià)值產(chǎn)品的試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行可靠性評(píng)估的方法，將仿真或數(shù)字設(shè)計(jì)結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)相結(jié)合，推斷出多狀態(tài)（多種群）下的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，該方法不僅可以估計(jì)每個(gè)狀態(tài)下的均值和方差，還可以估計(jì)總體百分位數(shù)和百分比的置信限和區(qū)間，與傳統(tǒng)的可靠性評(píng)估方法相比，該方法具有較高的精度，解決了單一狀態(tài)下的可靠性評(píng)估問(wèn)題；文獻(xiàn)[15]針對(duì)核工程和航天工程中的小樣本高可靠性安全失效模式器件的可靠性評(píng)估難題，分析了貝葉斯統(tǒng)計(jì)、改進(jìn)的貝葉斯方法和貝葉斯網(wǎng)絡(luò)等可靠性評(píng)估方法，出于計(jì)算量、建模及信息處理方面的考慮，在實(shí)際可靠性工程中常用貝葉斯方法來(lái)解決小子樣復(fù)雜裝備可靠性評(píng)估，它是是解決可靠性信息不足的有效方法，能夠較好地綜合利用各種主、客觀(guān)的先驗(yàn)信息以及多層的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，相比傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)方法減少了所需試驗(yàn)次數(shù)、縮短了試驗(yàn)周期，節(jié)約了試驗(yàn)成本，提高了試驗(yàn)效率。美軍在80年代就采用貝葉斯小子樣理論進(jìn)行“潘興Ⅱ”導(dǎo)彈的可靠性評(píng)定。1984年，美軍提出：對(duì)于昂貴武器系統(tǒng)進(jìn)行破壞性試驗(yàn)必須采用序貫分析方法或貝葉斯小子樣理論。俄羅斯和法國(guó)在進(jìn)行系統(tǒng)可靠性評(píng)定時(shí)，也十分強(qiáng)調(diào)充分利用補(bǔ)充信息的貝葉斯方法或貝葉斯經(jīng)驗(yàn)方法[16]。綜合上述研究可以發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)有方法大多以工程經(jīng)驗(yàn)信息和歷史試驗(yàn)信息作為先驗(yàn)信息，并結(jié)合現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)信息對(duì)產(chǎn)品可靠性進(jìn)行評(píng)估。

