軸空間多約束下的五軸B樣條路徑速度規(guī)劃

鐘澤杉，楊 敏，趙現(xiàn)朝+，岳 義，時(shí) 云，楊天豪

(1.上海交通大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，上海 200240;2.上海航天設(shè)備制造總廠有限公司，上海 200245)

0 引言

五軸機(jī)床刀具位姿與各驅(qū)動(dòng)軸位置具有非線性映射關(guān)系[1]，在高速加工直線、圓、空間曲線等路徑的過(guò)程中，各驅(qū)動(dòng)軸電機(jī)的速度、加速度、躍度等動(dòng)力參數(shù)變化劇烈，容易超過(guò)伺服電機(jī)上限值，造成各驅(qū)動(dòng)軸的運(yùn)動(dòng)精度、響應(yīng)特性下降，影響零件加工的質(zhì)量和機(jī)床的使用壽命。速度規(guī)劃算法綜合考慮弓高誤差、刀具末端進(jìn)給的速度、加速度、躍度，以及各軸電機(jī)速度、加速度和躍度限制條件[2-3]，動(dòng)態(tài)調(diào)整進(jìn)給速度，保證機(jī)床運(yùn)動(dòng)的平順性，提高加工精度與使用壽命。

速度規(guī)劃算法廣泛采用指令前瞻和S型加減速方法[4-6]，這類方法計(jì)算量小、控制簡(jiǎn)單，適合以刀具運(yùn)動(dòng)與驅(qū)動(dòng)軸運(yùn)動(dòng)為線性映射的機(jī)床。王斌銳等[5]根據(jù)誤差要求給出最優(yōu)的兩段路徑銜接點(diǎn)處的速度約束，推導(dǎo)了非對(duì)稱S曲線加減速公式，并將其應(yīng)用在自適應(yīng)前瞻算法中；朱長(zhǎng)峰[6]采用路徑前瞻回溯法進(jìn)行連續(xù)微線段路徑規(guī)劃，然后用S型加減速調(diào)節(jié)進(jìn)給速度。對(duì)于五軸機(jī)床，需考慮驅(qū)動(dòng)軸的運(yùn)動(dòng)約束，第一類方法是改進(jìn)S型加減速方法：采用路徑關(guān)鍵點(diǎn)檢測(cè)并考慮驅(qū)動(dòng)的加速度及躍度約束限制，以減小曲線拐點(diǎn)處的加速度及躍度突變[7-9]。王田苗等[10]、李建偉等[11]、王允森等[12]依據(jù)弓高誤差確定曲線上各關(guān)鍵點(diǎn)的速度限制并實(shí)施S型加減速控制；徐榮珍[13]分析了三軸機(jī)床加工過(guò)程中切削力、慣性力、加工精度對(duì)各軸速度的約束限制條件，應(yīng)用S型加減速控制策略進(jìn)行速度調(diào)整。第二類方法是路徑或時(shí)間離散后進(jìn)行掃描優(yōu)化：根據(jù)允許的路徑擬合誤差和驅(qū)動(dòng)軸約束條件建立優(yōu)化模型，求解獲得滿足要求的加工軌跡[14-16]。黃昕等[17]考慮并建立了各軸的動(dòng)力學(xué)約束條件,采用雙向掃描法確定兩個(gè)小段直線銜接點(diǎn)最佳速度，提高加工效率；Consolini[18]等采用“前后向掃描取小”的方法進(jìn)行小車的速度規(guī)劃，并在理論上證明了該方法結(jié)果為時(shí)間最優(yōu)速度規(guī)劃；Beudaer等[19]將時(shí)間等距劃分，每次進(jìn)給均按照最大躍度前進(jìn)，然后驗(yàn)證各軸約束條件，并采用“回退”策略解決無(wú)解問(wèn)題。第三類方法是使用數(shù)值最優(yōu)化方法：將速度規(guī)劃問(wèn)題看做一個(gè)最優(yōu)化問(wèn)題，進(jìn)行數(shù)學(xué)建模、簡(jiǎn)化、求解[20-21]。Sencer等[21]將速度曲線表示為路徑的函數(shù)，根據(jù)各軸動(dòng)力學(xué)約束條件建立了非線性最優(yōu)化模型； Erkorkmaz等[22]和Fan等[23]將軸空間的加速度、躍度約束線性化，采用線性規(guī)劃求解，以加快求解速度。

