氣泡脫離毛細(xì)管時(shí)曲率半徑的變化規(guī)律

彭 寧

(桂林理工大學(xué) 化學(xué)與生物工程學(xué)院,廣西 桂林 541000)

在日常生活中,我們會(huì)發(fā)現(xiàn)一些有趣的現(xiàn)象,例如水珠在潔凈的玻璃上會(huì)以球形的形狀存在、毛細(xì)管中液體會(huì)自動(dòng)的上升(水)或下降(汞)而不同于外液面齊平、自來(lái)水筆中的墨水不會(huì)因地心引力而滴出等,吹出的肥皂泡泡、荷葉或芋葉上滾動(dòng)的水珠都以球形形式存在,這實(shí)際上都與液體表面受到一種作用力有關(guān),即液體的表面張力。表面張力是液體最重要的性質(zhì)之一,它的形成是由于液體表面分子受力不均勻?qū)е碌摹Ｈ缭跉?液系統(tǒng)中,由于液體內(nèi)部分子對(duì)液體表面分子的作用力遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于液面上方氣體分子對(duì)它的作用力,從而使得液面分子受到指向液體內(nèi)部的拉力作用,因此液體都有自動(dòng)縮小其表面積的趨勢(shì)[1]。而在相同體積下,球形具有最小的表面積,因此液體都有趨向于變成球形的趨勢(shì)。如若要增大液體的表面,就需要克服所受作用力做功,從力的角度規(guī)定沿著表面并和表面相切、垂直作用在單位長(zhǎng)度液相界面上的力,稱為表面張力σ,單位為N·m-1；而從能量角度分析,為克服液體所做的表面功所需比表面吉布斯自由能的改變?chǔ) 規(guī)定為表面張力,單位為J·m-2。

對(duì)平面液體而言,由于液面分子所受的表面張力方向是與液面相切的,無(wú)指向液體內(nèi)部的表面張力的分力,因此液面下方的液體分子所受到的壓力即為外界環(huán)境對(duì)液體的垂直壓力；然而,對(duì)于彎曲液面而言,由于液面分子所受的表面張力方向是與液面相切的,由于液體表面張力的存在且表面液體分子所受合力不為零,會(huì)在彎曲液體表面產(chǎn)生一個(gè)合力,并且該合力方向指向彎曲液面的中心點(diǎn)。因此,由于表面張力的合力不為零并且指向彎曲液面的中心,導(dǎo)致液面兩側(cè)的壓力并不相等,最終在彎曲液面下方的液體受到來(lái)自液面產(chǎn)生的附加壓力ΔP 的作用,顯然附加壓力的大小與表面張力的大小具有緊密聯(lián)系。對(duì)于水滴等凸液面而言,該附加壓力為外界壓力與彎曲液面所受壓力的差值,表達(dá)式為ΔP=P外-P內(nèi)=Pg-Pl,其中Pg為外界環(huán)境中的大氣壓力,Pl為凸液面本身所受的壓力Pl；相反,對(duì)凹液面而言,即對(duì)液體中存在的氣泡來(lái)說(shuō),該附加壓力仍然為外界壓力與彎曲液面所受壓力的差值,表達(dá)式為ΔP=P內(nèi)-P外=Pg-Pl,其中Pg為氣泡內(nèi)的壓力,Pl為凹液面所受的壓力?；诶绽狗匠?可以獲得附加壓力ΔP,表面張力σ 及彎曲液面曲率半徑r 之間的關(guān)系為ΔP=2σ/r,因此如若能夠通過(guò)實(shí)驗(yàn)方法獲得某一液體的ΔP 和r 的數(shù)值,將其代入到上述方程式即可求出該液體的表面張力大小[2]。

