拉蓋爾-高斯光束調控冷原子自旋織構的數值分析

沈星, 孔令冉, 李睿宗, 張東方, 高天佑, 江開軍*

(1 中國科學院武漢物理與數學研究所波譜與原子分子物理國家重點實驗室, 湖北 武漢 430071;2 中國科學院冷原子物理中心, 湖北 武漢 430071;3 中國科學院大學, 北京 100049)

0 引 言

光偶極阱可以同時囚禁處于不同超精細內態(tài)的原子,形成旋量玻色-愛因斯坦凝聚體(BEC)[1],其自旋態(tài)存在諸多非平庸的空間分布,即自旋織構(Spin texture)[2],如狄拉克單極子[3]、斯格明子(Skyrmion)[4]和扭結[5]等,在凝聚態(tài)物理以及高能物理等領域具有廣泛應用。目前旋量BEC 中的自旋織構主要通過非均勻磁場中的自旋旋轉產生,Leanhardt 等[6]在鈉原子BEC 中通過磁場翻轉的方式制備了無核渦旋結構,Choi 等[7]通過掃描磁場零點在光阱囚禁的鈉原子BEC 中獲得了斯格明子。然而磁場的構型較為單一且不易調節(jié),不利于自旋織構的靈活調控。與磁場相比,相干光場的操控手段更加豐富,其中拉蓋爾-高斯(Laguerre-Gaussian,LG)光因其獨特的光強分布及攜帶軌道角動量的特性而普遍用于原子系綜的光學相干操控[8]。2009 年,Leslie 等[9]率先利用LG 模式的拉曼光脈沖在自由飛行的銣原子BEC 中獲得了斯格明子,但并未詳細分析其動態(tài)形成過程。

本文主要通過數值求解含時薛定諤方程研究了斯格明子的動態(tài)形成過程,觀察拉蓋爾-高斯模式拉曼光脈沖作用下原子團各內態(tài)布居數的演化行為,通過選取合適的雙光子失諧量和脈沖時間,在初態(tài)處于鐵磁相或極化相時分別模擬了文獻[9]、[7]實驗觀測到的斯格明子結構。其次,因實驗中拉曼光通常經由復雜的光學系統(tǒng)聚焦到真空腔中的原子團上,而在研究中發(fā)現,若要通過LG 光獲取斯格明子結構,則光斑與原子團兩者尺寸應可比擬,此時精確標定原子團處的光斑束腰對于實驗參數的選擇和結果的分析十分關鍵,本文提出了一種通過拉曼過程中雙光子拉比頻率與空間位置的關系標定光斑尺寸的方法,討論了失諧量與二階塞曼效應的影響,為后期實驗提供了參考。

1 F =1 三能級系統(tǒng)拉曼過程的理論描述

以文獻[9]的實驗為基礎進行計算,在他們的實驗中,拉曼光在BEC 形成9 ms 后作用于原子團[10],此時原子團充分膨脹,密度降低,原子間相互作用效應很弱,可以在一定程度上忽略[11]。故只考慮總自旋F=1 的無相互作用原子團在模式的LG 光作用下的雙光子拉曼躍遷,示意圖如Fig.1 所示,δ 為雙光子失諧量,LG 光光場分布為其中為拉蓋爾多項式,w為光斑束腰,e-ilφ表示攜帶的軌道角動量為

圖1 (a) LG 光束與原子相互作用;(b)原子能級躍遷(?ωz 為|-1〉和|0〉之間的能級差)Fig.1 (a)Schematic diagram of LG beams interacting with atom cloud;(b)Schematic diagram of atomic transitions(?ωz is the energy gap between|-1〉and|0〉)

三能級原子在拉曼光作用下的哈密頓量(取?=1)為

式中HZ為系統(tǒng)的塞曼頻移,Haf為原子與拉曼光相互作用引入的哈密頓量,為雙光子拉比頻率[其中Ωi(r)=μiEi(r)為單光子拉比頻率],μi為躍遷偶極矩,Δ 為單光子失諧量,ω 為兩束光的頻率差,Fy代表自旋算符。

考慮光與原子近共振情況,即光的能量差與能級之間的能量差對應,首先對(1)式利用旋轉波近似,并絕熱消去可得到

式中ε 為二階塞曼頻移。將其哈密頓量代入含時薛定諤方程,得到本征矢系數含時演化方程組[12,13]

由于失諧量與二階塞曼頻移的影響,上述方程無法得到解析解,這里采用四階龍格-庫塔方法[14]對其進行數值求解,在下面的計算過程中,選取峰值拉比頻率Ωmax作為頻率單位,1/Ωmax作為時間單位。

2 計算結果與討論

2.1 斯格明子制備條件的數值分析

考慮光場的空間分布,可知雙光子拉比頻率隨原子團空間位置變化,通過控制光脈沖時間可以得到原子內態(tài)布居的特定空間分布,即自旋織構。在F=1 原子凝聚體中,對于初態(tài)分別處于鐵磁相與極化相的自旋織構,波函數與彎曲角(Bending angle)的對應關系可表示為[15]