隨著數(shù)控技術(shù)的發(fā)展和越來(lái)越高的加工要求，機(jī)床高速加工是必然的發(fā)展趨勢(shì)，速度規(guī)劃將越來(lái)越重要。本文考慮空間基樣條(B-樣條)曲線加工的速度規(guī)劃，建立了速度規(guī)劃的時(shí)間最短目標(biāo)函數(shù)，基于五軸機(jī)床運(yùn)動(dòng)學(xué)反解推導(dǎo)了各驅(qū)動(dòng)軸的速度、加速度、躍度約束條件，應(yīng)用序列二次型規(guī)劃(Sequential Quadratic Programming, SQP)方法求解非線性最優(yōu)問(wèn)題?；谪澬姆ㄋ枷?，分為速度、加速度、躍度約束三階段求解，減小約束維度以加快求解速度。然后利用一種典型的“正交XYZ平移軸+AC轉(zhuǎn)動(dòng)軸”結(jié)構(gòu)的五軸機(jī)床進(jìn)行算法仿真驗(yàn)證。仿真結(jié)果表明，該算法保證了刀具末端和各驅(qū)動(dòng)軸的速度、加速度始終連續(xù)且不超過(guò)限制值，躍度不超過(guò)限制值，同時(shí)算法求解速度能夠保證加工連續(xù)性。加工一條S型路徑進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測(cè)試，得到了末端速度、加速度、躍度以及驅(qū)動(dòng)軸的最大約束載荷在路徑上的分布。本文所提算法借鑒了機(jī)器人控制領(lǐng)域的思想，在一定程度上二者具有通用性。實(shí)際應(yīng)用中，機(jī)床的結(jié)構(gòu)多種多樣，但在本文討論的速度規(guī)劃方面，它們的本質(zhì)區(qū)別是機(jī)床的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型不同，因此針對(duì)不同結(jié)構(gòu)的機(jī)床，只需要修改算法中的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型(速度規(guī)劃的最優(yōu)化模型不變)，就能實(shí)現(xiàn)算法在不同結(jié)構(gòu)機(jī)床上的應(yīng)用。

1 速度曲線的表示

1.1 刀具位姿

在這種位姿坐標(biāo)定義下，一條三次B樣條表示的待加工曲線路徑C，有m個(gè)控制點(diǎn)CP=[P1…Pi…Pm]T，其中Pi=[xi,yi,zi,φi,θi]T，i=1,2,…,m；有m+4個(gè)參數(shù)節(jié)點(diǎn)Cu=[u1,…,um+4]T,u1,…,um+4是遞增不減序列；給定樣條參數(shù)u∈[u1,um+4]，由德布爾-考克斯遞推公式可計(jì)算路徑C上點(diǎn)的坐標(biāo)：

(1)

根據(jù)定義，式(1)表達(dá)為：

(2)

其中Ni,3(u)為路徑B-樣條曲線第i個(gè)三次樣條基函數(shù)的值。

一般地，基函數(shù)Ni,ρ(u)表示B-樣條第i個(gè)ρ階基函數(shù)，ρ≥0；定義0階基函數(shù)在u處的值：

(3)

因此，ρ階基函數(shù)在u處的值可以通過(guò)下述遞推公式得到：

(4)

當(dāng)ρ>0時(shí)，ρ階基函數(shù)的值是ρ-1階基函數(shù)值的線性組合。

1.2 速度曲線的表示

若路徑C總長(zhǎng)度為S，曲線上任意位置距離起點(diǎn)的路徑長(zhǎng)度s∈[0,S]。速度規(guī)劃的目標(biāo)是確定曲線上任意位置s處的進(jìn)給速度v，即速度曲線V。設(shè)V的參數(shù)方程為：

(5)

(6)

根據(jù)定義，式(6)可表示為：

(7)

采用二維B-樣條表示速度曲線的優(yōu)點(diǎn)為：

(1)樣條曲線形狀可塑性強(qiáng)，形狀修改方式靈活，固定控制點(diǎn)橫坐標(biāo)sj，調(diào)整縱坐標(biāo)vj的值就能調(diào)整速度曲線輪廓。

