基于雙樣條擬合的五軸插補(bǔ)算法

黎紅石 樊留群 趙建華 黃云鷹

(①同濟(jì)大學(xué)中德學(xué)院，上海200092；②沈陽(yáng)機(jī)床(集團(tuán))設(shè)計(jì)研究院有限公司上海分公司，上海 200433)

五軸數(shù)控加工是獲取高精度復(fù)雜曲面的有效手段之一，在船舶、汽車、航空航天等領(lǐng)域都有重要意義[1]，其中刀具路徑規(guī)劃則是保障加工質(zhì)量的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。常見的五軸加工采用單樣條曲線進(jìn)行插補(bǔ)[2]，利用微段平滑加工算法實(shí)現(xiàn)加工表面優(yōu)化，但擬合算法無(wú)法區(qū)分三軸位置坐標(biāo)和旋轉(zhuǎn)軸角度信息，擬合得到的信息是位置和姿態(tài)互相影響的結(jié)果。雙樣條插補(bǔ)則提出將位于刀位文件中的刀尖點(diǎn)坐標(biāo)與刀軸矢量分開，利用兩條樣條分別刻畫這兩類信息，以兼顧刀具在加工時(shí)位置和姿態(tài)兩方面的表現(xiàn)[3-5]。除此還出現(xiàn)多樣條的插補(bǔ)方法，來(lái)追求對(duì)加工路徑更精確的控制[6]，但由此帶來(lái)的計(jì)算量也會(huì)顯著增加。本文借助于五軸加工標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試樣件S樣件的刀位文件，采用文獻(xiàn)[2]中的方法對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行分段，針對(duì)其工件加工路徑中采取單樣條插補(bǔ)的數(shù)據(jù)點(diǎn)段，對(duì)其使用雙樣條插補(bǔ)，同時(shí)結(jié)合前瞻速度規(guī)劃理論，實(shí)現(xiàn)完整的插補(bǔ)計(jì)算過(guò)程，再對(duì)插補(bǔ)結(jié)果進(jìn)行分析對(duì)比，驗(yàn)證雙樣條插補(bǔ)的可行性和實(shí)用性。

1 刀位文件生成雙樣條曲線擬合方法的研究

1.1 雙樣條擬合

在現(xiàn)今五軸加工中，常使用的擬合工具為NURBS樣條[7]。NURBS曲線主要由控制點(diǎn)和節(jié)點(diǎn)向量構(gòu)成，樣條擬合目標(biāo)即控制點(diǎn)和節(jié)點(diǎn)向量的求解。雙樣條擬合則涉及到刀尖點(diǎn)和刀柄點(diǎn)兩條樣條的求解。

雙樣條擬合旨在從刀位文件里獲取兩條樣條。每次循環(huán)從刀位文件中讀取若干行數(shù)據(jù)，經(jīng)過(guò)坐標(biāo)變換。由刀尖點(diǎn)qm=(xm,ym,zm)組成第m個(gè)刀尖數(shù)據(jù)點(diǎn)Q(um)。結(jié)合刀軸矢量Om=(Oi,m,Oj,m,Ok,m)以及設(shè)定的刀柄長(zhǎng)度Lt可以計(jì)算出一系列刀柄數(shù)據(jù)點(diǎn)q′(w)。至此得到刀尖點(diǎn)和刀柄點(diǎn)如圖1所示。

1.2 控制點(diǎn)求解

曲線控制點(diǎn)求解方法采用帶權(quán)因子和一階導(dǎo)數(shù)約束的最小二乘逼近算法，詳見文獻(xiàn)[7]。

以刀尖點(diǎn)擬合為例，刀柄點(diǎn)曲線擬合與此相同。待擬合數(shù)據(jù)點(diǎn)qm(m=0，…，r)，其中每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)帶有一階導(dǎo)數(shù)約束，導(dǎo)數(shù)約束向量矩陣用Dm(m=0，…，r)表示。每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)qm和Dm都設(shè)置由一個(gè)稱為權(quán)因子的參數(shù)進(jìn)行控制，權(quán)因子是用來(lái)衡量曲線滿足這項(xiàng)給出數(shù)據(jù)要求的嚴(yán)格程度，如數(shù)據(jù)點(diǎn)q3的權(quán)因子為0時(shí)，曲線就必須穿過(guò)q3，類似插值。權(quán)因子常見取1。

