基于代理模型的大尺寸矩形截面超聲變幅桿的優(yōu)化設(shè)計(jì)?

（昆明船舶設(shè)備研究試驗(yàn)中心 昆明 650051）

1 引言

超聲變幅桿是超聲系統(tǒng)的重要組成部分，其主要作用是傳遞并聚集能量。設(shè)計(jì)變幅桿時(shí)，要求其諧振頻率盡可能接近超聲系統(tǒng)的工作頻率。當(dāng)變幅桿的橫截面尺寸遠(yuǎn)小于波長時(shí)，可忽略桿橫向振動(dòng)的影響，其設(shè)計(jì)主要基于一維縱向振動(dòng)理論；當(dāng)變幅桿的橫向尺寸大于1/4波長時(shí)，由于泊松效應(yīng)，桿的橫向振動(dòng)較大，若基于一維縱向振動(dòng)理論設(shè)計(jì)，變幅桿諧振頻率的偏差較大［1］。關(guān)于大尺寸矩形截面變幅桿的設(shè)計(jì)，相關(guān)研究主要是基于橫、縱耦合振動(dòng)理論將變幅桿諧振頻率修正到系統(tǒng)工作頻率附近［2～4］。然而，大尺寸矩形截面變幅桿在實(shí)際應(yīng)用中，僅修正諧振頻率遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，還需要抑制其橫向振動(dòng)，使變幅桿輸出端振幅分布更均勻才能適應(yīng)實(shí)際使用需求。實(shí)際應(yīng)用中，為了抑制矩形截面變幅桿寬度方向上的橫向振動(dòng)，會(huì)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)在變幅桿上開一些細(xì)長窄縫［5］。細(xì)長窄縫的增加會(huì)改變變幅桿的諧振頻率和振動(dòng)模態(tài)，而通過解析法求解變幅桿窄縫的結(jié)構(gòu)參數(shù)與變幅桿諧振頻率的關(guān)系較為困難。目前，關(guān)于窄縫結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)變幅桿諧振頻率的影響，鮮有相關(guān)研究。

本文考慮通過在變幅桿上增加窄縫的方式，在抑制大尺寸矩形截面變幅桿橫向振動(dòng)的同時(shí)，修正其諧振頻率。先基于一維縱振理論設(shè)計(jì)較為常見的大尺寸矩形截面指數(shù)形變幅桿。再采用三種方法構(gòu)建根據(jù)窄縫的結(jié)構(gòu)參數(shù)預(yù)測變幅桿縱振諧振頻率的代理模型。接著，評(píng)價(jià)模型精度并選取精度較高的模型，結(jié)合遺傳算法對(duì)變幅桿窄縫結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。最后，通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證優(yōu)化結(jié)果的正確性。

2 變幅桿設(shè)計(jì)

2.1 設(shè)計(jì)理論和設(shè)計(jì)參數(shù)

變幅桿一維縱向簡諧振動(dòng)方程如下：

式中，x為沿桿長度的質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)值；ξ（x）為質(zhì)點(diǎn)位移函數(shù)；k為圓波數(shù)；S（x）為變幅桿的截面積函數(shù)。本文以工程上較為常用的指數(shù)形變幅桿為例進(jìn)行分析，指數(shù)形變幅桿的截面積函數(shù)為

變幅桿采用7075鋁合金材質(zhì)，大端（輸入端）尺寸為27mm×80mm，小端（輸出端）尺寸為3mm×80mm，系統(tǒng)工作頻率和輸入振幅分別為20KHz和7μm。變幅桿的設(shè)計(jì)目標(biāo)為通過在矩形截面變幅桿寬度方向上增加兩個(gè)窄縫，使其縱向振動(dòng)的諧振頻率與系統(tǒng)工作頻率的偏差小于20Hz。

