隨鉆電磁波測井響應(yīng)函數(shù)理論及探測特性

林發(fā)武, 田超國, 耿學(xué)杰, 司兆偉, 劉得芳, 莊東志

(中國石油冀東油田公司勘探開發(fā)研究院,河北唐山 064300)

隨鉆電磁波測井成為解決復(fù)雜油氣儲(chǔ)層開發(fā)的重要手段之一。如何掌握隨鉆電磁波測井探測特性及響應(yīng)規(guī)律,獲取其信號(hào)空間分布特征是關(guān)鍵。近十幾年來部分學(xué)者對(duì)電磁波類測井探測機(jī)制進(jìn)行了大量研究[1-7],在感應(yīng)測井中幾何因子理論能夠有效指導(dǎo)儀器設(shè)計(jì),定量分析響應(yīng)特征等[8-11]。Doll幾何因子將地層介質(zhì)等效成由互不干擾的獨(dú)立單元環(huán)組成,分析其對(duì)測井響應(yīng)貢獻(xiàn)的空間分布,以此來指導(dǎo)儀器設(shè)計(jì)及響應(yīng)分析[12]。在此基礎(chǔ)上,Howard等[13]將量子散射問題中的Born近似方法引入感應(yīng)測井問題的求解,提出了二維Born幾何因子;王磊等[14]針對(duì)多分量感應(yīng)測井進(jìn)行了三維Born幾何因子的理論研究,分析了同軸分量及交叉分量在不同井斜角及地層各向異性下的響應(yīng)規(guī)律。不同于感應(yīng)測井直接探測電場信號(hào),隨鉆電磁波類測井采用幅度比和相位差的刻度方式進(jìn)行測量,傳統(tǒng)的感應(yīng)幾何因子理論不再適用。邢光龍等[15-16]針對(duì)傳播電阻率測井儀器提出了幅度比與相位差關(guān)于介電常數(shù)與電導(dǎo)率的響應(yīng)函數(shù),分析了響應(yīng)信號(hào)空間分布規(guī)律,但未模擬地層各向異性及井斜角的影響,且未給出定量識(shí)別探測范圍的方法。偽幾何因子理論[17]可有效分析測井儀的徑向探測深度,但對(duì)縱向及微觀敏感性描述不足。目前國內(nèi)外對(duì)于由幅度比、相位差刻度且對(duì)井周地層屬性敏感的縱、橫向微觀及宏觀幾何貢獻(xiàn)分布的精確描述研究較少。筆者從Born幾何因子理論出發(fā),從感應(yīng)測井推廣到隨鉆電磁波測井中,研究各向異性地層中電性異常體對(duì)接收信號(hào)的響應(yīng)規(guī)律,提出一種能夠刻畫幅度比及相位差的響應(yīng)函數(shù)方法,用于定量分析隨鉆電磁波類測井探測特性。

1 隨鉆電磁波響應(yīng)函數(shù)

根據(jù)Born近似方法,當(dāng)背景介質(zhì)中存在異常體時(shí),異常體內(nèi)任意一點(diǎn)電場可以等效為源在背景介質(zhì)中激發(fā)的一次場Eb(r)與異常體產(chǎn)生的散射場δE(r)的疊加:

E(r)=Eb(r)+δE(r).

(1)

其中背景場可通過解析方法獲取[18],散射場可以表示為

(2)

式中,ω和μ0分別為角頻率和地層磁導(dǎo)率;Vs為異常體邊界;r和r′分別為接收點(diǎn)和異常點(diǎn)相對(duì)位置;Eb(r′)為發(fā)射線圈在異常體內(nèi)某點(diǎn)處產(chǎn)生的電場;G(r,r′)為該異常點(diǎn)對(duì)接收信號(hào)的影響,可通過電偶極子的位函數(shù)推導(dǎo)得到。以x方向電偶極子源為例,其對(duì)應(yīng)位函數(shù)為

(3)

其中

利用源的矢量位函數(shù)結(jié)合洛倫茲條件可以得到:

(4)

將式(3)帶入式(4)可得

(5)

(6)

(7)

其中Gij代表i方向的電偶極子源在j方向產(chǎn)生的響應(yīng),因此異常體內(nèi)某點(diǎn)產(chǎn)生的散射場可以表示為Eij=λ2EixGxj+gλ2EiyGyj+gizGzj,通過大地坐標(biāo)系與儀器坐標(biāo)系間變換關(guān)系,可以得儀器坐標(biāo)系下接收線圈處散射場:

Es=Exxsin2φ+Ezzcos2φ+(Exz+Ezx)sinφcosφ.