(2)速度曲線光滑，沒(méi)有重合控制點(diǎn)的情況下具有C2連續(xù)性。速度曲線兩次求導(dǎo)后仍然是連續(xù)函數(shù)，這保證了插補(bǔ)過(guò)程中，加速度、躍度連續(xù)，不會(huì)出現(xiàn)躍度突變的情況(首末端點(diǎn)需控制躍度不超過(guò)最大值)。

(3)參數(shù)方程(5)可表示為進(jìn)給速度v關(guān)于曲線處長(zhǎng)度s的函數(shù)v(s)，根據(jù)德布爾—考克斯遞推公式能方便計(jì)算函數(shù)v(s)的任意階導(dǎo)數(shù)。

如圖2所示為一條長(zhǎng)度S=10 mm路徑的速度曲線，速度樣條由11個(gè)控制點(diǎn)生成；在這種表示方法下，若要調(diào)整速度曲線，可固定橫坐標(biāo)s1…s11不變，調(diào)整中間9個(gè)點(diǎn)的高度v2…v10(因?yàn)榧庸さ钠瘘c(diǎn)和終點(diǎn)速度為0)。

1.3 路徑長(zhǎng)度計(jì)算

本節(jié)給出路徑曲線長(zhǎng)度的數(shù)值計(jì)算方法與誤差控制。

計(jì)算路徑時(shí)只考慮刀具中心的位置，即(x,y,z)。給定需要計(jì)算長(zhǎng)度的參數(shù)區(qū)間[u1,u2]?[0,1]，則該參數(shù)區(qū)間對(duì)應(yīng)的曲線的長(zhǎng)度L表示為：

(8)

式中{xu,yu,zu} 表示曲線位置坐標(biāo)x,y,z關(guān)于u的導(dǎo)數(shù)，可以利用式(1)對(duì)u求導(dǎo)獲得。

理論上可以寫出L的解析表達(dá)式，但形式較復(fù)雜，因此本文采用高斯—勒讓德數(shù)值積分。積分公式的變量區(qū)間固定為[-1,1]，函數(shù)求積分時(shí)需先做變量代換。例如函數(shù)f(x)定積分：

(9)

變量代換，令

(10)

得

(11)

則數(shù)值積分表示為：

tk∈{p1,…,pg}Ak∈{a1,…,ag}。

(12)

式中：g為節(jié)點(diǎn)數(shù)量，當(dāng)g確定后，{p1,…,pg}，{a1,…,ag}隨之確定且固定不變，可查數(shù)學(xué)手冊(cè)獲取，本文所用算法取g=8，即取8個(gè)積分節(jié)點(diǎn)，積分代數(shù)精度較高且積分穩(wěn)定；tk,Ak分別為節(jié)點(diǎn)值和積分權(quán)值。式(12)中將函數(shù)f(x)替換為L(zhǎng)(u)就得到了曲線的數(shù)值積分長(zhǎng)度。

數(shù)值積分存在精度誤差，但誤差可控。提高精度的方法是等距細(xì)分積分區(qū)間[u1,u2]，分別計(jì)算子區(qū)間的積分，然后求和。細(xì)分段數(shù)可以采用常用的數(shù)值計(jì)算精度控制方法確定，即首先細(xì)分p段，獲得長(zhǎng)度Lp；進(jìn)一步細(xì)分q段，q>p，獲得長(zhǎng)度Lq。設(shè)允許的長(zhǎng)度誤差為ε，由于高斯積分方法穩(wěn)定、收斂，如果|Lq-Lp|

反過(guò)來(lái)，由弧長(zhǎng)s轉(zhuǎn)化為曲線參數(shù)u采用牛頓迭代法，按照上述的曲線長(zhǎng)度計(jì)算方法同樣能夠保證計(jì)算精度在允許范圍內(nèi)。

2 效率最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)

高速加工中，高效率是指刀具進(jìn)給速度盡量達(dá)到指令速度Vtarget來(lái)提高加工效率。用加工時(shí)間來(lái)衡量加工效率，建立時(shí)間最短的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)。

2.1 優(yōu)化變量

對(duì)于加工路徑C的速度輪廓P，加工時(shí)間Γ表示為：

(13)