數(shù)據(jù)點(diǎn)qm和Dm以權(quán)因子為判定標(biāo)準(zhǔn)，分為完全約束(權(quán)因子為0)和非完全約束(權(quán)因子不為0)。參與方程計(jì)算的各個(gè)矩陣：S表示非完全約束的數(shù)據(jù)；T表示完全約束的數(shù)據(jù)；W=[wk]為對(duì)角陣，對(duì)角線上記錄沒(méi)有完全約束時(shí)對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)權(quán)因子值；P=[Pk]為控制點(diǎn)；N記錄非完全約束的數(shù)據(jù)項(xiàng)的基函數(shù)或基函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)信息；M記錄完全約束的數(shù)據(jù)項(xiàng)的基函數(shù)或基函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)信息；

接下來(lái)引入拉格朗日乘子A=[λk]，k=0，…，mC，然后列出方程。

在滿足完全約束方程MP=T的情況下，需要時(shí)非完全約束方程N(yùn)P=S等號(hào)兩邊誤差最小，即S-NP最小。利用A=[λk]，即需要式(1)達(dá)到最?。?/p>

(ST-PTNT)W(S-NP)+aT(MP-T)

(1)

將其求導(dǎo)并令導(dǎo)數(shù)為0，結(jié)合MP=T，可以計(jì)算出控制點(diǎn)P=[Pk]。

1.3 節(jié)點(diǎn)向量求解

同樣以刀尖點(diǎn)數(shù)據(jù)為例，要獲得節(jié)點(diǎn)向量，需要先將數(shù)據(jù)點(diǎn)參數(shù)化，參數(shù)化的方法有很多：均勻參數(shù)化、弦長(zhǎng)參數(shù)化和向心參數(shù)化等[7]。本文采用弦長(zhǎng)參數(shù)化：

(2)

至此可以計(jì)算出刀尖點(diǎn)C(u)和刀柄點(diǎn)C′(u)擬合曲線的控制點(diǎn)和節(jié)點(diǎn)向量P、U，P′、u′。

2 雙樣條曲線插補(bǔ)研究

利用曲線擬合得到的雙樣條，采用圖2的步驟進(jìn)行插補(bǔ)。

2.1 曲線插補(bǔ)原理

雙樣條曲線插補(bǔ)需要求得刀尖點(diǎn)樣條的參量uj+1和刀柄點(diǎn)樣條的參量wj+1，插補(bǔ)過(guò)程以刀尖點(diǎn)曲線為插補(bǔ)路徑，將其作為主要插補(bǔ)規(guī)劃對(duì)象，故首先計(jì)算刀尖點(diǎn)的參量uj+1。常見的曲線參量計(jì)算方法有等參數(shù)法、泰勒展開式、四階Adams方法、預(yù)測(cè)-校正方法[8],本文采用四階Runge-Kutta法進(jìn)行參量計(jì)算[9]。應(yīng)用到NURBS插補(bǔ)表現(xiàn)為：

(3)

式中:ΔL為一個(gè)插補(bǔ)周期中規(guī)劃的步長(zhǎng)

除了后續(xù)教育，澳大利亞對(duì)資產(chǎn)評(píng)估培養(yǎng)中最大的特點(diǎn)在于其更加注重高等教育。缺乏扎實(shí)的基礎(chǔ)的資產(chǎn)評(píng)估從業(yè)人員在資產(chǎn)評(píng)估業(yè)務(wù)活動(dòng)中是致命的，會(huì)影響了資產(chǎn)評(píng)估人員的就職上限。所以澳大利亞各類高?；径奸_設(shè)了資產(chǎn)評(píng)估相關(guān)課程并擁有一套完整的高等教育體系。這類體系對(duì)資產(chǎn)評(píng)估人才的培養(yǎng)有益無(wú)害，澳大利亞的資產(chǎn)評(píng)估人員只要在大學(xué)獲得相關(guān)學(xué)位并擁有2年相關(guān)工作經(jīng)驗(yàn)后就可以直接申請(qǐng)成為資產(chǎn)評(píng)估師，并不需要通過(guò)資產(chǎn)評(píng)估師考試。

于是

(4)