式中n(r)為原子團的密度分布,FM 代表鐵磁相,P 代表極化相,彎曲角β(r)用于描述自旋在原子云上的旋轉,局域自旋由矢量I(r,φ) = cos β(r)ez+sin β(r)(cos φex+sin φey)表示。在這種對應關系中,從原子團中心變化到邊緣的過程中,β(r)從0 連續(xù)變化到π[16]?？紤]原子團與一對同向傳播的拉蓋爾-高斯光束高斯光相互作用,首先將初態(tài)設定為|-1〉,即鐵磁相,參照相關實驗參數,光斑束腰設為90 μm,原子團直徑設為40 μm,利用LG 光的峰值光強計算出此時的峰值拉比頻率Ω1,調節(jié)光脈沖時間為7/(10Ω1)以及失諧量為0.178Ω1,可以得到如Fig.2(a)所示的結果,根據β(r)的變化情況容易看出所獲得的自旋織構滿足斯格明子的要求,其中R為三倍原子團半徑大小,r為距原子團中心的位置坐標。受到Choi 等[7]利用調節(jié)磁場零點的方式得到斯格明子的啟發(fā),希望利用雙光子拉曼過程重現該結果,將初態(tài)定為|0〉,即極化相,在一定范圍內調節(jié)光斑束腰、失諧量與脈沖時間,觀察自旋織構的演化,最終在光斑束腰定為60 μm、原子團直徑定為40 μm、失諧量為0、時間為1/(2Ω2)時,定性得到了符合穩(wěn)定的二維斯格明子的原子團徑向分布圖樣,如Fig.2(b)所示,驗證了此方法的可行性,其中Ω2為光斑束腰為60 μm時的峰值拉比頻率。

2.2 利用布居數振蕩標定光斑束腰

在利用高斯光束驅動拉曼過程實現自旋-軌道耦合等實驗中,光斑束腰通常遠大于原子團直徑,原子近似感受到均勻光場的作用,通過調節(jié)失諧量與二階塞曼頻移,原子團整體布居數呈現規(guī)律的振蕩行為,可以用其振蕩頻率來標定拉曼耦合強度[17]。由前面的數值分析可知,為獲取特定的自旋織構,光斑大小應與原子團大小可比擬。此時,拉曼光光強的空間分布會導致各態(tài)上粒子數布居的振蕩行為更加復雜。同樣在三能級系統(tǒng)中對此進行了數值模擬,將原子初始態(tài)制備到|-1〉上,選取與模式的拉蓋爾-高斯光束,其束腰為30μm,考慮原子團直徑為10μm,計算了原子團各態(tài)布居數的時間演化,結果如Fig.3(a)～(c)所示,橫坐標為振蕩時間,縱坐標為各能級粒子布居數比例,由于原子團不同空間位置的振蕩頻率不同,整體粒子數布居表現為多種頻率振蕩的疊加,沒有具體的規(guī)律性可循。

圖2 斯格明子占據數在(a)鐵磁相和(b)極化相下的分布Fig.2 Population[inset: cos β(r)]of Skyrmion from(a)FM phase and(b)polar phase

圖3 各能級占據數無規(guī)分布:(a)m=-1;(b)m=0;(c)m=1;占據數隨時間的演化:(d)r =2.5;(e)r =7.5Fig.3 Irregular oscillation of population:(a)m=-1;(b)m=0;(c)m=1;Population change with time:(d)r =2.5 μm;(e)r =7.5 μm

在實際的實驗過程中,拉曼光通常經由復雜的光學系統(tǒng)聚焦到真空腔中的原子團上,在原子團處實際束腰與理論數值一般不一致,準確測定原子團處的光斑束腰對于實驗參數的選擇和結果的分析十分關鍵。通過上述計算得到,分別對應r= 2.5 μm、r= 7.5 μm 空間位置的粒子數隨時間的變化如Fig.3(d)、(e)所示,發(fā)現原子團空間各點處粒子數布居近似按照正弦振蕩,且振蕩頻率取決于各點處的光強,故分開研究單點的原子振蕩性質,通過單點原子的振蕩頻率與光強的對應關系反推光斑束腰大小。

若忽略雙光子失諧量與二階塞曼頻移影響,通過本征矢系數含時演化方程組可以解析求得mF= 0態(tài)的布居數振蕩:將不同空間位置|0〉態(tài)原子的振蕩頻率用正弦函數擬合,根據光斑束腰進行擬合。Fig.4(a)、(b)是在設定束腰為30 μm 的情況下考慮不同的二階塞曼頻移得到的振蕩頻率與光強的擬合曲線,隨著失諧量與二階塞曼效應的增大,擬合得到的光強與實際數值的偏差也逐漸變大。但由于LG 光中心光強較低,二階塞曼頻移與失諧量的影響更加明顯,因此中心擬合的光強偏差更遠。分別在0～2 kHz 的范圍內調節(jié)失諧量與二階塞曼頻移時,通過計算擬合得到的光斑束腰大小以及對應的相關系數R2變化的圖像如Fig.4(c)、(d)所示,隨著失諧量或二階塞曼效應的增大擬合結果誤差增大,在失諧量和二階塞曼效應超出1 kHz 后,相關系數R2下降較快,故此方式適合在失諧量與二階塞曼效應較小的情況下使用。

圖4 光強隨(a)失諧量和(b)二階塞曼頻移的變化;束腰隨(c)失諧量和(d)二階塞曼頻移的變化Fig.4 Intensity change with(a)detuning and(b)second-order Zeeman shift;Waist change with(c)detuning and(d)second-order Zeeman shift

3 結 論

通過求解含時薛定諤方程研究了LG 光驅動F=1 三能級系統(tǒng)拉曼躍遷制備特定的自旋織構。在初態(tài)處于鐵磁相時通過調節(jié)失諧量、光脈沖時間以及光斑束腰,數值模擬驗證了Leslie 等獲得的斯格明子結構,而后將該方法推廣到初態(tài)處于極化相的情況,同樣獲得了與Choi 等利用磁場操控自旋旋轉方法得到的實驗結果相符的斯格明子結構。并研究了原子團不同空間位置的雙光子拉比頻率與光強空間分布的關系,據此提出了一種精確標定原子團處光斑束腰的方法,為自旋織構的實驗制備提供了參考。