一道數(shù)學(xué)說(shuō)理題的答題診斷與教學(xué)啟示

趙立春 阮征 許晨玉 馮倩倩

1考題回放

在邊長(zhǎng)為a的正方形中挖去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形（a>b）（如圖1），將余下的部分拼成一個(gè)矩形（如圖2），根據(jù)兩個(gè)圖形中陰影部分的面積相等，可以驗(yàn)證一個(gè)重要的等式，請(qǐng)寫出這個(gè)等式，并說(shuō)明其正確性.

這是肥西縣2018～2019學(xué)年度（下）七年級(jí)數(shù)學(xué)期末質(zhì)量檢測(cè)試卷中第21題，與義務(wù)教育滬科版七年級(jí)下冊(cè)《數(shù)學(xué)》教材相配套的《同步練習(xí)》第47頁(yè)第10題不謀而合.這道題的分值是8分，閱卷答案中規(guī)定這道題的賦分標(biāo)準(zhǔn)為：正確寫出平方差公式能得3分，說(shuō)理完全正確則能得5分.

2得分統(tǒng)計(jì)

我校七（1）班是分層班，共有25名學(xué)生，筆者對(duì)他們的得分情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)：2個(gè)學(xué)生得8分，3個(gè)學(xué)生得6分，1個(gè)學(xué)生得4分，19個(gè)學(xué)生得3分，平均得分為3.8分，對(duì)于一個(gè)分層班，考出這樣的分?jǐn)?shù)顯然是不盡人意的.該分層班是依據(jù)小學(xué)畢業(yè)考試成績(jī)從113個(gè)學(xué)生中選拔組建而成，多數(shù)學(xué)生的小學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)比較扎實(shí)，數(shù)學(xué)思維比較活躍.那么，我校七年級(jí)普通班學(xué)生的得分又是怎樣的呢？為此，筆者又對(duì)普通班的88名學(xué)生的得分情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)：1個(gè)學(xué)生得8分，11個(gè)學(xué)生得5分，5個(gè)學(xué)生得4分，56個(gè)學(xué)生得3分，15個(gè)學(xué)生得0分，普通班的平均得分約為2.85分.由此可見(jiàn)，無(wú)論是數(shù)學(xué)基本功扎實(shí)的分層班學(xué)生，還是基本功相對(duì)薄弱一些的普通班學(xué)生，平均得分都不高，分層班平均得分3.8分，得分率為47.5%，普通班平均得分2.85分，得分率為35.6%.從學(xué)生的平均得分與得分率來(lái)看，這是一道難度較大的考題.然而從題型來(lái)看，這是一道數(shù)形結(jié)合型問(wèn)題，也是一道常規(guī)說(shuō)理題，在多種教輔資料或數(shù)學(xué)試卷中頻繁出現(xiàn)，這道題果真比較難嗎？下面我們來(lái)看看學(xué)生們?cè)嚲碇械膸追N解答癥狀，剖析一下答錯(cuò)的根源.

3癥狀呈現(xiàn)

筆者對(duì)我校學(xué)生解答情況歸納后發(fā)現(xiàn)，得3分的僅僅是正確地完成了試題的第一問(wèn)，完整地寫出平方差公式：a-b=（a+b）（a-b）.但大多數(shù)學(xué)生在第二問(wèn)中出現(xiàn)了問(wèn)題，主要有以下幾種癥狀：

（1）利用整式乘法法則對(duì)平方差公式中的乘積式進(jìn)行了去括號(hào)，由此說(shuō)明了為什么平方差公式是成立的.他們中大多數(shù)學(xué)生都是按照某學(xué)生如圖3所示的答案進(jìn)行了解答：

（2）賦予a，b特殊值，將其代入問(wèn)題1所得的等式a-b=（a+b）（a-b）中，分別計(jì)算等式的左邊與右邊的值，由此得到等式左右兩邊的值相等，從而說(shuō)明平方差公式是成立的.他們中有些學(xué)生解答成了如圖4所示的“模樣”：