圖1 毛細(xì)管端氣泡形核-長(zhǎng)大直至脫離的過(guò)程示意圖

通常測(cè)定溶液表面張力的方法較多,如毛細(xì)管升高法、滴體積法、拉環(huán)法等,而較為常用的方法為最大泡壓法。該方法利用毛細(xì)管端的氣泡從形核-長(zhǎng)大-脫離過(guò)程中測(cè)量氣泡所受的最大附加壓力值來(lái)求得液體的表面張力。首先來(lái)考察一下氣泡的形成過(guò)程,如圖1 所示,為毛細(xì)管端氣泡從形核(t0)到長(zhǎng)大(t1、t2)最后從端口脫離(t3)過(guò)程的示意圖,可以發(fā)現(xiàn)在整個(gè)過(guò)程中,氣泡曲率半徑r 的變化為從開(kāi)始的平面,即r 為無(wú)窮大逐漸減少直至最小值,此時(shí)曲率半徑即為毛細(xì)管端的半徑,然后在逐漸增大至極大值直到氣泡瞬間脫離毛細(xì)管斷口并上升逸出[3]。通過(guò)分析可以發(fā)現(xiàn),在氣泡曲率半徑為毛細(xì)管端的半徑時(shí),由拉普拉斯方程可知,此時(shí)對(duì)應(yīng)的附加壓力ΔP 為最大值,通過(guò)數(shù)字微壓差儀可以讀出該最大的附加壓力值,再把讀取的數(shù)值和對(duì)應(yīng)的毛細(xì)管的半徑代入到拉普拉斯方程即可求得液體的表面張力,這就是最大泡壓法測(cè)定液體表面張力的基本實(shí)驗(yàn)原理。液體的表面張力與溫度、壓力和相互接觸兩相物質(zhì)的性質(zhì)、組成等有關(guān)。一般地,隨著溫度的升高(促使分子間距增加,相互作用減弱)、壓力的增大(使兩相物質(zhì)的差異縮小),表面張力都會(huì)減少；此外,當(dāng)在液體中加入溶質(zhì)后,液體的表面張力也會(huì)發(fā)生變化,如在水中加入氯化鈉、蔗糖等溶質(zhì)會(huì)使表面張力升高,而諸如乙醇、高分子表面活性劑等的加入會(huì)使表面張力降低。在現(xiàn)階段本科實(shí)驗(yàn)教學(xué)過(guò)程中,對(duì)該實(shí)驗(yàn)的要求和目的為掌握最大氣泡壓力法測(cè)定溶液表面張力的原理和技術(shù),包括測(cè)量出純液體和不同濃度溶液的表面張力即可。所需要用到的儀器一般包括表面張力測(cè)定裝置(包括帶恒溫夾層的具支試管、毛細(xì)管、滴液漏斗、廣口瓶、數(shù)字微壓差儀),超級(jí)恒溫槽,燒杯等；所需用到的試劑包含蒸餾水、不同濃度的N-N-二甲基甲酰胺水溶液(分析純)。

然而,在長(zhǎng)期的教學(xué)實(shí)踐中我們發(fā)現(xiàn),同學(xué)們會(huì)非常好奇氣泡從毛細(xì)管端脫離后,其脫離尺寸的大小具體為多少,毛細(xì)管的半徑的不同是否對(duì)氣泡的脫離有影響。而感興趣的原因是同學(xué)們?cè)谄匠５纳钪卸纪孢^(guò)如下游戲：在水中加入適量的洗衣粉,混合均勻后制成肥皂水溶液,用圓珠筆外殼的一端蘸肥皂水后用力吹,能夠吹出不同形狀的氣泡；但如果用半徑尺寸大的圓珠筆外殼時(shí),發(fā)現(xiàn)并不能夠吹出氣泡,表明如若要吹出氣泡需要合適的毛細(xì)管半徑。那么,毛細(xì)管半徑與氣泡脫離時(shí)的尺寸半徑究竟有何聯(lián)系呢？面對(duì)學(xué)生們的疑問(wèn),一般的實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)教材中并未有過(guò)明確的計(jì)算方法,學(xué)生們?cè)谌绾斡?jì)算氣泡的脫離尺寸大小時(shí),常常疑問(wèn)重重,或面對(duì)問(wèn)題無(wú)從下手。基于此,為了解決上述問(wèn)題,本文將詳細(xì)探索推導(dǎo)出氣泡脫離時(shí)的尺寸半徑,從而讓學(xué)生們不僅僅掌握表面張力的測(cè)量技術(shù),同時(shí)也可以更為深刻地理解和掌握在該過(guò)程中氣泡尺寸變化的整個(gè)過(guò)程。如圖2 所示為氣泡從毛細(xì)管端脫離瞬間的受力分析示意圖,單純考慮氣泡脫離毛細(xì)管端的受力,此時(shí)氣泡受到液體對(duì)其的浮力F浮作用,此外在脫離毛細(xì)管瞬間,吸附于毛細(xì)管底端的那一部分氣泡膜所產(chǎn)生的向下的壓力F壓的作用,其作用的垂直面積為πr2,該壓力限制了氣泡從毛細(xì)管端脫離并進(jìn)行上浮[4]。當(dāng)該氣泡發(fā)生瞬間脫離毛細(xì)管端時(shí),有：