(8)

隨鉆電磁波測井采用單發(fā)雙收線圈結(jié)構(gòu)(圖1)，發(fā)射和接收線圈中心在同一軸線上，圖中T表示發(fā)射線圈，R1和R2分別代表兩接收線圈。利用兩個(gè)電勢信號(hào)V1和V2,計(jì)算兩者之間的幅度比A和相位差Δθ來識(shí)別地層參數(shù),可表示為

(9)

圖1 隨鉆電磁波測井響應(yīng)模型Fig.1 Modeling of electromagnetic logging while drilling response

對(duì)式(9)取微分可得隨鉆電磁波測井響應(yīng)函數(shù)S:

(10)

整理可得

(11)

式中,dlnA和dΔθ分別為幅度比和相位差的響應(yīng)函數(shù),代表地層中任意地層單元對(duì)幅度比和相位差的貢獻(xiàn)。

2 隨鉆電磁波測井探測特性分析

2.1 響應(yīng)函數(shù)空間分布

研究隨鉆電磁波測井的響應(yīng)函數(shù)空間分布特性,發(fā)射線圈位于坐標(biāo)原點(diǎn),信號(hào)頻率為2 MHz,發(fā)射線圈到兩個(gè)接收線圈的距離分別為0.610和0.762 m,地層背景電阻率為10 Ω·m。圖2給出了隨鉆電磁波測井幅度比和相位差的響應(yīng)等值面,其中紅色表示所有響應(yīng)點(diǎn)值的90%;圖3為沿x方向與z方向的積分平面。等值面及z方向積分平面表明,隨鉆電磁波測井響應(yīng)函數(shù)在徑向上具有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性,在井軸附近地層貢獻(xiàn)較小,能夠減弱井眼的影響;從x方向積分平面可以看出,發(fā)射線圈到接收線圈間區(qū)域貢獻(xiàn)較小,而響應(yīng)函數(shù)貢獻(xiàn)主要集中在兩接收線圈間,這表明其縱向分層能力與線圈距密切相關(guān)。對(duì)比幅度比和相位差積分平面表明,二者響應(yīng)函數(shù)分布規(guī)律大致相同,幅度比敏感性空間分布較發(fā)散,相位差敏感性分布更為集中。

圖2 幅度比及相位差響應(yīng)函數(shù)等值面Fig.2 Response isosurface of amplitude ratio and phase shift

2.2 井斜角影響

圖3 幅度比及相位差響應(yīng)函數(shù)積分平面圖Fig.3 Response function integral plane of amplitude ratio and phase shift

圖4 不同井斜角條件下響應(yīng)函數(shù)等值面Fig.4 Responses isosurface with different dipping angle

2.3 各向異性系數(shù)影響

圖5 不同各向異性條件下響應(yīng)函數(shù)等值面Fig.5 Response isosurface with different anisotropic coefficient

3 探測特性的影響因素

3.1 響應(yīng)函數(shù)積分幾何因子

對(duì)積分平面分別沿x軸與z軸進(jìn)行積分,由于響應(yīng)函數(shù)在徑向上具有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性,x正半軸幾何因子與徑向幾何因子相等,得到徑向及縱向微分幾何因子,如圖6所示。徑向微分幾何因子曲線在井軸附近出現(xiàn)小段負(fù)敏感區(qū)域,幅度比信號(hào)尤為明顯,負(fù)敏感區(qū)將導(dǎo)致井軸附近區(qū)對(duì)響應(yīng)貢獻(xiàn)率降低,井周地層對(duì)響應(yīng)信號(hào)的貢獻(xiàn)降低;縱向微分幾何因子曲線在發(fā)射線圈與近接收線圈之間有小段曲線敏感度不變,在接收線圈附近敏感度高,相位差微分幾何因子分布更為集中,能夠有效區(qū)分薄層。對(duì)比幅度比和相位差敏感性曲線可以發(fā)現(xiàn),幅度比信號(hào)徑向探測深度更廣,相位差具有更好的縱向分層能力。

圖6 響應(yīng)函數(shù)徑向及縱向微分幾何因子曲線Fig.6 Radial and vertical differential geometry factor of response function