貝葉斯方法能夠較好地綜合利用各種主、客觀(guān)的先驗(yàn)信息以及多層的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，解決可靠性信息不足的問(wèn)題，在實(shí)際可靠性工程中常被用于小子樣復(fù)雜裝備的可靠性評(píng)估。因此，近年來(lái)小子樣系統(tǒng)的Bayes可靠性綜合方法在國(guó)內(nèi)外得到了更多的研究和應(yīng)用[17-20]。郭凱紅[21]介紹了基于貝葉斯理論的小子樣可靠性評(píng)估的流程、數(shù)學(xué)模型、數(shù)值計(jì)算方法，建立了可靠性評(píng)估應(yīng)用方案，有效指導(dǎo)了該系統(tǒng)的可靠性評(píng)估工作，為其它型號(hào)開(kāi)展小子樣可靠性評(píng)估應(yīng)用提供借鑒。羅潤(rùn)[22]結(jié)合工程經(jīng)驗(yàn)，介紹了貝葉斯方法在飛機(jī)可靠性評(píng)估工作中的應(yīng)用。李婧等[23]將貝葉斯理論運(yùn)用于武器裝備的貯存可靠性評(píng)估問(wèn)題，結(jié)合貯存期間檢測(cè)數(shù)據(jù)，構(gòu)建了基于貝葉斯推斷的指數(shù)型單元貯存效果評(píng)估模型，對(duì)指數(shù)型單元貯存效果實(shí)現(xiàn)進(jìn)行了合理的評(píng)估。周源泉等[24]進(jìn)行了“長(zhǎng)征”系列運(yùn)載火箭可靠性增長(zhǎng)分析，并分別用經(jīng)典和貝葉斯方法對(duì)當(dāng)前LM火箭的可靠性進(jìn)行了評(píng)估，驗(yàn)證了貝葉斯方法在運(yùn)載火箭可靠性評(píng)估方面的有效性。伯仲干等[25]針對(duì)不同分布類(lèi)型的單元，對(duì)成敗型、指數(shù)型和weibull型分布單元貝葉斯可靠性評(píng)估方法進(jìn)行了研究，并提出了基于信度加權(quán)的單元可靠性數(shù)據(jù)融合評(píng)估新方法，對(duì)傳統(tǒng)的貝葉斯可靠性評(píng)估方法作出了改進(jìn)。李大偉等[26]針對(duì)現(xiàn)場(chǎng)使用可靠性信息收集困難的問(wèn)題，利用貝葉斯方法處理產(chǎn)品備件需求信息，對(duì)長(zhǎng)期貯存產(chǎn)品的使用可靠性進(jìn)行評(píng)估。邵松世等[27]通過(guò)定義不同先驗(yàn)信息的似然函數(shù)系數(shù)，進(jìn)行了貝葉斯可靠性評(píng)估中多源先驗(yàn)數(shù)據(jù)的融合方法研究，建立了指數(shù)型備件可靠性的貝葉斯評(píng)估方法，提升了評(píng)估結(jié)果的準(zhǔn)確度與穩(wěn)定性。綜合上述研究，近年來(lái)小子樣系統(tǒng)的貝葉斯可靠性綜合方法得到了很多研究和應(yīng)用，特別是在有較多的歷史數(shù)據(jù)或較強(qiáng)的主觀(guān)信息的場(chǎng)合，不僅可以節(jié)省大量的試驗(yàn)經(jīng)費(fèi)，還可縮短整個(gè)系統(tǒng)的研制周期，已成為可靠性工程師和統(tǒng)計(jì)工作者普遍研究的方法。但現(xiàn)有的小子樣貝葉斯可靠性評(píng)估方法的共軛先驗(yàn)分布獲取基本還建立在經(jīng)典的共軛先驗(yàn)分布表基礎(chǔ)之上，針對(duì)威布爾分布這類(lèi)總體分布，由于沒(méi)有共軛先驗(yàn)分布，先驗(yàn)分布的獲取極為困難，貝葉斯推導(dǎo)繁雜且大概率無(wú)解。

本文針對(duì)威布爾、二項(xiàng)、指數(shù)3個(gè)可靠性評(píng)估工作中的典型總體分布，采取新的建模策略，分別構(gòu)建相應(yīng)的可靠性評(píng)估貝葉斯模型，解決威布爾分布沒(méi)有共軛先驗(yàn)分布的總體分布貝葉斯建模與求解問(wèn)題。本文充分利用歷史統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)、經(jīng)驗(yàn)信息及小樣本數(shù)據(jù)，做出設(shè)備可靠性參數(shù)的貝葉斯估計(jì)。通過(guò)數(shù)據(jù)處理、模型構(gòu)建、求解等過(guò)程，總結(jié)了基于貝葉斯理論的小子樣可靠性評(píng)估流程。最后，對(duì)運(yùn)載火箭相關(guān)設(shè)備可靠度進(jìn)行評(píng)估，通過(guò)案例分析、方法對(duì)比，驗(yàn)證本文方法的有效性與優(yōu)越性。

1 基于貝葉斯理論的小子樣運(yùn)載火箭可靠性評(píng)估模型建立

1.1 貝葉斯估計(jì)

貝葉斯公式的一般形式為

其中：p(x|θ)為隨機(jī)變量x的似然函數(shù)；π(θ)為參數(shù)θ 的先驗(yàn)分布密度；π(θ|x)為參數(shù)θ 的后驗(yàn)分布密度。

當(dāng)θ 是離散隨機(jī)變量時(shí)，貝葉斯公式為

由貝葉斯公式可知：在試驗(yàn)X=x前，對(duì)參數(shù)的認(rèn)識(shí)總結(jié)于π(θ)中，而試驗(yàn)X=x所取得的關(guān)于的新信息則包含在似然函數(shù)p(x|θ)中，經(jīng)修正后，先驗(yàn)分布π(θ)變?yōu)楹篁?yàn)分布π (θ|x)，即經(jīng)實(shí)踐后，修正了原有的認(rèn)識(shí)，達(dá)到了更高一級(jí)的認(rèn)識(shí)。貝葉斯公式中后驗(yàn)分布是綜合了先驗(yàn)分布信息和樣本信息。

