2019年全國(guó)卷Ⅰ理科數(shù)學(xué)17題評(píng)析與備考建議

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20 19年高考全國(guó)卷Ⅰ理科數(shù)學(xué)17題，考查了正弦定理、余弦定理及三角恒等變換等知識(shí)的應(yīng)用，涉及的知識(shí)較為基礎(chǔ)，難度適中，是考生較易得分的題目.

一、真題再現(xiàn)

17.△ABC的內(nèi)角 A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.設(shè)（sinB-sinC）2=sin2A-sinBsinC.

(1)求A;

二、試題分析

對(duì)于第（1）問，只需由正弦定理將條件中關(guān)于三角正弦的關(guān)系等式轉(zhuǎn)化為三邊關(guān)系等式，再結(jié)合余弦定理的表達(dá)式，即可輕松求解.

對(duì)于第（2）問，主要有兩種思路.思路一:先利用正弦定理將已知條件中關(guān)于三邊的關(guān)系等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于三角正弦的關(guān)系等式，再結(jié)合三角恒等變形公式即可求解；思路二:先將已知條件中關(guān)于三邊的關(guān)系等式與余弦定理表達(dá)式聯(lián)立，得到含有a、c的關(guān)系式，再結(jié)合正弦定理即可求解.

由此可見，該題的考查內(nèi)容、設(shè)問方式以及解題思路和方法，均是考生復(fù)習(xí)時(shí)所熟悉的，難度也與往年相當(dāng)，起到了穩(wěn)定考生心態(tài)、緩解考生情緒的作用.

三、考生存在的問題

1.基礎(chǔ)知識(shí)薄弱，答題信心不足

如圖1，考生能由已知條件等式的結(jié)構(gòu)特征入手，選擇正弦定理將三角正弦關(guān)系等式轉(zhuǎn)化成三邊關(guān)系等式，再結(jié)合余弦定理順利求解第（1）問.但面對(duì)第（2）問，因?yàn)闂l件等式系數(shù)結(jié)構(gòu)不整齊，且與所求值之間的聯(lián)系跨度較大，加之考生基礎(chǔ)知識(shí)薄弱，造成心理壓力大或情緒緊張，故不能進(jìn)入第（2）問的求解.

圖1

圖2

2.解題思路不清晰造成運(yùn)算困難

如圖2，在第（2）問中，由已知條件結(jié)合正弦定理、三角形內(nèi)角和定理、三角公式可得含有sinC的三角方程，即可得解.但考生未能掌握常規(guī)思路，而是采用平方手段對(duì)式子進(jìn)行變形，且去掉了已經(jīng)求得的角A，這樣無形之中就給后續(xù)運(yùn)算造成很大的困難，無法繼續(xù)解題.

3.運(yùn)算不仔細(xì)導(dǎo)致解答錯(cuò)誤

如圖3、圖4，兩位考生的解題思路清晰，在第（2）問的處理中，圖3考生采用了去C留B的方法，思路清晰，運(yùn)算簡(jiǎn)捷，但卻將cosB的值求錯(cuò)；圖4考生將已知條件與余弦定理表達(dá)式聯(lián)立，得到含有a、c的二次齊次方程，再將sinA的值代入，利用二次方程求根公式求解，但在整理時(shí)方程中部分系數(shù)的計(jì)算出現(xiàn)錯(cuò)誤，最終未能得到正確結(jié)果.

圖3

圖4

4.三角恒等變形掌握不牢

在圖5中，考生不能準(zhǔn)確使用輔助角公式，在三角函數(shù)式變形過程中出現(xiàn)正負(fù)號(hào)錯(cuò)誤表達(dá)，雖然最終答案正確，但屬于錯(cuò)來錯(cuò)去結(jié)果碰巧對(duì)了，且增根的舍去也沒有說明理由；在圖6中，考生沒有采用常用的輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)整理，致使出現(xiàn)運(yùn)算方面的困難.這些都是因?yàn)榭忌鷮?duì)三角恒等變換的應(yīng)用不夠熟練而造成的.

圖5

圖6

5.缺乏對(duì)運(yùn)算結(jié)果檢驗(yàn)的意識(shí)

如圖7，由于考生沒有選擇常用的輔助角公式進(jìn)行變形整理，而是選擇了與同角三角函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行聯(lián)立，致使最終出現(xiàn)了兩組計(jì)算結(jié)果.這時(shí)考生應(yīng)對(duì)所得結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，然后去掉增根，但考生明顯缺乏這種檢驗(yàn)意識(shí)，因而造成失分.圖8也是這個(gè)問題.

圖7

圖8

6.書寫不規(guī)范導(dǎo)致失分

有的考生對(duì)第（2）問的解答明顯缺少主要的解答步驟和重要的計(jì)算過程.例如，開始進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化時(shí)，缺少對(duì)正弦定理的解釋說明(見圖8)；有的考生對(duì)一些重要數(shù)據(jù)的由來解釋得過于簡(jiǎn)單，缺少必要的演算步驟，屬于跳步作答(見圖8、圖9)；個(gè)別考生書寫格式隨意，字跡潦草，致使最終計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤(見圖10).以上都是造成不必要失分的原因.

圖9

圖10

四、高三備考建議

1.夯實(shí)雙基，樹立信心

對(duì)正弦定理、余弦定理、三角恒等變換等基本知識(shí)和方法的復(fù)習(xí)要做到穩(wěn)扎穩(wěn)打、不急不躁.對(duì)兩個(gè)定理的表達(dá)式、證明方法、適用類型、主要應(yīng)用都要清楚，對(duì)三角恒等變換公式的由來、易錯(cuò)點(diǎn)、注意事項(xiàng)也要清楚。

2.勤于反思，提升素養(yǎng)

復(fù)習(xí)時(shí)，要重點(diǎn)理解數(shù)學(xué)概念、定理、公式、方法的來龍去脈；解題時(shí)，要勤于反思，體會(huì)知識(shí)運(yùn)用過程中蘊(yùn)含的思想方法，如轉(zhuǎn)化與化歸、方程思想等，而不是盲目地大量練題。夯實(shí)邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算兩大基本功，是考生備考的主要任務(wù)，也是學(xué)科素養(yǎng)提升的重要途徑.

3. 關(guān)注學(xué)科內(nèi)知識(shí)的綜合

新課標(biāo)理念下的解三角形知識(shí)是以向量知識(shí)探究應(yīng)用的形式出現(xiàn)的，可見，以向量為工具研究解三角形問題將成為一種主要視角?？忌鷮?duì)此要有思想準(zhǔn)備，備考中應(yīng)適當(dāng)關(guān)注向量與解三角形相結(jié)合的問題.

4.規(guī)范書寫，嚴(yán)謹(jǐn)作答

數(shù)學(xué)重點(diǎn)考查考生的理性思維，而理性思維的主要體現(xiàn)就是邏輯推理能力.考生解答數(shù)學(xué)試題時(shí)，要力求做到推理嚴(yán)謹(jǐn)、計(jì)算準(zhǔn)確、作圖清晰、語(yǔ)言規(guī)范，以期更好地反映自身數(shù)學(xué)素養(yǎng)，避免高考時(shí)“會(huì)而不對(duì)，對(duì)而不全”問題的發(fā)生.