磁浮列車(chē)導(dǎo)向系統(tǒng)的建模與分析

（華東交通大學(xué) 電氣與自動(dòng)化工程學(xué)院，江西 南昌 330013）

0 引言

1922年，德國(guó)科學(xué)家首次系統(tǒng)地提出磁懸浮列車(chē)的設(shè)計(jì)構(gòu)想。由于磁浮列車(chē)運(yùn)行時(shí)與軌道無(wú)摩擦接觸，因此具有高速、節(jié)能、平穩(wěn)等優(yōu)點(diǎn)。目前，已有眾多國(guó)家研究磁浮列車(chē)。相對(duì)而言，德、日兩國(guó)的技術(shù)先進(jìn)而成熟[1]。我國(guó)對(duì)磁懸浮列車(chē)的研究起步較晚，始于20世紀(jì)80年代，國(guó)防科技大學(xué)于1989年成功研制我國(guó)首臺(tái)磁浮樣車(chē)。此后，經(jīng)過(guò)科技人員的不懈努力，我國(guó)已成為世界少數(shù)實(shí)現(xiàn)磁浮列車(chē)商業(yè)運(yùn)營(yíng)的國(guó)家之一[2]。

懸浮、導(dǎo)向和推進(jìn)系統(tǒng)是磁浮列車(chē)的三大核心系統(tǒng)，導(dǎo)向系統(tǒng)對(duì)于磁浮列車(chē)的平穩(wěn)性和安全性等關(guān)鍵性能指標(biāo)具有重大影響。目前，磁浮列車(chē)實(shí)現(xiàn)導(dǎo)向主要有常導(dǎo)吸引型電磁導(dǎo)向（EMS）和超導(dǎo)排斥型電動(dòng)導(dǎo)向（EDS）方法[3]。從技術(shù)角度看，中低速工況下的導(dǎo)向技術(shù)已經(jīng)較為成熟。但是，在高速與超高速工況下，導(dǎo)向系統(tǒng)仍存在搖擺、運(yùn)行不平穩(wěn)等問(wèn)題。因此，鑒于導(dǎo)向系統(tǒng)的重要性及當(dāng)前存在的問(wèn)題，對(duì)導(dǎo)向系統(tǒng)進(jìn)行深入探索具有重大研究?jī)r(jià)值。

1 導(dǎo)向系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建

在工程實(shí)際中，多種復(fù)雜因素耦合干擾導(dǎo)向磁場(chǎng)，難以構(gòu)建導(dǎo)向系統(tǒng)的精確模型[5]。本文忽略導(dǎo)向電磁回路的少量漏磁，同時(shí)忽略鐵芯、導(dǎo)軌中的磁阻，認(rèn)為所有磁勢(shì)均勻分布在導(dǎo)向氣隙。EMS型磁浮列車(chē)?yán)脤?dǎo)軌線圈與導(dǎo)向線圈之間的電磁吸力實(shí)現(xiàn)導(dǎo)向（見(jiàn)圖1）。

圖1 雙電磁鐵導(dǎo)向系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意

1.1 電磁力F的計(jì)算

設(shè)導(dǎo)向氣隙為x，導(dǎo)向電磁鐵橫截面積為S，空氣磁導(dǎo)率為μ0，氣隙磁路的磁阻為：

根據(jù)磁路基爾霍夫定律，可得：

其中N為線圈匝數(shù)，i為線圈電流，Φ為導(dǎo)向系統(tǒng)的磁通量

由（1）（2）式可得：

設(shè)導(dǎo)向電磁鐵工作在非磁飽和狀態(tài)，那么磁鏈為：

導(dǎo)向氣隙磁場(chǎng)的能量Wc（i,x）為：

2

由電磁力與磁場(chǎng)能量的關(guān)系，可得：

式中的“－”僅表示F方向。為方便計(jì)算，常數(shù)項(xiàng)用K表示，記為則

1.2 控制電壓u的計(jì)算

由電磁感應(yīng)定律：

其中L為電磁線圈中電感，

導(dǎo)軌左右兩側(cè)安裝性能完全相同的導(dǎo)向電磁鐵，F(xiàn)1，F(xiàn)2為兩側(cè)電磁鐵對(duì)導(dǎo)軌的吸力，i0為電磁鐵偏置電流，Δi為控制電流，i1，i2為兩側(cè)電磁鐵繞組電流，x1，x2為兩側(cè)電磁鐵與導(dǎo)軌的氣隙。

當(dāng)列車(chē)處于平衡位置時(shí)，左右氣隙x、電流i大小相等，電磁吸力F大小相等，方向相反。假設(shè)受到一個(gè)水平向右的外力Fd，系統(tǒng)將向右偏移，記偏移的位移為Δx，則左側(cè)的氣隙增大為x1=x0＋Δx，右側(cè)氣隙減小為x2=x0－Δx。傳感器檢測(cè)到位移變化，生成信號(hào)并傳遞給控制系統(tǒng)，調(diào)整左右兩邊線圈電流大小。右側(cè)電流減小為i1=i0－Δi，左側(cè)電流增大為i2=i0＋Δi。于是，左邊吸力變大，右邊吸力變小，吸力差值成為恢復(fù)力，列車(chē)向左移動(dòng)回到原來(lái)位置。

此時(shí)，右側(cè)電磁吸力為：

左側(cè)電磁吸力為：

合電磁力為：

根據(jù)（8），得到電磁繞組電壓：

再考慮外力因素，得到水平方向的動(dòng)力學(xué)方程：

綜合上述計(jì)算表達(dá)式，可得系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模型方程組：

穩(wěn)定條件：F1=F2

2 系統(tǒng)模型線性化與狀態(tài)方程的建立

（14）式是非線性方程組，不便應(yīng)用。為此，將式（9）、（10）在平衡點(diǎn)（x0，i0）處泰勒展開(kāi)，并忽略高階項(xiàng)，泰勒展開(kāi)過(guò)程如下：

Kx、Ki分別稱為位移和電流的剛度系數(shù)，則（17）式可寫(xiě)為

接下來(lái)由（12）式可得：

因u0=Ri0

則式（19）在平衡點(diǎn)處進(jìn)行線性化得：

綜上所述，方程組（2-14）在平衡點(diǎn)處經(jīng)過(guò)線性化后得到：

選擇（Δx,Δx.,Δi）作狀態(tài)變量，得到導(dǎo)向系統(tǒng)的狀態(tài)方程：

其中，L0Kx=LxKi。

進(jìn)一步得到系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：

3 導(dǎo)向系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

由式（24）列出系統(tǒng)的勞斯穩(wěn)定判斷表：

依據(jù)穩(wěn)定性分析理論，可判斷該系統(tǒng)不具有穩(wěn)定性，無(wú)法確保導(dǎo)向系統(tǒng)的氣隙穩(wěn)定[7]。因此為了使系統(tǒng)本質(zhì)穩(wěn)定，必須采取有效的系統(tǒng)鎮(zhèn)定措施。

4 結(jié)語(yǔ)

本文以EMS磁浮列車(chē)的導(dǎo)向系統(tǒng)為研究對(duì)象，運(yùn)用電磁學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)、控制學(xué)等多學(xué)科理論構(gòu)建了懸浮系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。由于所得模型是結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的線性數(shù)學(xué)模型，因此具有應(yīng)用方便的優(yōu)點(diǎn)。需要指出的是，本模型忽略了懸浮系統(tǒng)的部分細(xì)微因素，與實(shí)際系統(tǒng)相比，存在一定誤差。在今后工作中，將定量研究誤差的大小及其對(duì)系統(tǒng)工作的影響。