2.2 插補(bǔ)參量同步

得到刀尖點(diǎn)樣條的插補(bǔ)參量uj+1后，需要計(jì)算此時(shí)刀柄點(diǎn)曲線上的插補(bǔ)點(diǎn)，即確定刀柄點(diǎn)曲線的參量wj+1。為了能從擬合的雙樣條上正確選取反映刀軸矢量原始走向的刀柄點(diǎn)和刀尖點(diǎn)，需要完成插補(bǔ)參量的同步如圖3。常用的同步方法[10]為，當(dāng)uj+1處于刀尖點(diǎn)曲線節(jié)點(diǎn)向量區(qū)間[uk,uk+1]時(shí)，對(duì)應(yīng)的wj+1也應(yīng)處于刀柄點(diǎn)曲線節(jié)點(diǎn)向量區(qū)間[wk,wk+1]。

在保證兩條樣條的參量始終處于同一角標(biāo)的節(jié)點(diǎn)區(qū)間后，可以定義區(qū)間內(nèi)參量uj+1與wj+1的對(duì)應(yīng)關(guān)系，一般以其線性變化關(guān)系建立等比關(guān)系式如式(5)：

(5)

3 前瞻速度規(guī)劃

在雙樣條插補(bǔ)過(guò)程中，為了保證刀具的運(yùn)動(dòng)特性良好、減緩機(jī)床振動(dòng)和改善工件質(zhì)量，也同樣會(huì)面臨速度規(guī)劃的問(wèn)題。前瞻速度規(guī)劃指在動(dòng)態(tài)緩沖區(qū)預(yù)讀若干程序段，獲得多根樣條的點(diǎn)位信息，提前計(jì)算是否存在危險(xiǎn)點(diǎn)并在發(fā)現(xiàn)時(shí)為其分配速度，以此確定出各個(gè)速度節(jié)點(diǎn)，形成速度分段。然后按給定的速度曲線計(jì)算段內(nèi)的加減速情況，完成每一個(gè)插補(bǔ)點(diǎn)的步長(zhǎng)計(jì)算，從而為插補(bǔ)器提供信息，并在有新的擬合樣條信息加入緩沖區(qū)時(shí)進(jìn)行刷新，更新各節(jié)點(diǎn)給定的速度[11-12]。其中段內(nèi)加減速采用S曲線加減速規(guī)劃圖[13]。

以整體加速過(guò)程為例， 即vs≤ve，需要計(jì)算兩個(gè)臨界距離，一個(gè)是按照上述S型曲線加減速圖從vs加速到最大速度從F再減速到ve的距離Rmaxl，一個(gè)是直接從vs加速到ve的距離Rminl，然后與該段本身相距長(zhǎng)度D進(jìn)行比較，情況如下：

(1)D>Rmaxl：則速度規(guī)劃為，從vs加速到最大速度F，然后以F勻速加工D-Rmaxl長(zhǎng)度，再減速到ve；

(2)Rminl≤D≤Rmaxl：此時(shí)刀具無(wú)法做到加速到最大速度F再減速，但又有過(guò)于充足的距離加速到ve，便根據(jù)節(jié)點(diǎn)間距離D的大小反算得到一個(gè)中間速度vtemp，通過(guò)加速到vtemp再減速到ve來(lái)實(shí)現(xiàn)最大加工效率。但值得注意的是，vtemp的大小需要保證vs到vtemp的加速段長(zhǎng)和vtemp到ve的減速段長(zhǎng)大于插補(bǔ)周期T內(nèi)按照S型加減速該位置對(duì)應(yīng)的插補(bǔ)步長(zhǎng)ΔL，否則插補(bǔ)時(shí)得到的插補(bǔ)點(diǎn)會(huì)越過(guò)該中間速度點(diǎn)。

(3)D

減速過(guò)程同理，計(jì)算兩個(gè)臨界距離，也有3種規(guī)劃情況。

完成速度規(guī)劃之后，通過(guò)計(jì)算起始點(diǎn)到當(dāng)前插補(bǔ)點(diǎn)的弧長(zhǎng)來(lái)確定該點(diǎn)在速度規(guī)劃里的位置，從而獲得對(duì)應(yīng)的速度。但由于本文是采用Runge-Kutta法求解插補(bǔ)參量的，公式中不是直接使用瞬時(shí)速度，而是一個(gè)插補(bǔ)周期T內(nèi)的步長(zhǎng)ΔL，即速度圖上當(dāng)前點(diǎn)向后一個(gè)T時(shí)間范圍走過(guò)的面積。