事實(shí)證明，定理的分母項(xiàng)不依賴(lài)于參數(shù)θ ，因此貝葉斯公式也可以表示為

1.2 威布爾型設(shè)備可靠度評(píng)估貝葉斯模型

威布爾分布對(duì)各種類(lèi)型試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合能力極強(qiáng)，能擬合運(yùn)載火箭中大多數(shù)設(shè)備、系統(tǒng)的壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)，構(gòu)建二參數(shù)威布爾壽命分布設(shè)備的貝葉斯可靠性評(píng)估模型為

1）威布爾總體分布

總體分布為威布爾分布，其分布函數(shù)為

其中：m為形狀參數(shù)；η 為設(shè)備的特征壽命。

可靠度函數(shù)為

令λ=η?m，則式（5）等價(jià)于

由于在可靠性評(píng)定過(guò)程中，威布爾參數(shù)的共軛先驗(yàn)分布不存在，因此考慮其可靠性函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，采用指數(shù)分布的共軛先驗(yàn)分布，即伽馬分布擬合先驗(yàn)數(shù)據(jù)信息，且伽馬分布的分布族非常豐富，基本能擬合絕大部分分布情況，其表達(dá)式易于進(jìn)行貝葉斯推斷。因此將威布爾分布轉(zhuǎn)化為關(guān)于統(tǒng)計(jì)量 λ的指數(shù)函數(shù)，由表1可知，指數(shù)函數(shù)的共軛先驗(yàn)分布為伽馬分布，則取λ 的共軛先驗(yàn)分布進(jìn)行下一步的計(jì)算。

表1 常見(jiàn)的共軛先驗(yàn)分布Table 1 The usual conjugate prior distribution

假設(shè)

根據(jù)設(shè)備可靠性先驗(yàn)信息，以矩估計(jì)的方法求解（a，b），解方程組（8）

即有統(tǒng)計(jì)量λ 的先驗(yàn)分布

3）總體、樣本信息的似然函數(shù)

n個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行試驗(yàn)，截尾時(shí)間為t，則壽命服從威布爾在無(wú)失效的情況下，λ 的似然函數(shù)為

4）統(tǒng)計(jì)量λ 的后驗(yàn)分布

根據(jù)貝葉斯公式結(jié)合公式（8）、（9），可得λ 的后驗(yàn)密度為

5）設(shè)備特征壽命的置信下限計(jì)算

設(shè)特征壽命η 的置信下限為ηL，即滿(mǎn)足

則一定任務(wù)時(shí)間t的可靠度為

其中：m為形狀參數(shù)，取2或2.4； η為特征壽命；t為規(guī)定任務(wù)時(shí)間。

1.3 成敗型設(shè)備可靠度評(píng)估貝葉斯模型

成敗型單元可靠度總體分布服從二項(xiàng)分布，參見(jiàn)表1，工程上通常以 β分布作為共軛先驗(yàn)分布，求解后驗(yàn)分布，評(píng)估產(chǎn)品可靠度。

1）先驗(yàn)分布：f0(R)=β(R|s0,f0)，由先驗(yàn)數(shù)據(jù)可得成功次數(shù)s0和失敗次數(shù)f0。

3）后驗(yàn)密度則由貝葉斯定理確定

4）在置信度 γ的可靠度置信下限RL,B為

由此可求得可靠度置信下限RL,B。

1.4 指數(shù)型設(shè)備可靠度評(píng)估貝葉斯模型

指數(shù)分布描述了產(chǎn)品處在隨機(jī)失效階段時(shí)的壽命分布，由于這個(gè)階段占據(jù)了產(chǎn)品的大部分工作時(shí)間，因此指數(shù)壽命型分布是可靠性工程領(lǐng)域最常見(jiàn)的一種分布類(lèi)型。