為定量分析隨鉆電磁波測井徑向探測深度及縱向分辨率的變化規(guī)律,引入徑向積分幾何因子Sr與縱向積分幾何因子Sh,通過對(duì)微分幾何因子進(jìn)行積分,計(jì)算得到幅度比與相位差的徑向與縱向積分幾何因子曲線,定義表達(dá)式如下:

(12)

式中,Sx和Sz分別為響應(yīng)函數(shù)在x>0和z>0空間內(nèi)貢獻(xiàn)的總和。

圖7為隨鉆電磁波測井幅度比和相位差信號(hào)的徑向積分幾何因子與縱向積分幾何因子變化曲線,圖7中徑向及縱向積分幾何因子坐標(biāo)原點(diǎn)分別為井軸及兩接收線圈中點(diǎn)。類比偽幾何因子[17],此處定義Sr=50%時(shí)對(duì)應(yīng)的徑向距離為徑向探測深度,并且假定Sh=90%時(shí)對(duì)應(yīng)的距離為縱向分辨率。觀察圖7可知,幅度比和相位差的徑向探測深度分別為0.97和0.51 m,分辨率分別為0.76 和0.34 m,這也驗(yàn)證了幅度比信號(hào)具有更大的徑向探測深度,而相位差信號(hào)能夠有效分辨薄地層。

圖7 隨鉆電磁波測井積分幾何因子曲線Fig.7 Integrated geometric factor curve of electromagnetic logging while drilling

3.2 信號(hào)頻率的影響

利用徑向及縱向積分幾何因子,在不同信號(hào)頻率條件下,分析隨鉆電磁波測井徑向探測深度和縱向分辨率的變化規(guī)律。儀器發(fā)射線圈到兩個(gè)接收線圈的距離分別為0.610和0.762 m,背景地層電阻率Rb=10 Ω·m,信號(hào)頻率分別選取200 kHz、400 kHz、800 kHz、1 MHz及2 MHz。圖8(a)和(b)分別表示隨鉆電磁波測井幅度比和相位差信號(hào)的徑向積分幾何因子曲線。從圖8中可以看出,隨著信號(hào)頻率的增加,幅度比和相位差信號(hào)曲線的探測范圍都隨之降低。對(duì)比圖8(a)和圖8(b)可以發(fā)現(xiàn),幅度比信號(hào)的探測范圍受頻率的影響較大,且幅度比徑向積分幾何因子在小于0.5 m時(shí)貢獻(xiàn)接近于零,說明幅度比信號(hào)受此范圍內(nèi)地層影響較小。圖8(a)中幅度比信號(hào)在頻率為200 kHz時(shí),其徑向探測深度近2 m,而當(dāng)頻率增加到2 MHz時(shí),徑向探測深度縮減到1 m以內(nèi),相對(duì)變化明顯;圖8(b)中相位差信號(hào)的徑向探測深度明顯小于幅度比信號(hào),均小于1 m,且探測范圍變化較小。在相同條件下,信號(hào)頻率越低,信號(hào)的探測范圍越大,且幅度比信號(hào)徑向探測能力要強(qiáng)于相位差信號(hào)。

圖8 不同發(fā)射頻率條件下徑向積分幾何因子曲線Fig.8 Radial integral geometric factor curves under different frequencies

圖9(a)和(b)分別表示隨鉆電磁波測井幅度比和相位差信號(hào)的縱向積分幾何因子曲線,圖中隨著發(fā)射信號(hào)頻率的增加,隨鉆電磁波測井信號(hào)的縱向分辨率增強(qiáng)。信號(hào)頻率為200 kHz時(shí),幅度比信號(hào)和相位差信號(hào)的縱向分辨率分別為1.56 和0.81 m,表明在相同信號(hào)頻率條件下,相位差信號(hào)具有更好的縱向分層能力;而當(dāng)信號(hào)增加到2 MHz時(shí),縱向分辨能力均增強(qiáng)2～3倍,相位差縱向分辨率可達(dá)0.33 m。

圖9 不同發(fā)射頻率條件下縱向積分幾何因子曲線Fig.9 Vertical integral geometric factor curves under different frequencies