2.2 變幅桿的初步設(shè)計(jì)和分析

基于變幅桿一維縱向振動(dòng)理論，計(jì)算出半波長矩形截面指數(shù)形變幅桿的諧振（20KHz）長度為133.2mm，所得變幅桿二維圖如圖1所示。

圖1 半波長矩形截面指數(shù)形變幅桿二維圖

采用COMSOL有限元分析軟件對(duì)所設(shè)計(jì)的變幅桿進(jìn)行模態(tài)分析，搜索變幅桿在系統(tǒng)工作頻率（20KHz）附近的縱向振動(dòng)的諧振頻率，圖2為變幅桿的縱振模態(tài)。由模態(tài)分析可知，變幅桿縱振諧振頻率為19367Hz，與系統(tǒng)工作頻率偏差較大，其主要原因是變幅桿寬度方向的尺寸大于1/4波長（62.88mm），桿的橫向振動(dòng)會(huì)引起諧振頻率的偏移。

圖2 半波長矩形截面指數(shù)形變幅桿縱振模態(tài)

借助COMSOL軟件，通過調(diào)整指數(shù)形變幅桿的總長度修正其縱振諧振頻率。模態(tài)分析結(jié)果顯示：當(dāng)指數(shù)形變幅桿總長為128.5mm時(shí)，其縱振諧振頻率為19993Hz，與系統(tǒng)工作頻率較為接近。

采用COMSOL軟件對(duì)頻率修正前后的變幅桿（總長133.2mm和總長128.5mm）進(jìn)行諧響應(yīng)分析，求解變幅桿受高頻振動(dòng)激勵(lì)時(shí)（輸入端振幅為7μm，激勵(lì)頻率為其縱振諧振頻率，輸出端無負(fù)載），輸出端的縱向振動(dòng)幅值沿寬度方向的分布情況，如圖3所示。

圖3 變幅桿輸出端位移幅值沿寬度方向的分布

由圖3可知，改變變幅桿長度雖然修正了諧振頻率，但是變幅桿輸出端的振幅分布變化不大，即變幅桿的橫向振動(dòng)并沒有得到抑制。因此考慮通過在變幅桿寬度方向上增加兩條窄縫的方式抑制變幅桿的橫向振動(dòng)并修正其諧振頻率。圖4為增加窄縫后變幅桿的二維圖。如圖4所示，兩條窄縫沿變幅桿中心位置對(duì)稱分布，設(shè)窄縫長度為a，寬度為b，窄縫間距為d。

圖4 半波長矩形截面指數(shù)形變幅桿（帶窄縫）二維圖

3 代理模型的構(gòu)建及評(píng)價(jià)

3.1 代理模型理論

若要通過增加窄縫的方式將變幅桿的縱振諧振頻率修正到系統(tǒng)工作頻率附近，則需先求出變幅桿窄縫的結(jié)構(gòu)參數(shù)和變幅桿縱振諧振頻率之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。然而，通過解析法直接求解較為困難。代理模型方法能夠基于有限的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，構(gòu)建反映輸入與輸出關(guān)系的近似函數(shù)模型［6］。常用的代理模型方法有克里金法［7］（KRG）、多項(xiàng)式響應(yīng)面法［8］（PRS）、支持向量回歸法［9］（SVR）等。相關(guān)研究表明，針對(duì)具體的問題需要比較不同代理模型方法的建模精度才能判斷該問題所適用的方法［10］。因此，需分別采用上述三種代理模型方法，建立反映窄縫結(jié)構(gòu)參數(shù)與縱振諧振頻率函數(shù)關(guān)系的代理模型，接著，評(píng)價(jià)建模精度并擇優(yōu)。

本文選用決定系數(shù)（R2）和均方根誤差（RMSE）作為評(píng)價(jià)建模精度的標(biāo)準(zhǔn)：

式中，n表示驗(yàn)證樣本數(shù)，yi表示縱振諧振頻率的仿真值，表示縱振諧振頻率的預(yù)測值，表示縱振諧振頻率仿真值的均值。判定系數(shù)（R2）的取值范圍為0～1，其用于度量模型的擬合優(yōu)度，判定系數(shù)值越接近于1，說明代理模型的預(yù)測精度越高；均方根誤差（RMSE）主要用于判斷預(yù)測值與仿真值的誤差，均方根誤差值越小說明代理模型的預(yù)測精度越高。

3.2 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)和仿真實(shí)驗(yàn)

