高頻調(diào)幅交變電磁場(chǎng)金屬液滴懸浮振蕩的3 維數(shù)值模擬

連景杰, 郭加宏, 雷作勝

(1. 上海大學(xué)上海市應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所, 上海 200072;2. 上海大學(xué)省部共建特殊鋼冶金與制備國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 上海 200444)

懸浮熔煉和高溫熔融金屬液的黏度和表面張力等參數(shù)的測(cè)定, 既需要加熱金屬至熔融狀態(tài), 同時(shí)還需要利用液滴形態(tài)振蕩及其衰減特性. 采用高頻調(diào)幅交變電磁場(chǎng), 既能加熱金屬,使金屬液滴足以維持在較高的溫度, 保持熔融狀態(tài), 又能使金屬液滴產(chǎn)生形態(tài)振蕩. 目前, 采用高頻調(diào)幅交變電磁場(chǎng)的方法頗具應(yīng)用前景.

液滴的振蕩行為是研究液滴動(dòng)力學(xué)的重要問(wèn)題之一, 對(duì)大氣科學(xué)、化工冶金、天體物理等多個(gè)領(lǐng)域相關(guān)問(wèn)題的研究有重要意義. 早在1879 年, Rayleigh[1]在懸浮液體的形狀是球形且液滴不旋轉(zhuǎn)的假設(shè)下, 推導(dǎo)出了液滴振蕩頻率和表面張力的關(guān)系.

研究懸浮液滴振蕩行為的方法主要有超聲懸浮法和電磁懸浮法. 魏炳波課題組[2-4]在聲懸浮實(shí)驗(yàn)中激發(fā)了液滴的多模態(tài)振蕩, 研究了自由液滴表面波形成機(jī)理及模式2～9 的扇諧振蕩, 并且測(cè)定了液體的表面張力; Fraser 等[5]首次將電磁懸浮液滴振蕩法運(yùn)用于表面張力的測(cè)定; Kocourek 等[6]將GaInSn 液滴置于高頻交變電磁場(chǎng)的作用中, 當(dāng)高頻感應(yīng)電流達(dá)到臨界值時(shí), 液滴就會(huì)發(fā)生不穩(wěn)定現(xiàn)象, 其振動(dòng)狀態(tài)和磁場(chǎng)頻率、液滴體積都有直接的關(guān)系; Cummings等[7]對(duì)Rayleigh 公式進(jìn)行了修正, 發(fā)現(xiàn)在地球重力場(chǎng)中懸浮液滴會(huì)偏離球形, 這就會(huì)導(dǎo)致Rayleigh 頻率的分裂與平移(振蕩頻譜中通常存在多個(gè)頻峰). 在微重力環(huán)境中, 液滴表面振蕩只有一個(gè)頻率, 而在地球重力場(chǎng)中則出現(xiàn)了5 個(gè)對(duì)應(yīng)于模式2 的頻峰; 此外, 在頻譜的低頻段也出現(xiàn)了一些頻峰, 這些頻峰對(duì)應(yīng)于液滴質(zhì)心的平移頻率[8]. 王飛龍等[9]基于位置敏感探測(cè)器(position sensitive detector, PSD)和電磁懸浮技術(shù), 對(duì)熔融金屬鋯的表面張力和黏度進(jìn)行了測(cè)量.

關(guān)于懸浮液滴振蕩的數(shù)值模擬, Jorge 等[10]研究得到了在微重力真空條件下, 黏性細(xì)長(zhǎng)液滴自由振蕩的2 維數(shù)值計(jì)算結(jié)果; 朱宏達(dá)等[11]對(duì)高頻調(diào)幅交變磁場(chǎng)中懸浮金屬液滴的振蕩行為進(jìn)行了2 維數(shù)值模擬, 揭示了液滴內(nèi)部流動(dòng)以及液滴振蕩的形態(tài)變化, 該數(shù)值模擬得到的液滴振蕩形態(tài)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果基本一致; Kaushal 等[12]數(shù)值模擬了真空中在電磁場(chǎng)的作用下液態(tài)金屬鋯液滴的振蕩. 迄今, 針對(duì)液滴振蕩的3 維數(shù)值模擬研究還鮮有文獻(xiàn)報(bào)道.