該問(wèn)題的核心在于確定一條合適的速度曲線v(s)，在滿足相應(yīng)的約束條件下使加工時(shí)間最短，數(shù)學(xué)上為泛函極值問(wèn)題，即：

(14)

(15)

2.2 目標(biāo)函數(shù)計(jì)算

(16)

(17)

(1)高斯—勒讓德積分公式的代數(shù)精度與階數(shù)成正比，階數(shù)越高代數(shù)精度越高，但如果階數(shù)過(guò)高會(huì)導(dǎo)致積分不穩(wěn)定甚至不收斂，因此采用7階公式。

(2)目標(biāo)函數(shù)在優(yōu)化過(guò)程中本質(zhì)上是一種優(yōu)化變量的評(píng)價(jià)函數(shù)(約束函數(shù)本質(zhì)上也是評(píng)價(jià)函數(shù))，如果優(yōu)化變量使目標(biāo)函數(shù)越小，則認(rèn)為優(yōu)化變量的取值就越“好”。另外，本文希望計(jì)算目標(biāo)函數(shù)時(shí)的采樣點(diǎn)越少越好，以減少計(jì)算量，因此目標(biāo)函數(shù)在具備正確評(píng)價(jià)優(yōu)化變量的能力基礎(chǔ)上，應(yīng)當(dāng)使分段數(shù)盡量少；考慮到路徑曲線控制點(diǎn)個(gè)數(shù)體現(xiàn)了曲線可能出現(xiàn)的拐點(diǎn)數(shù)量，因此控制點(diǎn)個(gè)數(shù)乘以系數(shù)2作為分段積分的段數(shù)能夠使目標(biāo)函數(shù)具備良好的評(píng)價(jià)能力，且不會(huì)使采樣點(diǎn)過(guò)多。

3 驅(qū)動(dòng)軸性能約束

3.1 速度、加速度、躍度約束公式

高速高精度加工的速度規(guī)劃要考慮驅(qū)動(dòng)軸空間的性能約束，使各驅(qū)動(dòng)軸速度、加速度、躍度小于各軸限定值，在五軸混聯(lián)加工機(jī)床中，這一點(diǎn)尤為重要。其中速度約束考慮曲線加工的弓高誤差、用戶設(shè)置的目標(biāo)速度；加速度約束考慮刀具進(jìn)給方向加速度限制和各驅(qū)動(dòng)軸電機(jī)的加速度限制；躍度約束考慮刀具進(jìn)給方向躍度限制和各驅(qū)動(dòng)軸電機(jī)躍度限制。

五軸機(jī)床5個(gè)驅(qū)動(dòng)軸關(guān)節(jié)空間、關(guān)節(jié)速度空間、關(guān)節(jié)加速度空間、關(guān)節(jié)躍度空間分別定義為：

(18)

v(s)≥0。

(19)

d=(1,…,L)。

(20)

(21)

(22)

(23)

d=(1,…,L)。

(24)

(25)

(26)

(27)

式中：

(28)

(29)

(30)

一般而言，用戶也會(huì)設(shè)置刀具進(jìn)給的加速度限制Tacc和加加速度限制Tjerk，則

(31)

式(17)、式(19)、式(20)、式(24)、式(27)和式(31)組成多約束下非線性最優(yōu)化模型，令：

有：

vj≥0;

t=1,2,3,4,5;

d=1,…,L。

(32)

4 多階段優(yōu)化的求解方法

分階段優(yōu)化基于“貪心法”思想，確保最終優(yōu)化結(jié)果接近最優(yōu)解。首先，根據(jù)刀具進(jìn)給的指令速度、加速度限制、加加速度限制，按照s型曲線公式確定初始速度曲線V0。顯然，若V0滿足所有約束，V0即為最優(yōu)解。在V0基礎(chǔ)上，分3個(gè)階段調(diào)整，將約束條件分為速度約束CV，加速度約束CA，躍度約束CJ，第一階段求解CV約束下的最優(yōu)解V1，不考慮CA、CJ，V1如果滿足CA、CJ，則V1已經(jīng)是最優(yōu)解。第二階段在V1基礎(chǔ)上求解CA約束下的最優(yōu)解V2，這時(shí)為了保證CV約束，約束條件增加上界約束，即V2≤V1(V2向量元素分別小于V1)。同理，第三階段在V2基礎(chǔ)上求解CJ約束下的最優(yōu)解V3，為了保證CV、CA不超出約束，更新上界約束V3≤V2；僅更新上界約束還不足以保證加速度約束不超過(guò)限制，可以在CJ約束下優(yōu)化完成后，返回第二階段檢測(cè)約束情況，考慮再次進(jìn)行CA約束下的優(yōu)化。算法流程如圖3所示。

