巧用平幾知識解決解析幾何問題

盧燕霞

解析幾何是高中數(shù)學的重要內(nèi)容，也是高考考查的重點內(nèi)容之一.高考相關(guān)試題強調(diào)綜合性，綜合考查數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合、特殊與一般等思想方法，突出考查推理論證能力和運算求解能力，考查形式靈活多樣.一般的解法是設(shè)出點的坐標或者曲線方程，通過題設(shè)條件列出滿足條件的方程或方程組，解方程（組）求解.但這類解法往往計算繁瑣，且計算過程中可能需要一定的技巧.這可能是導致解析幾何問題的求解過程中“對而不全”現(xiàn)象普遍存在的主要原因.其實解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)的方法研究幾何問題，如果我們能深入挖掘題目中圖形或曲線的幾何性質(zhì)，借助平面幾何的相關(guān)知識和技巧，對題目所給的幾何條件準確代數(shù)化（坐標化），往往能達到化難為易、化繁為筒、事半功倍的效果.下面擬以2018年全國Ⅱ卷第12題為引例，談?wù)勥@類試題的解題思路和方法，供復習教學參考.

1利用三角形的性質(zhì)求橢圓的離心率

離心率是反映圓錐曲線本質(zhì)屬性的一個量，也是高考考查的一個熱點.一般有兩種題型：求離心率的值、求離心率的取值范圍.解答的基本思路是求出橢圓或雙曲線的長軸和焦距之間的比值，借助平面幾何知識，我們往往可以回避設(shè)點的坐標、直線方程、求點的坐標等繁瑣步驟，從而快速求解.

解析方法1充分發(fā)揮平面幾何的作用，利用輔助線的優(yōu)勢，過點P作x軸的垂線，從而構(gòu)造一個斜邊長為2c且有一個內(nèi)角為60°的直角三角形，再利用等腰三角形和直角三角形的性質(zhì)解題，由題意可得橢圓的焦點在x軸上，如圖1所示，

方法2先求出兩條直線PF與PF的方程，再求出兩條直線交點P的坐標，然后把P的坐標代入直線PA的方程即可，這個方法涉及到求兩條直線方程和它們的交點坐標，需要假設(shè)適當?shù)膮?shù)，顯然計算過程是非常繁瑣復雜的，耗時耗力，而且面臨算不下去的風險，一般不提倡.

評析這是一道中檔題，考查橢圓的離心率，建議要依題構(gòu)圖，運用等腰三角形的性質(zhì)，尋求適當幾何關(guān)系是巧解此題的關(guān)鍵.方法1充分挖掘題目中圖形蘊含的幾何性質(zhì)，利用平面幾何中等腰三角形的知識，結(jié)合直線斜率的幾何意義得出a與c的比例，從而快速得解，具有一定的技巧性.方法2是通性通法，需要設(shè)出適當參數(shù)，找出幾何關(guān)系，而幾何關(guān)系又有多種選擇，但是過程都較繁瑣.

2利用圓的相關(guān)性質(zhì)求線段長

圓是平面幾何和解析幾何中最重要的內(nèi)容之一，圓既是軸對稱圖形，又是中心對太圖形，其中蘊藏著諸多位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，它有許多重要幾何性質(zhì)，涉及的知識點主要有圓中切割線定理、圓冪定理、垂徑定理等.對于解析幾何中有關(guān)圓的問題，若能充分利用圓的幾何性質(zhì)，將會使得解題思路簡明，解法簡潔，不僅免去解析幾何繁雜的運算，還能充分感受到平面幾何的魅力.