本工作以在高頻交變電磁場(chǎng)作用下金屬液滴實(shí)驗(yàn)結(jié)果為依據(jù), 以任意拉格朗日方法追蹤液面變化, 對(duì)高頻調(diào)幅交變電磁場(chǎng)作用下金屬液滴的振蕩行為進(jìn)行了3 維數(shù)值模擬. 模擬得到了高頻交變電磁場(chǎng)、金屬液滴內(nèi)部流動(dòng)以及液滴自由表面的動(dòng)態(tài)變化行為.

1 數(shù)值模擬方法

1.1 控制方程及初、邊值條件

高頻調(diào)幅交變電磁場(chǎng)中液滴懸浮的磁流體動(dòng)力學(xué)控制方程如下.

(1) 麥克斯韋方程組.

式中:E為電場(chǎng)強(qiáng)度(V/m);D為電位移矢量(C/m2);H為磁場(chǎng)強(qiáng)度(A/m);B為磁感應(yīng)強(qiáng)度(Wb/m2);ρe為電荷密度(C/m3).B和D滿足以下本構(gòu)關(guān)系:

式中:μ0,μr為絕對(duì)磁導(dǎo)率和相對(duì)磁導(dǎo)率;ε0,εr為絕對(duì)和相對(duì)電容率. 在計(jì)算交變磁場(chǎng)時(shí), 為了簡(jiǎn)化電磁場(chǎng)方程, 引入磁矢勢(shì)A, 磁矢勢(shì)滿足

(2) 洛倫茲力FL為

在電磁流體力學(xué)中, 洛倫茲力是流體運(yùn)動(dòng)的外源力, 根據(jù)歐姆定律

式中:u為液滴內(nèi)部金屬液體流動(dòng)速度;σ為電導(dǎo)率. 根據(jù)上述方程組可以計(jì)算得到電磁場(chǎng)作用下液滴內(nèi)部的洛倫茲力.

(3) 流體動(dòng)力學(xué)方程組.

連續(xù)性方程:

不可壓流體N-S 方程:

式中:Fs為表面張力. 數(shù)值計(jì)算中, 忽略液滴中金屬液流動(dòng)對(duì)磁場(chǎng)的影響. 物理場(chǎng)的初、邊值條件設(shè)定: 在計(jì)算磁場(chǎng)時(shí), 設(shè)置計(jì)算域(空氣域)邊界條件n×A=0. 在懸浮金屬液滴流動(dòng)模擬中, 懸浮液滴初始為圓球形, 流動(dòng)速度為0, 置于懸浮線圈和穩(wěn)定線圈之間.

1.2 界面追蹤和界面條件

振蕩液滴自由液面的追蹤計(jì)算采用任意拉格朗日歐拉(arbitrary Lagrange-Euler, ALE)方法. ALE 方法是傳統(tǒng)的拉格朗日方法和歐拉方法的一種組合, 綜合了這2 種方法的優(yōu)點(diǎn). 計(jì)算流場(chǎng)時(shí)采用兩相流計(jì)算模型分別設(shè)置氣態(tài)域和液態(tài)域, 并劃分自由移動(dòng)網(wǎng)格, 這里初始形狀計(jì)算采用Winslow 光滑法. 在氣態(tài)域和液態(tài)域界面上設(shè)置界面張力σ, 約束液滴界面運(yùn)動(dòng). 移動(dòng)網(wǎng)格在界面上跟隨液態(tài)域流體網(wǎng)格一起移動(dòng).

(1) 液滴和空氣界面壓力為大氣壓p0=101 kPa.

(2) 液滴表面張力為σ, 液滴和空氣界面滿足

式中:u1,u2為2 種介質(zhì)的界面速度;T1,T2為2 種介質(zhì)的應(yīng)力張量;?τ為界面應(yīng)力張量.

