Hilbert空間中具有結(jié)構(gòu)阻尼的彈性系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性

王倩倩

(蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院， 甘肅 蘭州 730070)

機(jī)械振動(dòng)所研究的對(duì)象是機(jī)械或結(jié)構(gòu)，在理論分析中要將實(shí)際的機(jī)械或結(jié)構(gòu)抽象為力學(xué)模型，即形成一個(gè)力學(xué)系統(tǒng)?？梢援a(chǎn)生機(jī)械振動(dòng)的力學(xué)系統(tǒng)，稱為振動(dòng)系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱系統(tǒng)。實(shí)際的振動(dòng)系統(tǒng)，都具有連續(xù)分布的質(zhì)量與彈性，因此，稱之為彈性系統(tǒng)。由于確定彈性體上無(wú)數(shù)質(zhì)點(diǎn)的位置需要無(wú)限多個(gè)坐標(biāo)，因此彈性體是具有無(wú)限多自由度的系統(tǒng)，它的振動(dòng)規(guī)律要用時(shí)間和空間坐標(biāo)的函數(shù)來(lái)描述，其運(yùn)動(dòng)方程是偏微分方程。

結(jié)構(gòu)的振動(dòng)和穩(wěn)定性研究，是結(jié)構(gòu)力學(xué)和數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)的熱點(diǎn)之一，這不僅是因?yàn)樗哂休^高的理論價(jià)值，而且還有著廣闊的應(yīng)用背景。例如，振動(dòng)改進(jìn)和控制在維持高性能與生產(chǎn)效率、延長(zhǎng)工業(yè)機(jī)械有效壽命方面起著關(guān)鍵性的作用。

1985年，CHEN G等[1]研究了具有阻尼的線性彈性系統(tǒng)

u″(t)+Bu′(t)+Au(t)=0，

(1)

2014年，文獻(xiàn)[12]利用算子半群理論及將方程中的二階微分算子分解為兩個(gè)一階微分算子的技巧，在Banach空間X中研究了線性阻尼彈性系統(tǒng)

(2)

其中A：D(A)?X→X是扇形算子，ρ>0是常數(shù)，x0∈D(A)，y0∈X。并且給出了系統(tǒng)(2)相應(yīng)半群是解析的指數(shù)穩(wěn)定半群的充分條件。隨后，文獻(xiàn)[13-15]研究了系統(tǒng)(2)相應(yīng)的非線性阻尼彈性系統(tǒng)mild解的存在性及整體解的指數(shù)衰減性。

本文將在Hilbert空間H中研究具有結(jié)構(gòu)阻尼的線性彈性系統(tǒng)

(3)

(4)

其中算子矩陣

其中D(Λ)=D(A)×D(A2)。

于是算子Σ定義了一個(gè)Λ與Λ0之間的酉等價(jià)，即

Λ0=ΣΛΣ-1，

(5)

1 預(yù)備知識(shí)

引理1(Lumer-Phillips定理)[16]設(shè)A是定義在Banach空間X上的線性子空間D(A)中的線性算子，則A生成一個(gè)壓縮半群，當(dāng)且僅當(dāng)：

(1)D(A)在X上稠密；

(2)A是閉算子；

(3)A是耗散的；

(4)存在λ>0，使得A-λI是滿射(I是恒等算子)。

定義1[17]算子A生成H上的C0-半群T(t)(t>0)是指數(shù)穩(wěn)定的，是指存在常數(shù)M≥1及μ>0，使得‖T(t)‖≤Me-μt，t≥0。

為了方便討論，設(shè)Λ(t)(t≥0)為算子Λ生成的C0-半群，S(t)(t≥0)為算子Λ0生成的C0-半群。

引理2 設(shè)-A是Hilbert空間H上稠定閉耗散算子，即

Re〈-Au,u〉H≤0，u∈D(A)，

Re〈-βAv,v〉H≤0，

即Λ0是耗散的。

其中ωs(Λ)是Λ的譜界。則etΛ(t≥0)指數(shù)穩(wěn)定的充要條件是半平面{λ=a+ib∈C：a>0，b∈R}包含在算子Λ的預(yù)解集ρ(Λ)中，且預(yù)解式滿足

2 主要結(jié)論

這一部分，將研究系統(tǒng)(4)的漸近穩(wěn)定性。

定理1 設(shè)A:D(A)?H→H是自共軛算子，β>2，則存在算子

使得對(duì)于任意的y1,y2∈D(A)，有下列估計(jì)成立：

(6)

其中

并且

即系統(tǒng)(4)在這種情況下是指數(shù)穩(wěn)定的。

證明由Lyapunov方程

(7)

可得

(8)

(9)

另一方面，對(duì)于固定的y1，有

(10)

設(shè)σ(-A2)為-A2的譜，則-A2的譜界ωs(-A2)表示為

ωs(-A2)={Reλ：λ∈σ(-A2)}，

有

并且

通過(guò)計(jì)算，很容易得到

且有

最后，考慮系統(tǒng)(4)的mild解y。由(7)式可得

由(6)式可得

即

因此，有

即

則有

即系統(tǒng)(4)在這種情況下是指數(shù)穩(wěn)定的。

定理2 設(shè)A：D(A)?H→H是自共軛算子，β>2，且滿足

(11)

及

-Re〈Av,v〉H≤|Im〈Av,v〉H|，?v∈D(A)。

(12)

又設(shè)0<δ≤δ-a<1<β，且δ-β

成立，則

(13)

由(13)式，易得

即

(14)

進(jìn)一步，考慮(14)式的實(shí)部和虛部，有

|a+Re〈βAu,v〉H|<δ，

(15)

和

|b+2Im〈A2u,v〉H+Im〈βAv,v〉H|<δ，

(16)

結(jié)合(11)式和(15)式可得，

(17)

即

(18)

由(13)式，有

由上式可得

所以，由(18)式，有

|b+2Im〈A2u,v〉H+Im〈βAv,v〉H|<3δ，

結(jié)合(12)式、(17)式和(18)式，有

|b|(1+a-δ)≤3δ-|Im〈βAv,v〉H|≤3δ+Re〈βAv,v〉H<4δ-a，

即

證畢。

ωg(Λ)<0。