本文的設(shè)計(jì)空間即窄縫的設(shè)計(jì)變量和取值范圍：40mm ≤ a≤ 100mm、0.2mm＜b≤ 8mm、20 mm＜d≤60 mm。在眾多實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法中，最優(yōu)拉丁超立方抽樣法［11～12］能夠利用較少的樣本點(diǎn)數(shù)據(jù)反映整體設(shè)計(jì)空間。本文選用最優(yōu)拉丁超立方抽樣法在設(shè)計(jì)空間內(nèi)分別抽取30組訓(xùn)練樣本點(diǎn)和15組驗(yàn)證樣本點(diǎn)。

表1 樣本點(diǎn)數(shù)據(jù)和對(duì)應(yīng)的變幅桿的諧振頻率

（b）驗(yàn)證樣本諧振頻率f/H z 2 0 0 3 2 1 8 9 3 5 1 9 4 1 8 1 9 0 9 3 1 9 6 4 2 1 9 0 6 4 1 9 5 8 3 1 9 3 4 6 1 9 6 0 3 1 9 5 6 3 1 9 7 6 5 1 8 7 0 5 1 8 4 1 7 1 9 6 7 8 1 9 2 1 9序號(hào)1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5長a/m m 4 8.5 7 5 2.8 6 6 1.4 3 7 4.2 9 4 0.0 0 1 0 0.0 0 4 4.2 9 8 7.1 4 5 7.1 4 9 1.4 3 8 2.8 6 6 5.7 1 7 8.5 7 7 0.0 0 9 5.7 1寬b/m m 0.2 0 6.3 3 3.5 4 5.2 1 2.9 9 6.8 9 5.7 7 4.1 0 1.3 1 2.4 3 0.7 6 7.4 4 8.0 0 1.8 7 4.6 6間距d/m m 3 4.2 9 4 5.7 1 4 0.0 0 3 7.1 4 5 7.1 4 2 5.7 1 2 2.8 6 2 8.5 7 5 1.4 3 4 2.8 6 5 4.2 9 3 1.4 3 6 0.0 0 2 0.0 0 4 8.5 7

利用COMSOL有限元分析軟件對(duì)變幅桿進(jìn)行模態(tài)分析，分別獲取了45組樣本點(diǎn)對(duì)應(yīng)的變幅桿的縱振諧振頻率。其中12、21、28號(hào)訓(xùn)練樣本點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的變幅桿在15KHz～25KHz范圍內(nèi)未搜索到縱振模態(tài)，因此判定其無效樣本點(diǎn)。表1為樣本點(diǎn)數(shù)據(jù)及對(duì)應(yīng)的諧振頻率。

3.3 代理模型的構(gòu)建及評(píng)價(jià)

表2 變幅桿諧振頻率的仿真值和三種代理模型的預(yù)測值

本文中預(yù)測變幅桿諧振頻率的模型是利用Matlab中的代理模型工具箱SRGTS Toolbox構(gòu)建的。選取表1（a）中的27組有效訓(xùn)練樣本作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)，采用三種代理模型方法構(gòu)建根據(jù)變幅桿結(jié)構(gòu)參數(shù)預(yù)測其諧振頻率的代理模型。完成建模后再取表1（b）中15組驗(yàn)證樣本作為驗(yàn)證數(shù)據(jù)來驗(yàn)證模型的預(yù)測效果。表2為變幅桿諧振頻率的仿真值和三種代理模型的預(yù)測值。

將表2數(shù)據(jù)代入式（3）、（4）中分別計(jì)算三種代理模型的預(yù)測精度結(jié)果見表3。由表3可知，PRS法構(gòu)建的代理模型預(yù)測精度較高。因此選用PRS法構(gòu)建的代理模型用于后續(xù)優(yōu)化設(shè)計(jì)。

表3 三種代理模型對(duì)變幅桿諧振頻率的預(yù)測精度

4 基于遺傳算法的變幅桿優(yōu)化設(shè)計(jì)

遺傳算法源于達(dá)爾文的進(jìn)化論、魏茨曼的物種選擇學(xué)說和孟德爾的群體遺傳學(xué)說。它是一種自適應(yīng)全局優(yōu)化搜索算法，通過循環(huán)選擇、交叉、變異等步驟持續(xù)優(yōu)化種群，解碼末代種群的最優(yōu)個(gè)體即可得到最優(yōu)解［13］。本文采用遺傳算法對(duì)矩形截面變幅桿的窄縫結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)變幅桿縱振諧振頻率的修正。算法中計(jì)算個(gè)體的適應(yīng)度值所需的變幅桿諧振頻率由上文PRS法構(gòu)建的代理模型預(yù)測得出。遺傳算法的優(yōu)化流程如圖5。