2 數(shù)值模擬

本工作3 維數(shù)值模擬了懸浮金屬液滴的振蕩過(guò)程, 其電磁場(chǎng)由圖1 所示的上、下2 組螺線管線圈產(chǎn)生. 圖1 下部5 個(gè)線圈為一匝, 上部2 個(gè)線圈為一匝, 上下線圈繞制方向相反. 高頻調(diào)幅交變磁場(chǎng)的調(diào)制形式為雙頻調(diào)制, 線圈調(diào)制電流頻率以高頻fc作為載波頻率, 以低頻fm為調(diào)制波頻率;η為調(diào)制深度. 電流調(diào)制模式為

圖1 線圈示意圖Fig.1 Coil schematic

式中:ω2=2πfm;f2＜＜f1, 也即fm＜＜fc.

模擬時(shí), 通過(guò)加載高頻調(diào)幅電流, 在線圈內(nèi)空間產(chǎn)生高頻調(diào)幅交變電磁場(chǎng), 在液滴中產(chǎn)生感生電流, 進(jìn)一步產(chǎn)生洛倫茲力, 在洛倫茲力與界面張力共同影響下金屬液滴產(chǎn)生振蕩行為.

在數(shù)值計(jì)算中, 假設(shè)液滴為不可壓縮流體; 液滴的物性參數(shù)(如密度、磁導(dǎo)率等)不變; 表面張力系數(shù)恒定; 只考慮金屬液滴內(nèi)部傳導(dǎo)電流, 忽略位移電流. 經(jīng)網(wǎng)格無(wú)關(guān)性驗(yàn)證, 當(dāng)網(wǎng)格數(shù)為235 000 以上時(shí), 計(jì)算滿足精度要求, 因此計(jì)算時(shí)采用上述網(wǎng)格數(shù).

2.1 高頻調(diào)幅交變電磁場(chǎng)

圖2 為當(dāng)t=0.19 ms 時(shí)計(jì)算域中計(jì)算得到的磁場(chǎng)分布圖. 磁場(chǎng)分布符合由2 個(gè)反向繞制的螺線管線圈產(chǎn)生的磁場(chǎng)標(biāo)準(zhǔn). 在3 維空間中, 磁力線環(huán)狀圍繞組成線圈的導(dǎo)線, 線圈內(nèi)部磁場(chǎng)方向符合右手法則. 由于上下2 個(gè)部分線圈繞制相反, 故上下線圈組內(nèi)部磁場(chǎng)方向總是相對(duì)或相反. 在上下線圈組中間區(qū)域產(chǎn)生一個(gè)分布比較均勻的磁場(chǎng), 金屬液滴被約束在這樣一個(gè)高頻調(diào)幅交變磁場(chǎng)中產(chǎn)生振蕩, 液滴的上下部分分別處于方向相對(duì)或相反的磁場(chǎng)中.

圖2 t=0.19 ms 時(shí)計(jì)算域中磁場(chǎng)分布Fig.2 Distribution of magnetic field in computational domain when t=0.19 ms

圖3 為當(dāng)t=160 ms 時(shí)液滴磁感應(yīng)強(qiáng)度云圖. 從圖中可以看到, 在高頻交變電磁場(chǎng)中, 由于存在集膚效應(yīng), 金屬液滴內(nèi)部的磁感應(yīng)強(qiáng)度僅在近表面區(qū)域較大, 深入液滴內(nèi)部磁感應(yīng)強(qiáng)度迅速減小, 趨向于0. 因此, 液滴受到的洛倫茲力將集中在液滴內(nèi)部近表面區(qū)域, 液滴內(nèi)部深處受到的洛倫茲力基本為0, 液滴受到的洛倫茲力近似于表面力. 金屬液滴受動(dòng)態(tài)變化的洛倫茲力激勵(lì), 在表面張力以及重力的共同作用下產(chǎn)生振蕩.