所以在給定一個(gè)參量uj后，按照速度規(guī)劃的結(jié)果，得到的是一個(gè)步長(zhǎng)ΔLj。但到現(xiàn)在為止速度規(guī)劃僅考慮了單條樣條的插補(bǔ)情況，反映在五軸加工上即只顧及了刀尖點(diǎn)qm=(xm,ym,zm)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。于是在實(shí)時(shí)獲得ΔLj且計(jì)算出uj+1后，還需要利用式(5)得到刀柄曲線wj和wj+1，分別計(jì)算出C(uj)、C′(wj)以及C(uj+1)、C′(wj+1)。并結(jié)合C(uj-1)、C′(wj-1)來(lái)計(jì)算刀軸矢量A(uj)變化的速度和加速度如圖4。

(6)

如果求得的速度和加速度滿足最大角速度、角加速度約束，則ΔLj可以使用，否則按照最大角速度、角加速度約束反解允許的最大步長(zhǎng)ΔLjmax，然后再利用式(3)求插補(bǔ)參量uj+1。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

實(shí)驗(yàn)采用S樣件的刀位文件，利用最小二乘法，分別對(duì)直接插補(bǔ) (利用坐標(biāo)變換前X,Y,Z,A,C形成的五維向量作為原始點(diǎn)) 和雙樣條插補(bǔ)進(jìn)行擬合。得到結(jié)果圖5～7。

從結(jié)果圖中可以看出，S樣件的數(shù)據(jù)點(diǎn)中會(huì)出現(xiàn)刀軸矢量突變的情況，采用平移坐標(biāo)和旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)合并的直接插補(bǔ)法擬合，矢量擬合誤差小，但會(huì)沿襲這樣的曲線特性；而采用雙樣條插補(bǔ)的計(jì)算方法進(jìn)行擬合，會(huì)填補(bǔ)刀軸矢量使其平滑過(guò)渡，但擬合誤差會(huì)增大。

插補(bǔ)過(guò)程中，采用參數(shù)：插補(bǔ)周期T=1 ms、最大進(jìn)給速度F=2 000 mm/min、最大加速度為a=600 mm/s2、最大加加速度J=20 000 mm/s3、最大弦高誤差error=0.01 mm。插補(bǔ)結(jié)果如圖8。

在兩種插補(bǔ)方法中，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)被分為了三段進(jìn)行擬合，在采用相同的速度規(guī)劃策略的前提下，直接插補(bǔ)法在樣條內(nèi)部會(huì)多產(chǎn)生幾個(gè)危險(xiǎn)點(diǎn)，使其最終插補(bǔ)速度曲線呈現(xiàn)多次加減速；雙樣條插補(bǔ)也因平均速度更大，整個(gè)插補(bǔ)所用時(shí)間也更短。從加速度曲線來(lái)看，雙樣條插補(bǔ)能保證所有點(diǎn)的加速度都滿足最大加速度要求且波動(dòng)次數(shù)更少。最后旋轉(zhuǎn)軸速度運(yùn)動(dòng)表現(xiàn)上，也如同擬合結(jié)果分析的那樣，雙樣條插補(bǔ)的旋轉(zhuǎn)軸速度過(guò)渡更平滑。

5 結(jié)語(yǔ)

本文對(duì)五軸加工中雙樣條插補(bǔ)的整個(gè)計(jì)算過(guò)程進(jìn)行了仿真模擬，并將其與常見的直接樣條插補(bǔ)法進(jìn)行了比較。兩種插補(bǔ)方法均采用相同的最小二乘擬合方法以及S型曲線速度規(guī)劃，從模擬結(jié)果數(shù)據(jù)可以看出，雙樣條插補(bǔ)與直接插補(bǔ)法在刀尖點(diǎn)的擬合精度上差別不大，但在刀軸矢量上，雙樣條插補(bǔ)犧牲了一定的擬合精度。但不管是刀尖點(diǎn)還是旋轉(zhuǎn)軸，雙樣條插補(bǔ)得到的運(yùn)動(dòng)參數(shù)曲線表現(xiàn)都更出色。在五軸加工中，根據(jù)原始點(diǎn)數(shù)據(jù)信息和機(jī)床自身特性，可以適當(dāng)采取不同的插補(bǔ)方法，雙樣條插補(bǔ)不失為不錯(cuò)的選擇之一。