5 速度規(guī)劃仿真與實(shí)驗(yàn)

現(xiàn)采用一種典型結(jié)構(gòu)的五軸機(jī)床進(jìn)行算法仿真試驗(yàn)，其基本結(jié)構(gòu)和軸空間坐標(biāo)定義如圖4所示。

若已知刀具位姿[x,y,z,φ,θ]T，求其運(yùn)動(dòng)學(xué)反解表示為：

X=xsinθ-ycosθ,

Y=xcosφcosθ+ycosφsinθ-zsinφ,

Z=xsinφcosθ+ysinφsinθ+zcosφ,

A=φ,

(33)

根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)反解，結(jié)合給定的路徑C、優(yōu)化變量取值點(diǎn)sj(j=1…n)、目標(biāo)函數(shù)采樣點(diǎn)位置srl(r=1…N,l=0…7)、約束條件采樣點(diǎn)位置sd(d=1…L)，可以確定式(32)表示的非線性最優(yōu)化模型。

給定加工路徑如圖5所示，圖5a中實(shí)線是待加工路徑，加工過(guò)程經(jīng)過(guò)點(diǎn)的先后順序?yàn)锳BCDEFGH。待加工曲線跨越3個(gè)區(qū)域：區(qū)域1為傾斜45度的平面，區(qū)域2為圓柱面，區(qū)域3為傾斜45度的平面。實(shí)際上，路徑是零件底部平面上的直線、圓弧草圖投影到這些面上形成的復(fù)雜圖形。圖5b包含了刀具姿態(tài)信息，傾斜平面上路徑的刀具姿態(tài)向量(刀具中心指向刀柄中心的向量)平行于面的法向量；圓柱面上的路徑，在點(diǎn)B，C，D，E，F(xiàn)，G附近對(duì)刀具姿態(tài)角θ做了平滑處理，以防止在經(jīng)過(guò)這些點(diǎn)時(shí)反解的角度發(fā)生突變，其余部分刀具姿態(tài)向量平行于該點(diǎn)處的曲面法向量。

速度規(guī)劃的驅(qū)動(dòng)軸約束條件和沿路徑切向進(jìn)給的約束條件如表1、表2所示。其中X,Y,Z,A,C代表5個(gè)驅(qū)動(dòng)軸，Tvel,Tacc,Tjerk分別為路徑切向進(jìn)給的目標(biāo)速度、最大加速度和最大加加速度。

表1 驅(qū)動(dòng)軸約束條件

表2 切向進(jìn)給約束條件

分階段的速度規(guī)劃過(guò)程如圖6所示。

圖6a是根據(jù)刀具末端的目標(biāo)速度、加速度、躍度條件，結(jié)合S型加減速算法給出的初始速度曲線。圖6b對(duì)速度曲線進(jìn)行速度約束檢測(cè)，發(fā)現(xiàn)有超出速度約束的點(diǎn)并標(biāo)記為黑色三角形，然后進(jìn)行速度約束下優(yōu)化后獲得圖6c，圖6d是再次檢測(cè)速度約束條件的結(jié)果，已經(jīng)沒(méi)有超出速度約束的點(diǎn)，然后進(jìn)行加速度約束檢測(cè)，得到圖6e，其中加速度約束超出點(diǎn)標(biāo)記為黑色矩形，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行加速度優(yōu)化得到圖6f，再次檢測(cè)加速度約束條件得到結(jié)果圖6g，已經(jīng)沒(méi)有超出加速約束的點(diǎn)。圖6h檢測(cè)躍度約束，超出約束標(biāo)記為黑色“*”形，進(jìn)行躍度約束下的速度規(guī)劃得到圖6i，再次檢測(cè)躍度約束結(jié)果為圖6j，已經(jīng)沒(méi)有躍度超出的點(diǎn)。最后，檢測(cè)躍度約束下規(guī)劃結(jié)果的加速度約束滿足情況，結(jié)果為圖6k，發(fā)現(xiàn)滿足該結(jié)果也滿足加速度約束條件，可以輸出速度規(guī)劃最后結(jié)果。