圖3 t=160 ms 時(shí)液滴磁感應(yīng)強(qiáng)度云圖Fig.3 Magnetic induction intensity nephogram of the droplet when t=160 ms

圖4 為當(dāng)調(diào)幅波頻率fm為11.48 Hz 時(shí), 一個(gè)調(diào)幅周期中液滴感應(yīng)電流分布圖, 其中液滴內(nèi)的感應(yīng)電流基本上都是圍繞著液滴周向旋轉(zhuǎn). 上述結(jié)果表明, 在高頻調(diào)幅交變電磁場(chǎng)作用下金屬液滴內(nèi)的感應(yīng)電流分布具有明顯的3 維特性, 需要進(jìn)行3 維數(shù)值模擬.

圖4 一個(gè)調(diào)幅周期中液滴的感應(yīng)電流分布圖Fig.4 Induced current distribution diagram of the droplet in an amplitude modulation period

2.2 高頻調(diào)幅交變電磁場(chǎng)中洛倫茲力

圖5 為當(dāng)調(diào)幅波頻率fm為11.48 Hz 時(shí), 一個(gè)調(diào)幅周期中液滴受到的洛倫茲力分布圖. 由于磁場(chǎng)的交變特性, 金屬液滴內(nèi)帶電流體受到磁場(chǎng)作用力, 故洛倫茲力的方向也呈現(xiàn)向外和向內(nèi)交替變化的特征. 從圖5 中可以看到, 液滴上、下2 部分內(nèi)的洛倫茲力方向始終相反, 為此液滴在洛倫茲力的作用下, 在垂直方向出現(xiàn)交替的拉長(zhǎng)和縮短現(xiàn)象; 另外, 液滴在高頻調(diào)幅交變電磁場(chǎng)作用下, 整體上下振蕩的同時(shí)自身形態(tài)在發(fā)生變化, 而且液滴的形態(tài)變化并不遵循高頻調(diào)幅交變電磁場(chǎng)的調(diào)幅周期.

圖5 一個(gè)調(diào)幅周期中液滴的洛倫茲力分布圖Fig.5 Lorentz force distribution diagram of the droplet in an amplitude modulation period

液滴的形態(tài)變化將影響其振蕩幅度. 圖6 為液滴頂點(diǎn)受到的洛倫茲力隨時(shí)間的變化(fm=11.48 Hz). 在高頻調(diào)幅交變電磁場(chǎng)作用下, 液滴內(nèi)金屬流體中產(chǎn)生感應(yīng)電流, 金屬流體所受洛倫茲力呈現(xiàn)如圖6 中的包絡(luò)圖狀, 包絡(luò)圖低頻周期為高頻調(diào)幅交變電磁場(chǎng)的調(diào)幅周期.從圖6 可以看出, 振蕩液滴頂點(diǎn)所受的洛倫茲力隨高頻調(diào)幅交變電磁場(chǎng)的變化而變化, 與激勵(lì)磁場(chǎng)不同的是其呈現(xiàn)變幅度的高頻調(diào)幅振蕩, 幅值有一定的起伏變化, 這與液滴頂點(diǎn)在各個(gè)調(diào)幅周期中所達(dá)到的位置不同有關(guān).

圖6 液滴頂點(diǎn)的洛倫茲力z方向分量Fig.6 Component in z direction of Lorentz force of the droplet vertex

為了對(duì)高頻調(diào)幅交變電磁場(chǎng)中的電磁力進(jìn)行理論分析, 加載電流如式(12)所示. 假設(shè)懸浮線圈產(chǎn)生的磁場(chǎng)和鋁液滴的振動(dòng)是軸對(duì)稱的. 根據(jù)Maxwell 方程組, 引入磁矢勢(shì)A(r,z,t), 則磁場(chǎng)的表達(dá)式為

磁矢勢(shì)A(r,z,t)滿足電磁感應(yīng)方程:

當(dāng)忽略歐姆定律中感生電流項(xiàng)u×B時(shí), 單電流密度的角向分量

根據(jù)上述公式, 可以得到相應(yīng)的瞬時(shí)電磁力的表達(dá)式:

首先, 考慮單頻率電磁場(chǎng)情況, 單頻率下矢勢(shì)可以表示為A0=A(f1,f2=0),F0為對(duì)應(yīng)的電磁力. 磁矢勢(shì)A0由式(13)和(15)控制, 此時(shí)F0可以表示成磁矢勢(shì)形式:

進(jìn)一步考慮雙頻率電磁場(chǎng)情況. 假設(shè)調(diào)制函數(shù)為

此時(shí)雙頻率電磁場(chǎng)的矢勢(shì)形式為

即

式(19)中, 左邊括號(hào)中第2 項(xiàng)包含了關(guān)于調(diào)制函數(shù)m(t)的時(shí)間導(dǎo)數(shù). 由于調(diào)制函數(shù)m(t)是關(guān)于低頻fm的時(shí)間導(dǎo)數(shù), 則的數(shù)量級(jí)與f2/f1相當(dāng). 由于f2＜＜f1, 故式(20)左邊括號(hào)第2 項(xiàng)可以忽略. 因此, 把式(19)代入式(16)可以較好地近似得出高頻調(diào)幅交變磁場(chǎng)的電磁力:

由此, 根據(jù)文獻(xiàn)[13], 當(dāng)高頻遠(yuǎn)大于低頻時(shí)電磁力也不同于單頻下的電磁力, 電磁力由高頻時(shí)均電磁力和瞬變振蕩力這2 部分組成:

式中,

從上述公式可以看出, 高頻調(diào)幅交變電磁場(chǎng)下的電磁力主要由2 部分組成, 其中振蕩部分是基于低頻的瞬變力, 并包含有2 種頻率: 低頻ω2和其倍頻2ω2.

2.3 高頻調(diào)幅交變電磁場(chǎng)作用下液滴振蕩特性

圖7 為一個(gè)調(diào)幅周期液滴的速度矢量分布圖(fm= 11.48 Hz). 在高頻調(diào)幅交變磁場(chǎng)作用下, 液滴處于振蕩狀態(tài), 垂直方向出現(xiàn)交替的拉長(zhǎng)和縮短過(guò)程. 從圖中可以明顯看到, 當(dāng)液滴上半部分速度方向向上時(shí), 液滴下半部分速度向下. 液滴在高頻調(diào)幅交變電磁場(chǎng)作用下, 在整體上下振蕩的同時(shí)自身形態(tài)不斷變化. 液滴振蕩受到液滴形態(tài)變化的影響, 呈現(xiàn)出與高頻調(diào)幅交變磁場(chǎng)調(diào)幅周期相同的變振幅振蕩, 具有明顯的參數(shù)振蕩特征.

由圖7 也可看到一個(gè)調(diào)幅周期內(nèi)振蕩液滴形狀演化的過(guò)程. 液滴在高頻調(diào)幅交變電磁場(chǎng)的作用下產(chǎn)生振蕩, 振蕩液滴形狀基本上為梭形, 梭形液滴在垂直方向出現(xiàn)交替的拉長(zhǎng)和縮短過(guò)程. 圖8 為在高頻調(diào)幅交變電磁場(chǎng)作用下振蕩液滴形狀演化的實(shí)驗(yàn)圖像. 圖7 相較于圖8,振蕩液滴形狀演化相似.

圖7 一個(gè)調(diào)幅周期液滴的速度矢量圖Fig.7 Velocity vector map of the droplet in an amplitude modulation period

圖8 實(shí)驗(yàn)得到的液滴振蕩過(guò)程中形狀演化Fig.8 Shape change of the oscillating droplet in the experiment