在指數(shù)型設(shè)備的可靠性評(píng)估中，對(duì)于設(shè)備的檢驗(yàn)方式有定時(shí)截尾（有替換、無(wú)替換），定數(shù)截尾（有替換、無(wú)替換）以及隨機(jī)截尾的檢驗(yàn)方式。主要評(píng)估的指標(biāo)有故障率 λ的上限λu或平均壽命θ （θ = λ?1）的下限 θL，可靠度R（R=e?λt0）下限RL以及給定可靠度的壽命tR（tR= λ?1ln(1/R)）下限tR,L，以下利用有替換定時(shí)截尾試驗(yàn)數(shù)據(jù)，構(gòu)建指數(shù)型部件可靠度貝葉斯模型[28]。

1）指數(shù)型總體分布

從壽命服從指數(shù)分布F(t)=1?e?λt的母體中抽樣，作n個(gè)產(chǎn)品的有替換定時(shí)截尾試驗(yàn)，總試驗(yàn)時(shí)間τ，試驗(yàn)時(shí)間內(nèi)失效數(shù)為z，規(guī)定任務(wù)時(shí)間為t，其失效率服從分布。

2）失效率λ、可靠度R的先驗(yàn)分布

由表1可知，取失效率λ共軛先驗(yàn)分布為伽馬分布，其先驗(yàn)密度函數(shù)為

其中：z0為形狀參數(shù)；τ0為尺度參數(shù)。

則根據(jù)變換下的不變性原則可得該單元的任務(wù)時(shí)間的可靠度R=R(t)=e?λt的先驗(yàn)分布為

即R的共軛驗(yàn)前分布為負(fù)對(duì)數(shù)伽瑪分布，記為L(zhǎng)Γ(z0,τ0/t)，并記 β =τ0/t。

3）先驗(yàn)超參數(shù)的確定

z0和τ0可由先驗(yàn)信息直接確定，即在總時(shí)間為τ0的試驗(yàn)中失效數(shù)為z0。也可在已知參數(shù)λ的驗(yàn)前期望與方差的情況下，通過(guò)求解方程組（19）來(lái)確定

4）可靠度R的后驗(yàn)分布

根據(jù)貝葉斯定理，代入現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)樣本，整理可得到后驗(yàn)分布如下

5）設(shè)備可靠度的置信下限計(jì)算

將 π (R|D)代入下面式子，即可求出產(chǎn)品在給定置信度γ下的置信下限RL

2 基于貝葉斯理論的小子樣可靠性評(píng)估流程

以貝葉斯方法為主，經(jīng)典方法為輔，通過(guò)前期對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的收集與預(yù)處理，結(jié)合不同類(lèi)型設(shè)備的工作原理，利用貝葉斯定理可最終得出產(chǎn)品（包括系統(tǒng)、分系統(tǒng)、單元）的可靠性、貝葉斯可靠性下限等參數(shù)的評(píng)估結(jié)果，驗(yàn)證產(chǎn)品是否達(dá)到了分配和預(yù)計(jì)的可靠性指標(biāo)，形成一套完整的產(chǎn)品可靠性評(píng)估方案。

步驟1：試驗(yàn)數(shù)據(jù)的獲取和預(yù)處理

對(duì)產(chǎn)品（單元、分系統(tǒng)、系統(tǒng)）的可靠性數(shù)據(jù)進(jìn)行完善的記錄并進(jìn)行初步的統(tǒng)計(jì)分析?？煽啃詳?shù)據(jù)包括試驗(yàn)數(shù)據(jù)和現(xiàn)場(chǎng)數(shù)據(jù)。試驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)自可靠性試驗(yàn)、壽命試驗(yàn)、加速壽命試驗(yàn)、功能試驗(yàn)、環(huán)境試驗(yàn)和綜合試驗(yàn)等?？煽啃栽囼?yàn)主要以截尾試驗(yàn)為主，一般為定數(shù)截尾試驗(yàn)、定時(shí)截尾試驗(yàn)和隨機(jī)截尾試驗(yàn)等。運(yùn)載火箭設(shè)備單元主要有電子產(chǎn)品、機(jī)械產(chǎn)品和機(jī)電產(chǎn)品，單元設(shè)備的可靠性分布模型一般有兩項(xiàng)、指數(shù)、Weibull、正態(tài)和對(duì)數(shù)正態(tài)模型。