將速度規(guī)劃結(jié)果進(jìn)行插補(bǔ)，得到刀具中心關(guān)于時(shí)間的運(yùn)動(dòng)曲線以及各軸關(guān)于時(shí)間的運(yùn)動(dòng)曲線，如圖7所示。

由圖7可以看出：

(1)進(jìn)給速度在該路徑上可以達(dá)到目標(biāo)速度，但不能維持。一方面因?yàn)榍€拐角處由于弓高誤差要求，需減小進(jìn)給速度來(lái)保證精度；另一方面因?yàn)槲遢S加工存在刀具姿態(tài)調(diào)整過(guò)程，該過(guò)程中切向進(jìn)給速度與各軸速度為非線性映射關(guān)系，很容易超出電機(jī)的最大速度限制，此現(xiàn)象最明顯的是第4～12 s和第17～24 s區(qū)間，進(jìn)給速度很小，但軸的速度已經(jīng)接近于限制值。

(2)切向加速和加加速度在整個(gè)過(guò)程中沒(méi)有達(dá)到最大限制值，留有余量。因此以表1和表2的參數(shù)為約束條件加工上述路徑，起作用的限制條件是各驅(qū)動(dòng)軸的運(yùn)動(dòng)性能限制。

(3)驅(qū)動(dòng)軸的加速度和加加速度在少數(shù)點(diǎn)處仍會(huì)超出限制。最優(yōu)化建模與求解都是直接針對(duì)約束采樣點(diǎn)進(jìn)行優(yōu)化，因此采樣點(diǎn)處不會(huì)超過(guò)限制條件；約束點(diǎn)之間的部分由速度曲線連續(xù)性保證，有可能超出約束限制，但超出約束的點(diǎn)很少，且超出幅度不大。

(4)形狀相同的路徑具有不同的進(jìn)給速度特征。上述路徑中ABC段與FGH段路徑形狀基本相同，但優(yōu)化結(jié)果中兩段路徑對(duì)應(yīng)的速度曲線形狀完全不同。五軸機(jī)床在不同位置、姿態(tài)下具有不同的運(yùn)動(dòng)學(xué)特征，上述兩段路徑所處位置不同，因此速度優(yōu)化結(jié)果不同；同樣地，零件的裝夾位置也會(huì)影響速度規(guī)劃結(jié)果。

算法規(guī)劃各函數(shù)執(zhí)行時(shí)間通過(guò)MATLAB探查器給出，如表3所示。

表3 MATLAB中優(yōu)化建模及求解函數(shù)調(diào)用時(shí)間

函數(shù)aCalNidNiSi計(jì)算了目標(biāo)函數(shù)采樣點(diǎn)、優(yōu)化變量點(diǎn)、約束點(diǎn)的速度曲線樣條參數(shù)；GetFixParas計(jì)算了1 420個(gè)約束點(diǎn)處約束方程中的固定系數(shù)1γtd，2γtd，3γtd；StepSQP是分階段優(yōu)化函數(shù)。建模、求解過(guò)程耗時(shí)70.578 s，PlotV,PlotCons是中間曲線作圖函數(shù)，被StepSQP調(diào)用，扣除后實(shí)際建模優(yōu)化耗時(shí)64.316 s，小于曲線加工總時(shí)間86.872 s，滿足加工過(guò)程連續(xù)的要求。如果考慮MATLAB代碼執(zhí)行效率，用C++實(shí)現(xiàn)上述算法優(yōu)化耗時(shí)將更低。

在開(kāi)放式數(shù)控系統(tǒng)中編寫速度規(guī)劃算法，進(jìn)行速度規(guī)劃加工實(shí)驗(yàn)。數(shù)控系統(tǒng)硬件系統(tǒng)基于EtherCat總線搭建實(shí)時(shí)通信網(wǎng)絡(luò)，主站采用倍福工控機(jī)，從站為科爾摩根伺服驅(qū)動(dòng)器；軟件系統(tǒng)基于TwinCat3.0運(yùn)動(dòng)控制平臺(tái)，將速度規(guī)劃算法編寫為C++程序模塊，系統(tǒng)通過(guò)函數(shù)接口實(shí)現(xiàn)對(duì)算法模塊的調(diào)用。如圖8a所示為機(jī)床的坐標(biāo)系定義，加工路徑如圖8b所示，加工區(qū)域是零件傾斜側(cè)壁的根部，該路徑五軸聯(lián)動(dòng)才能加工，零件如圖8c所示。