圖9～11 顯示了調(diào)幅波頻率分別為11.48, 8.00 和4.00 Hz 時(shí), 液滴頂部位移隨時(shí)間變化曲線. 從圖中可以看出, 振蕩液滴的頂點(diǎn)位移是變幅的穩(wěn)態(tài)周期振動(dòng), 幅值有一定的起伏變化.上述結(jié)果表明, 金屬液滴在高頻調(diào)幅交變電磁場(chǎng)作用下產(chǎn)生的振蕩, 具有參數(shù)振蕩特征. 圖10～12 顯示了調(diào)幅波頻率分別為11.48, 8.00 和4.00 Hz 時(shí), 液滴振蕩時(shí)頂部位移的頻譜分析結(jié)果. 從頻譜分析結(jié)果可以看到, 液滴振動(dòng)的主頻與高頻調(diào)幅交變電磁場(chǎng)的調(diào)制波頻率相同,液滴振動(dòng)的副頻中倍頻幅度比較顯著, 3倍以上倍頻幅度遠(yuǎn)小于主頻和倍頻的幅度. 高頻調(diào)幅交變電磁場(chǎng)中洛倫茲力的分析結(jié)果顯示, 洛倫茲力主要由2 個(gè)部分組成, 其中振蕩部分是基于低頻的瞬變力, 主要包含有2 種頻率, 即低頻ω2和其倍頻2ω2. 上述液滴振動(dòng)頻譜的頻譜特性, 與高頻調(diào)幅電磁場(chǎng)中金屬液滴所受洛倫茲力的頻譜特性吻合.

圖9 液滴頂點(diǎn)在z 方向的位移隨時(shí)間的變化(fm =11.48 Hz)Fig.9 Time-dependent displacement of the droplet vertex in z direction (fm =11.48 Hz)

圖10 液滴頂點(diǎn)在z 方向的位移隨時(shí)間的變化(fm =8.00 Hz)Fig.10 Time-dependent displacement of the droplet vertex in z direction (fm =8.00 Hz)

圖11 液滴頂點(diǎn)在z 方向的位移隨時(shí)間的變化(fm =4.00 Hz)Fig.11 Time-dependent displacement of the droplet vertex in z direction (fm =4.00 Hz)

圖12 傅里葉變換得到的液滴頂點(diǎn)位移頻譜圖(fm =11.48 Hz)Fig.12 Frequency spectrum of the droplet vertex displacement obtained by Fourier transform(fm =11.48 Hz)

圖13 傅里葉變換得到的液滴頂點(diǎn)位移頻譜圖(fm =8.00 Hz)Fig.13 Frequency spectrum of the droplet vertex displacement obtained by Fourier transform(fm =8.00 Hz)

圖14 傅里葉變換得到的液滴頂點(diǎn)位移頻譜圖(fm =4.00 Hz)Fig.14 Frequency spectrum of the droplet vertex displacement obtained by Fourier transform(fm =4.00 Hz)

3 結(jié) 論

本工作對(duì)高頻調(diào)幅電磁場(chǎng)作用下金屬液滴的振蕩行為進(jìn)行了3 維數(shù)值模擬. 數(shù)值模擬結(jié)果揭示了高頻調(diào)幅電磁場(chǎng)中金屬液滴所受洛倫茲力特性、液滴振蕩的形態(tài)和頻譜特性. 數(shù)值模擬結(jié)果得到如下結(jié)論.

(1) 在高頻調(diào)幅交變電磁場(chǎng)中, 金屬液滴受近似表面力的洛倫茲力激勵(lì), 在表面張力和重力的共同作用下產(chǎn)生周期性振蕩行為.

(2) 液滴在高頻調(diào)幅交變電磁場(chǎng)作用下, 作整體上下振蕩的同時(shí)自身形態(tài)不斷變化. 因此,在高頻調(diào)幅電磁場(chǎng)作用下, 金屬液滴的周期性振蕩行為在各個(gè)周期中振幅起伏變化, 具備參數(shù)振蕩特征.

(3) 液滴振蕩頻譜的計(jì)算分析結(jié)果顯示, 在高頻調(diào)幅電磁場(chǎng)作用下, 液滴振動(dòng)的主頻和高頻調(diào)幅電磁場(chǎng)的調(diào)制波頻率相同, 在其倍頻處也會(huì)出現(xiàn)較大幅值, 液滴的這一振蕩特征與高頻調(diào)幅電磁場(chǎng)中金屬液滴所受洛倫茲力的頻譜特性吻合.