步驟2：先驗(yàn)信息的獲取、轉(zhuǎn)換和表示

先驗(yàn)信息主要來(lái)源于單元測(cè)試的歷史信息、類(lèi)似單機(jī)產(chǎn)品的測(cè)試信息、單機(jī)仿真數(shù)據(jù)以及專(zhuān)家經(jīng)驗(yàn)信息等，以上信息具有不確定性和一定程度上的主觀(guān)性，為使提出的方法具有嚴(yán)密的理論基礎(chǔ)，應(yīng)首先建立先驗(yàn)信息的統(tǒng)計(jì)信息。

可靠性信息可以分布函數(shù)的形式體現(xiàn)，這是較為理想的表達(dá)方式。對(duì)于貝葉斯理論在可靠性評(píng)估中的應(yīng)用，合理選取先驗(yàn)分布才能保證評(píng)估結(jié)果有足夠穩(wěn)健性和可信度。構(gòu)建先驗(yàn)分布的方法有多種，這里主要應(yīng)用最方便、廣泛的共軛先驗(yàn)分布。

共軛先驗(yàn)分布概念清晰，相關(guān)參數(shù)可由相對(duì)最小二乘或歷史試驗(yàn)數(shù)據(jù)確定，計(jì)算簡(jiǎn)便。因此共軛先驗(yàn)分布也是工程上應(yīng)用最廣泛的。表1給出了常見(jiàn)共軛先驗(yàn)分布。共軛先驗(yàn)分布的提出解決了貝葉斯推斷中后驗(yàn)分布難以推出的難點(diǎn)，可以通過(guò)簡(jiǎn)單的數(shù)字計(jì)算得到后驗(yàn)分布。同時(shí)，常見(jiàn)的共軛先驗(yàn)分布，分布族豐富，能擬合絕大多數(shù)先驗(yàn)信息。

其它常見(jiàn)的方法還有最大熵先驗(yàn)分布、蒙特卡羅法、Gibbs抽樣法、Bootstrap及隨機(jī)加權(quán)法。

以上4種先驗(yàn)分布確定方法中，共軛先驗(yàn)分布和最大熵方法適用于結(jié)構(gòu)較為簡(jiǎn)單的單元或系統(tǒng)，在許多研究中將這兩種方法結(jié)合使用，利用最大熵方法求解共軛先驗(yàn)分布中的超參數(shù)，既可保持共軛先驗(yàn)分布的“繼承性”優(yōu)勢(shì)，又可減少主觀(guān)因素的滲入，使計(jì)算結(jié)果更加精確；蒙特卡羅、Gibbs抽樣法及Bootstrap隨機(jī)加權(quán)法適用于結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜的單元或系統(tǒng)，Bootstrap與隨機(jī)加權(quán)法也適用于小樣本情況下的先驗(yàn)分布構(gòu)建。

步驟3：后驗(yàn)分布的確定

結(jié)合貝葉斯定理，參數(shù)的后驗(yàn)分布正比于其先驗(yàn)分布與試驗(yàn)結(jié)果的似然函數(shù)之積，似然函數(shù)根據(jù)先驗(yàn)信息較容易求得。根據(jù)后驗(yàn)分布，可求得設(shè)備的可靠度、貝葉斯可靠性下限等參數(shù)，得到指標(biāo)驗(yàn)證結(jié)論。

利用貝葉斯方法的設(shè)備可靠性評(píng)定流程如圖1所示：

圖1 基于貝葉斯理論的設(shè)備可靠性評(píng)定流程Fig. 1 The process of equipment reliability evaluation based on the Bayesian theory

3 案例研究——基于貝葉斯理論的運(yùn)載火箭設(shè)備可靠性評(píng)估

以某型號(hào)運(yùn)載火箭為例，該系統(tǒng)包括電子產(chǎn)品、機(jī)械產(chǎn)品和機(jī)電產(chǎn)品等服從不同壽命分布模型的單元。本節(jié)選取3種典型的運(yùn)載火箭設(shè)備，結(jié)合上文提出的基于貝葉斯理論的可靠性評(píng)估方法，根據(jù)歷史經(jīng)驗(yàn)以及試驗(yàn)數(shù)據(jù)等先驗(yàn)信息，構(gòu)建不同工作環(huán)境下相應(yīng)分布類(lèi)型的可靠性評(píng)估模型，以對(duì)其進(jìn)行可靠性評(píng)定。