（3）利用因式分解來(lái)說(shuō)明平方差公式正確.他們中部分學(xué)生解答成了如圖5所示的“款式”：

4診斷分析

對(duì)于這道試題，大多數(shù)學(xué)生失誤在第二個(gè)問(wèn)題的解答上，他們或利用整式乘法法則去括號(hào)、合并同類項(xiàng)后得到平方差公式，或利用特殊值代入求值后說(shuō)明平方差公式是成立的，或利用因式分解法說(shuō)明平方差公式為什么是成立的……凡此種種，出現(xiàn)上述錯(cuò)誤的學(xué)生都是源于審題不嚴(yán)，出現(xiàn)了方向性的答題錯(cuò)誤.而這道題解答的正確與否還有如下兩個(gè)影響因素：其一，滬科版教材將“矩形”概念安排在八年級(jí)《數(shù)學(xué)》下冊(cè)“四邊形”章節(jié)中介紹，七年級(jí)學(xué)生的腦海中根本沒(méi)有“矩形”概念，但試題中卻將“長(zhǎng)方形”說(shuō)成了“矩形”，進(jìn)而影響了學(xué)生對(duì)試題的正確分析、干擾了學(xué)生的正常思維;其二，第二個(gè)圖形到底是由第一個(gè)圖形怎樣裁剪、拼接而成的呢？這本是一個(gè)動(dòng)態(tài)的展示過(guò)程，但在試卷中卻是靜態(tài)地呈現(xiàn)，而且原題中的分割線沒(méi)有清晰地畫出來(lái)，更沒(méi)有用箭頭之類的符號(hào)靜態(tài)展示拼接方法，這也直接影響到了學(xué)生對(duì)于題意的準(zhǔn)確判斷.

5教學(xué)啟示

5.1做好課堂監(jiān)測(cè)，切勿高估能力

對(duì)于在試卷中出現(xiàn)與《同步練習(xí)》第47頁(yè)第10題一模一樣的試題，為什么平時(shí)訓(xùn)練了、教師也訂正了，分層班學(xué)生依然出現(xiàn)大面積錯(cuò)誤呢？基于此，筆者打開學(xué)生的《同步練習(xí)》，仔細(xì)審視著他們的解答過(guò)程，結(jié)果發(fā)現(xiàn)許多學(xué)生的答案依舊是錯(cuò)誤的.為什么教師曾經(jīng)訂正了學(xué)生還沒(méi)把錯(cuò)誤答案改過(guò)來(lái)呢？而且學(xué)生還在錯(cuò)誤答案上面打上一個(gè)大大的紅“√”呢？筆者陷入了沉思，筆者回想當(dāng)時(shí)是怎么訂正的？是教師講錯(cuò)了？還是學(xué)生沒(méi)有認(rèn)真聽(tīng)？原來(lái)在訂正這道題時(shí)教師只是提示說(shuō)“這道題不難，這個(gè)等式顯然是平方差公式吧”，大多數(shù)學(xué)生應(yīng)答道“是的，是的”.考慮到我班是分層班學(xué)生，學(xué)生們基礎(chǔ)都比較扎實(shí)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力較強(qiáng)，學(xué)習(xí)態(tài)度比較端正.本以為這是一道比較簡(jiǎn)單的實(shí)際說(shuō)理題，學(xué)生認(rèn)真分析題意是能夠獨(dú)立且準(zhǔn)確完成的，這樣明顯高估了學(xué)生的能力（這也是許多教師在進(jìn)行習(xí)題課教學(xué)中常出現(xiàn)的共性），沒(méi)有帶領(lǐng)學(xué)生認(rèn)真審題，也沒(méi)有對(duì)學(xué)生完成的作業(yè)進(jìn)行課堂監(jiān)測(cè)，從而沒(méi)有發(fā)現(xiàn)他們完成《同步練習(xí)》時(shí)出現(xiàn)的典型“癥狀”，有的學(xué)生只完成了第一個(gè)問(wèn)題，寫出了平方差公式，沒(méi)有回答第二個(gè)問(wèn)題，有的學(xué)生完成了兩個(gè)問(wèn)題，但是第二個(gè)問(wèn)題回答是錯(cuò)誤的，沒(méi)有結(jié)合題意進(jìn)行說(shuō)理.在訂正作業(yè)時(shí)教師缺乏了督查過(guò)程，導(dǎo)致學(xué)生將錯(cuò)誤的答案誤認(rèn)為是正確的，使得錯(cuò)誤仍然潛伏在學(xué)生的腦海中、致使在這次考試中答錯(cuò).其實(shí)，訂正作業(yè)的工作是一個(gè)糾錯(cuò)的過(guò)程，訂正作業(yè)一定要做好課堂監(jiān)測(cè)，對(duì)于典型錯(cuò)誤一定要讓學(xué)生“說(shuō)錯(cuò)”，即說(shuō)明“錯(cuò)在哪里”、“為什么犯錯(cuò)”、“正解思路是什么”、“應(yīng)該怎樣想”和“同一類型如何避錯(cuò)”，力求知其然更要知其所以然，從而有效防止“再錯(cuò)”現(xiàn)象的發(fā)生.