系統(tǒng)控制周期為1 ms，即每隔1 ms控制器計(jì)算每個(gè)軸的位置，然后通過(guò)總線發(fā)送給驅(qū)動(dòng)器執(zhí)行位置指令，同時(shí)系統(tǒng)也能采集5個(gè)軸的反饋位置，根據(jù)正向運(yùn)動(dòng)學(xué)可以獲得刀具姿態(tài)。

通過(guò)差分方法獲得各軸的速度、加速度、躍度以及刀具中心進(jìn)給速度、加速度、躍度，如圖9所示，其中圖9a～圖9c顯示了加工路徑上切向進(jìn)給的速度、加速度、躍度分布；圖9d圖顯示了加工過(guò)程，各驅(qū)動(dòng)軸的“最大載荷”分布。路徑上一個(gè)點(diǎn)的“最大載荷”是指該點(diǎn)處，各軸的實(shí)際速度與速度限制值的百分比、實(shí)際加速度與加速速度限制值的百分比、實(shí)際躍度與躍度限制值的百分比中，取最大的比值?！白畲筝d荷”能夠反映軸的約束條件滿足情況，即理想情況是所有點(diǎn)的“最大載荷”不超過(guò)1。由圖9可以看出，切向進(jìn)給的速度在曲線平直區(qū)域能達(dá)到目標(biāo)速度，在拐角處會(huì)減速以滿足設(shè)置的約束條件；切向加速度、躍度均沒(méi)有超過(guò)限制值；軸的約束中，少部分點(diǎn)超出了其限制值，但超出幅度小于20%，加工過(guò)程平滑，無(wú)沖擊。

5 結(jié)束語(yǔ)

速度規(guī)劃是數(shù)控機(jī)床高速高精度加工的重要保證，由于刀具位姿與軸空間的非線性映射，在高速運(yùn)動(dòng)中刀具末端的平滑特性并不能保證各驅(qū)動(dòng)軸的運(yùn)動(dòng)也具有平滑特性，速度規(guī)劃需考慮軸空間的性能約束。本文介紹了一種基于非線性最優(yōu)化的速度規(guī)劃方法，該方法以加工時(shí)間最短為目標(biāo)建立了最優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù)，考慮了各驅(qū)動(dòng)軸的速度、加速度、躍度限制條件，并推導(dǎo)了最優(yōu)化模型的非線性約束條件。研究了SQP方法并應(yīng)用多階段優(yōu)化策略求解非線性最優(yōu)化問(wèn)題。為了盡量提高計(jì)算效率，采取高斯—勒讓德積分公式減少目標(biāo)函數(shù)的采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)；采用貪心法原理，將優(yōu)化分為3個(gè)階段進(jìn)行減少求解時(shí)約束的維度，這樣有利于算法收斂，提高求解效率。仿真試驗(yàn)采用典型的XYZ-AC結(jié)構(gòu)的五軸機(jī)床，在柱面上加工刀具姿態(tài)變化的空間曲線，仿真結(jié)果表明算法保證了加工過(guò)程中刀具進(jìn)給和各驅(qū)動(dòng)軸的運(yùn)動(dòng)滿足約束條件，同時(shí)計(jì)算速度滿足加工連續(xù)性要求；在開(kāi)發(fā)式數(shù)控平臺(tái)上進(jìn)行了算法的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，經(jīng)算法優(yōu)化后，控制器發(fā)送給驅(qū)動(dòng)器的指令位置滿足各項(xiàng)約束條件，各軸運(yùn)動(dòng)基本滿足限制條件，加工過(guò)程平滑、無(wú)沖擊。下一步，將拓展算法的應(yīng)用領(lǐng)域，用于五軸聯(lián)動(dòng)的工業(yè)機(jī)械臂速度規(guī)劃。