而我們知道,F浮的計(jì)算公式如下：

其中,ρ 為該液體的密度,g 為重力加速度,V排為氣泡排開(kāi)液體的體積,也即為氣泡體積,d 為脫離瞬間氣泡的半徑。

而對(duì)于F壓的計(jì)算,有如下公式：

其中,ΔP 為氣泡表面張力所產(chǎn)生的附加壓力,r 為毛細(xì)管的半徑。

利用拉普拉斯方程,將方程帶入到上述方程(3)中可以得到F壓=2σπr,將該方程和上述方程(2)代入到方程(1),我們可以得到：

化簡(jiǎn)后,即可得到氣泡脫離毛細(xì)管時(shí)的半徑d 的計(jì)算公式為：

如公式(5)所示,即為氣泡從毛細(xì)管端脫離瞬間,該氣泡所獲得的最大半徑d 的計(jì)算公式。通過(guò)方程(5)我們發(fā)現(xiàn),液體的表面張力σ、毛細(xì)管端的半徑r 對(duì)氣泡所獲得的最大半徑具有正影響；而液體的密度ρ 及重力加速度g 對(duì)其具有負(fù)影響。因此,毛細(xì)管端半徑r 越大,氣泡需要脫離毛細(xì)管端的半徑也需要越大。但是,過(guò)大的毛細(xì)管半徑要求毛細(xì)管端口初始形成曲率半徑大的彎曲液面,這對(duì)于粘度或彈性很差的氣泡膜來(lái)說(shuō)是很困難的[5]。因此,當(dāng)我們用圓珠筆外殼蘸肥皂水吹氣泡時(shí),圓珠筆外殼的半徑尺寸不能夠過(guò)大,以避免不能夠形成初始的氣泡膜。

圖2 氣泡從毛細(xì)管端脫離瞬間的受力分析

綜上所述,本文基于多年的物理化學(xué)本科教學(xué)實(shí)驗(yàn)的進(jìn)一步思考,立足于學(xué)生們對(duì)最大泡壓法測(cè)量液體表面張力本科實(shí)驗(yàn)教學(xué)過(guò)程中的疑問(wèn),嘗試進(jìn)一步探索氣泡從毛細(xì)管端脫離瞬間其尺寸的大小計(jì)算。基于對(duì)氣泡的受力分析,確定了在單一因素影響下氣泡脫離毛細(xì)管端面時(shí)氣泡尺寸的計(jì)算公式。作為對(duì)該實(shí)驗(yàn)的一些探索性分析,對(duì)實(shí)驗(yàn)教學(xué)研究中學(xué)生們感興趣的一些問(wèn)題做了初步討論和回答,在針對(duì)該實(shí)驗(yàn)教學(xué)上具有一定的價(jià)值,能夠讓學(xué)生們更為深刻地理解毛細(xì)管端氣泡從形核-生長(zhǎng)直至脫離的整個(gè)過(guò)程,激勵(lì)學(xué)生們從興趣出發(fā),勇于探索分析日常生活中遇到的問(wèn)題并用相應(yīng)的科學(xué)原理和科學(xué)方法進(jìn)行分析和解決。