5.2積累審題經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)解題能力

原題中的“在邊長(zhǎng)為a的正方形中挖去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形（a>b）（如圖1），將余下的部分拼成一個(gè)矩形（如圖2）”，這是題目中設(shè)置的一個(gè)圖形剪拼情境，變化前是一個(gè)邊長(zhǎng)為a的大正方形剪掉一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，變化后是一個(gè)長(zhǎng)方形，變化前與變化后的圖形面積顯然沒(méi)有改變.如果教師在訂正《同步練習(xí)》中的第10題時(shí)，能夠帶領(lǐng)學(xué)生用幾何畫板或PPT課件等軟件進(jìn)行動(dòng)畫展示，或進(jìn)行實(shí)物模型展示，讓學(xué)生經(jīng)歷圖形的變化過(guò)程，直觀感受由圖1到圖2的演變過(guò)程，有了這樣的思維基礎(chǔ)，即使考試中無(wú)法實(shí)現(xiàn)動(dòng)畫展示，審題時(shí)學(xué)生能夠在腦海中想象出動(dòng)態(tài)畫面，浮現(xiàn)出圖1變成圖2的變化歷程，經(jīng)歷圖形的來(lái)龍去脈，理清各個(gè)量之間的前后聯(lián)系，幫助學(xué)生正確理解這句話的涵義.原題中的“根據(jù)兩個(gè)圖形中陰影部分的面積相等，可以驗(yàn)證一個(gè)重要的等式”是解決問(wèn)題的突破口.這道題要用到正方形和長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式，需要分析剪拼前正方形的邊長(zhǎng)和剪拼后長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬，剪拼前的大、小正方形的邊長(zhǎng)很容易知道分別為a，b，但剪拼后長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬需要結(jié)合圖形分析才能知道分別為（a+b），寬為（a-b ），根據(jù)變化前后的圖形面積相等，就可以寫出這個(gè)平方差公式了.但對(duì)于說(shuō)理題，分層班學(xué)生們不是不會(huì)說(shuō)，而是不知道從哪個(gè)角度來(lái)說(shuō)，缺乏嚴(yán)格審題的經(jīng)驗(yàn)，審查這道題的關(guān)鍵是理解題中“其”的含義，大多數(shù)學(xué)生誤認(rèn)為是“平方差公式”，其實(shí)在這里是指“兩個(gè)圖形中陰影部分的面積相等，可以驗(yàn)證一個(gè)重要的等式”，只有審題正確了，學(xué)生在做這道題時(shí)也就得心應(yīng)手了.為加深學(xué)生對(duì)平方差公式理解的深度，教師在訂正這道試題時(shí)還可以引導(dǎo)學(xué)生討論思考，能否采用另外的方式拼接成長(zhǎng)方形呢？能否拼接成一個(gè)等腰梯形或平行四邊形呢？從而拓展學(xué)生思維，避免思維定勢(shì)，積累審題經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)解題能力.

（本文系安徽省教育信息技術(shù)研究2019年度立項(xiàng)課題《初中數(shù)學(xué)圖形教學(xué)中有效應(yīng)用云平臺(tái)資源的策略研究》（項(xiàng)目編號(hào)：AH2019099）研究成果）