圖5 結(jié)合代理模型的遺傳算法優(yōu)化流程圖

4.1 優(yōu)化模型的建立與優(yōu)化求解

本文優(yōu)化目標(biāo)為變幅桿縱振的諧振頻率與20 KHz的偏差小于20 Hz。設(shè)計(jì)變量、目標(biāo)函數(shù)和約束條件如下：

式中，f是PRS法構(gòu)建的代理模型對(duì)變幅桿諧振頻率的預(yù)測值。在Matlab優(yōu)化工具箱的遺傳算法優(yōu)化模塊中，設(shè)定初始種群規(guī)模為200；限定遺傳算法的迭代次數(shù)范圍：50～99；設(shè)置選擇、交叉、變異算子分別為比例選擇、算術(shù)交叉、自適應(yīng)變異。設(shè)置優(yōu)化的終止條件為在迭代次數(shù)范圍內(nèi)，若適應(yīng)度值的平均變化率小于0.01%則終止優(yōu)化，否則迭代99次后終止。

圖6為優(yōu)化結(jié)果和部分優(yōu)化設(shè)置。由圖6可知，經(jīng)過61次遺傳算法迭代后得到變幅桿窄縫結(jié)構(gòu)參數(shù)的最優(yōu)解（保留兩位小數(shù)）為a=43.04、b=0.82、d=47.87。

圖6 優(yōu)化結(jié)果和部分優(yōu)化設(shè)置

4.2 優(yōu)化結(jié)果的驗(yàn)證及分析

根據(jù)優(yōu)化后的窄縫參數(shù)對(duì)變幅桿進(jìn)行三維建模，將模型導(dǎo)入COMSOL Multiphysics 5.2軟件進(jìn)行模態(tài)分析和諧響應(yīng)分析。根據(jù)模態(tài)分析結(jié)果可知：優(yōu)化后，變幅桿的縱振諧振頻率僅偏離系統(tǒng)工作頻率9Hz，符合設(shè)計(jì)要求。根據(jù)諧響應(yīng)分析結(jié)果可知：優(yōu)化后，變幅桿輸出端的縱向振動(dòng)幅值沿寬度方向的分布更為均勻，即變幅桿的橫向振動(dòng)得到了抑制。圖7為優(yōu)化后變幅桿的縱振模態(tài)，圖8為優(yōu)化前后變幅桿的輸出端的縱向振動(dòng)幅值沿寬度方向的分布。

圖7 優(yōu)化后變幅桿縱振模態(tài)

圖8 優(yōu)化前后變幅桿輸出端振動(dòng)幅值沿寬度方向分布

5 結(jié)語

本文基于變幅桿一維縱向振動(dòng)理論設(shè)計(jì)了大尺寸矩形截面指數(shù)形變幅桿，并通過增加兩條窄縫的方式，在抑制變幅桿橫向振動(dòng)的同時(shí)修正了其縱振諧振頻率。通過對(duì)設(shè)計(jì)、建模和優(yōu)化的過程進(jìn)行分析得出以下結(jié)論。

1）基于一維縱向振動(dòng)理論設(shè)計(jì)的大尺寸矩形截面指數(shù)形變幅桿的縱振諧振頻率與系統(tǒng)工作頻率有較大偏差，僅通過調(diào)整變幅桿總長可修正其縱振諧振頻率，但是變幅桿橫向振動(dòng)未得到抑制。

2）基于本文的樣本數(shù)據(jù)，采用多項(xiàng)式響應(yīng)面法（PRS）構(gòu)建的代理模型對(duì)矩形截面變幅桿諧振頻率的預(yù)測精度優(yōu)于支持向量回歸法（SVR）和克里金法（KRG）。

3）根據(jù)模態(tài)分析和諧響應(yīng)分析結(jié)果可知：經(jīng)遺傳算法優(yōu)化窄縫結(jié)構(gòu)參數(shù)后，矩形截面變幅桿的縱振諧振頻率得到了修正，且變幅桿的橫向振動(dòng)得到了抑制。