3.1 氧地面增壓管

3.1.1 飛行可靠度

1）試驗(yàn)數(shù)據(jù)及已知信息

氧地面增壓管屬于機(jī)械產(chǎn)品，其壽命服從威布爾分布，現(xiàn)對(duì)氧地面增壓管進(jìn)行可靠性評(píng)定。經(jīng)過(guò)關(guān)聯(lián)聚類(lèi)分析，選取類(lèi)似產(chǎn)品氫地面增壓管（試驗(yàn)時(shí)間18 540 s），將類(lèi)氫地面增壓管試驗(yàn)信息（試驗(yàn)時(shí)間18 540 s）作為先驗(yàn)信息，代入威布爾分布可靠度計(jì)算公式，計(jì)算得先驗(yàn)可靠度，由可靠性基本理論，可計(jì)算其特征壽命ηL（可靠度為0.368時(shí)對(duì)應(yīng)的壽命）以及壽命方差σ(η)2，步驟如下

2）給出先驗(yàn)分布

從先驗(yàn)信息可知氧地面增壓管的特征壽命為100，壽命方差約為10，代入公式（8）

可得a= 0.000 000 1，b= 0.000 011

3）計(jì)算可靠度置信下限

在置信度為0.7的情況下，將已知數(shù)據(jù)a、b代入式（10），計(jì)算設(shè)備特征壽命的置信度下限

4）規(guī)定任務(wù)時(shí)間內(nèi)可靠度計(jì)算

在規(guī)定任務(wù)時(shí)間為1 min的條件下，將特征壽命置信下限代入式（14）求解設(shè)備飛行可靠度

解得Rt=0.995994790960113。

3.2 液體發(fā)動(dòng)機(jī)

3.2.1 發(fā)射可靠度

A100發(fā)動(dòng)機(jī)屬于機(jī)電產(chǎn)品，其點(diǎn)火試驗(yàn)數(shù)據(jù)服從二項(xiàng)分布，以貝塔分布作為先驗(yàn)分布，求解后驗(yàn)分布，評(píng)估產(chǎn)品發(fā)射可靠度。

1）試驗(yàn)數(shù)據(jù)及已知信息

現(xiàn)對(duì)A100發(fā)動(dòng)機(jī)進(jìn)行可靠性評(píng)定，已檢驗(yàn)其點(diǎn)火成功與否服從二項(xiàng)分布。以A115發(fā)動(dòng)機(jī)作為先驗(yàn)試驗(yàn)數(shù)據(jù)，其總共實(shí)驗(yàn)40次，失效次數(shù)f0= 1，成功次數(shù)s0= 39。

2）給出先驗(yàn)分布

以貝塔分布作為先驗(yàn)分布，將已知數(shù)據(jù)代入公式求得共軛型先驗(yàn)密度函數(shù)

其發(fā)生的概率為

3）確定后驗(yàn)密度

A100發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火成功次數(shù)284次，失效0次，其二項(xiàng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果（s，f）=（284，0），則A100發(fā)動(dòng)機(jī)的后驗(yàn)密度由貝葉斯定理確定

4）可靠度置信下限計(jì)算

置信度為0.7的可靠度置信下限為

由Excel中Beta.inv函數(shù)計(jì)算結(jié)果為

3.3 碳化硅功率器件

碳化硅功率器件屬于航天電子產(chǎn)品，已檢驗(yàn)其壽命服從指數(shù)分布，對(duì)其進(jìn)行定時(shí)截尾試驗(yàn)，以負(fù)對(duì)數(shù)伽瑪分布作為先驗(yàn)分布，求解后驗(yàn)分布，評(píng)估該部件可靠度。

1）試驗(yàn)數(shù)據(jù)及已知信息

指數(shù)單元作有替換定時(shí)截尾試驗(yàn)，失敗數(shù)z=1，總試驗(yàn)時(shí)間τ=100 h，任務(wù)工作時(shí)間t=10 h，根據(jù)歷史試驗(yàn)信息可知z0=2，τ0=200h。