3.3 線圈距的影響

考慮到實(shí)際隨鉆電磁波測井常采用陣列化設(shè)計(jì),為分析不同線圈距對(duì)探測特性的影響,參照ARC312隨鉆電磁波儀器線圈布置進(jìn)行模擬,令儀器發(fā)射頻率為2 MHz,地層背景電阻率為10 Ω·m,發(fā)射線圈到兩接收線圈中點(diǎn)距離分別為0.254、0.406、0.559、0.711和0.864 m,相鄰兩接收線圈間隔0.152 4 m。圖10和圖11表示了幅度比和相位差曲線在不同源距條件下徑向及縱向積分幾何因子的變化趨勢。觀察兩圖可發(fā)現(xiàn),隨著線圈距的增大,儀器的徑向探測深度響應(yīng)逐漸增加,而縱向分辨率逐漸減小。通過該方法可有效評(píng)估不同源距條件下探測特性,為隨鉆電磁波測井采用陣列化的線圈系設(shè)計(jì)提供定量分析,利用不同源距的線性組合,降低井眼、圍巖等因素的影響,有效獲取地層參數(shù)。

圖11 不同線圈距下縱向積分幾何因子曲線Fig.11 Response function integral curve with horizontal distance

3.4 地層電阻率的影響

發(fā)射線圈到兩個(gè)接收線圈的距離分別為0.610和0.762 m,信號(hào)頻率為2 MHz不變,選取不同背景地層電阻率Rb分別為1、5、10、50和100 Ω·m,分析Rb變化對(duì)隨鉆電磁波測井信號(hào)探測能力的影響。如圖12所示,當(dāng)電阻率由1 Ω·m增大到100 Ω·m時(shí),幅度比信號(hào)徑向探測深度由0.5 m增加到1.9 m,相位差信號(hào)徑向探測深度由0.3 m增加到0.8 m。在電阻率較小時(shí),幅度比徑向積分幾何因子在井軸附近存在小段負(fù)敏感區(qū),能夠有效減弱井周地層影響,隨鉆電阻率的增加影響逐漸消失;相位差徑向幾何因子會(huì)在1 m附近出現(xiàn)明顯凸起,表明地層相對(duì)貢獻(xiàn)在此處達(dá)到最大值,而后地層會(huì)產(chǎn)生負(fù)貢獻(xiàn),隨著地層電阻率增加,峰值逐漸降低且距儀器距離增加。圖13表明,隨著電阻率的增加,儀器的縱向分辨能力逐漸降低。對(duì)比圖12與圖13可以發(fā)現(xiàn),隨著電阻率的增大,儀器探測范圍加大,徑向探測能力增強(qiáng),縱向分層能力下降。這符合電阻率越大,趨膚深度越大,電磁波衰減慢,縱向分辨率受到影響更大。

圖13 不同背景地層電阻率條件下縱向積分幾何因子曲線Fig.13 Vertical integral geometric factor curves under different formation resistivity

4 結(jié) 論

(1)所提出的隨鉆電磁波測井響應(yīng)函數(shù)可有效表征隨鉆電磁波幅度比和相位差信號(hào)的空間探測特性,數(shù)值模擬表明兩者空間分布規(guī)律類似,均具旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性,相位差信號(hào)相對(duì)幅度比信號(hào)而言更為集中,在相同條件下,幅度比信號(hào)具有更大的探測范圍,而相位差信號(hào)縱向分辨率更強(qiáng)。

(2)各向異性系數(shù)及井斜角的加大均明顯改變隨鉆電磁波測井響應(yīng)函數(shù)的空間分布:在斜井及水平井條件下,隨著各向異性系數(shù)的加大,響應(yīng)函數(shù)在橫向上呈現(xiàn)不規(guī)則扁平狀,在接收和發(fā)射線圈附近逐漸出現(xiàn)負(fù)貢獻(xiàn),且隨地層各向異性系數(shù)的增加而擴(kuò)大;隨著井斜角的加大,響應(yīng)函數(shù)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性逐漸消失。

(3)在不同信號(hào)頻率、地層電阻率及線圈距條件下,隨鉆電磁波測井幅度比與相位差信號(hào)探測范圍均出現(xiàn)規(guī)律變化。隨著信號(hào)頻率的增加,地層電阻率加大及線圈距的增長,儀器的徑向探測深度會(huì)隨之加大,縱向分辨率降低,該方法對(duì)于儀器的探測特性研究及線圈系設(shè)計(jì)有著重要作用。