2）計(jì)算先驗(yàn)分布

將已知數(shù)據(jù)代入公式（18）求得共軛型先驗(yàn)密度函數(shù)

3）計(jì)算后驗(yàn)密度

根據(jù)貝葉斯定理，將現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)樣本數(shù)據(jù)代入公式（20），整理可得到后驗(yàn)分布

4）計(jì)算給定置信度下的可靠度下限

根據(jù)后驗(yàn)密度及現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)信息，由公式（21）可計(jì)算該部件置信度0.9下的可靠度置信下限為

計(jì)算可得RL= 0.837 4。

3.4 方法對(duì)比

表2給出了在相同置信度下，不同方法對(duì)于以上3種產(chǎn)品的可靠度評(píng)估結(jié)果。由表2可知，最小二乘估計(jì)結(jié)果低于仿真方法與Bayes方法，不符合運(yùn)載火箭相關(guān)產(chǎn)品高可靠度要求的實(shí)際情況，且小子樣數(shù)據(jù)的情況不適用于線(xiàn)性回歸的方法。仿真方法與本文計(jì)算結(jié)果較為接近，但試驗(yàn)時(shí)間較長(zhǎng)，復(fù)雜度高，綜合以上結(jié)果，Bayes評(píng)估方法可以充分利用先驗(yàn)信息，對(duì)樣本量要求較低，適用于小子樣運(yùn)載火箭可靠性評(píng)估，且能夠節(jié)約試驗(yàn)時(shí)間與計(jì)算成本。

表2 不同方法可靠度計(jì)算結(jié)果Table 2 Results of different methods

4 結(jié) 論

通過(guò)對(duì)上述3類(lèi)設(shè)備的可靠度計(jì)算結(jié)果，可驗(yàn)證貝葉斯方法能夠充分利用先驗(yàn)信息，節(jié)省時(shí)間和經(jīng)費(fèi)，而且分析方法程式化，易于工程人員掌握，計(jì)算結(jié)果顯示：基于貝葉斯方法的可靠性評(píng)定在引入先驗(yàn)信息后，能夠有效提升小子樣產(chǎn)品的可靠性，解決了小子樣產(chǎn)品以經(jīng)典方法評(píng)估可靠性時(shí)，評(píng)估結(jié)果過(guò)低、與實(shí)際認(rèn)知明顯不符、評(píng)估不準(zhǔn)確等問(wèn)題。因此貝葉斯方法明顯優(yōu)于經(jīng)典可靠性評(píng)估方法，在數(shù)據(jù)較少的小子樣可靠性評(píng)估問(wèn)題中應(yīng)用效果較好。該方法有利于提高單元設(shè)備可靠性評(píng)估的準(zhǔn)確度與穩(wěn)定度，為運(yùn)載火箭系統(tǒng)可靠性評(píng)價(jià)提供更為準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)。

在工程實(shí)際中，有時(shí)會(huì)將試驗(yàn)條件變化微小、試驗(yàn)樣品不變的先驗(yàn)數(shù)據(jù)歸納到樣本數(shù)據(jù)中以充實(shí)樣本數(shù)據(jù)量，這樣得到的可靠性評(píng)估結(jié)果將會(huì)有所增大（特定分布下可能不變，如二項(xiàng)分布）。因此，在選擇樣本數(shù)據(jù)和先驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)，應(yīng)充分考慮分布的類(lèi)型，對(duì)于如威布爾分布這類(lèi)先驗(yàn)數(shù)據(jù)與樣本數(shù)據(jù)劃分不同而對(duì)評(píng)估結(jié)果有影響的總體分布，應(yīng)該充分將與樣本信息的試驗(yàn)條件、試驗(yàn)樣品變化微小的先驗(yàn)數(shù)據(jù)歸為樣本數(shù)據(jù)，以提升評(píng)估精度。下一步將考慮多源先驗(yàn)信息的數(shù)據(jù)融合、分布函數(shù)中的參數(shù)確定與偏差修正、不同試驗(yàn)條件下的置信度等問(wèn)題，對(duì)該評(píng)價(jià)方法開(kāi)展進(jìn)一步的研究工作。