面向不平地面的雙足欠驅(qū)動步行穩(wěn)定控制

姚道金 董文濤 王曉明 楊 林

1. 華東交通大學(xué)電氣與自動化工程學(xué)院，南昌，330013

2. 華中農(nóng)業(yè)大學(xué)機(jī)電工程系，武漢，430070

0 引言

仿人機(jī)器人具有良好的人機(jī)交互親和力、對復(fù)雜環(huán)境的適應(yīng)性，一直是機(jī)器人領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)之一[1]。目前針對仿人機(jī)器人的研究多集中于結(jié)構(gòu)設(shè)計[2]、步態(tài)規(guī)劃[3]及人機(jī)交互[4]等方面。許多著名的機(jī)器人被推出：Atlas、ASIMO、“匯童”系列、“悟空”系列等[5]，但機(jī)器人在步行過程中，始終存在步態(tài)不自然、能耗高等問題[6]。為解決上述問題，近年來，一種更加自然、高效的雙足步行方式——欠驅(qū)動步行逐漸成為研究熱點(diǎn)。但步行過程中欠驅(qū)動自由度的存在，導(dǎo)致步行控制非常困難，尤其是在不平地面上[7]。

針對不平地面上欠驅(qū)動雙足步行，PARK等[8]根據(jù)不同步行環(huán)境分別設(shè)計對應(yīng)控制器，并使用有限狀態(tài)機(jī)進(jìn)行控制器切換，進(jìn)而實現(xiàn)機(jī)器人在不平地面上穩(wěn)定步行。YADUKUMAR等[7]通過采集分析人類步態(tài)數(shù)據(jù)，并結(jié)合混雜零動態(tài)的方法，實現(xiàn)AMBER機(jī)器人在不平地面上行走。DAI等[9]將地面作為外部擾動，通過增益L2量化機(jī)器人對地面干擾的魯棒性，通過魯棒控制實現(xiàn)機(jī)器人在不平地面上的行走。NGUYEN等[10]應(yīng)用兩個周期步態(tài)構(gòu)建機(jī)器人步態(tài)庫，結(jié)合其良好的形態(tài)及結(jié)構(gòu)設(shè)計，實現(xiàn)機(jī)器人在隨機(jī)不平地面上的穩(wěn)定行走。雖然上述算法實現(xiàn)了不平地面上的欠驅(qū)動步行，但均基于機(jī)器人-地面剛性接觸模型，并未考慮地面柔性對步行的影響，與實際情況不符。在真實環(huán)境中，地面由許多柔性材質(zhì)構(gòu)成，如木板、橡膠等。隨著日常環(huán)境中柔性材料使用的增加，在欠驅(qū)動步行控制中，地面柔性不再是一個可以忽略的因素。

目前，許多研究已經(jīng)證明地面柔性對欠驅(qū)動步行產(chǎn)生影響。PLESTAN等[11]發(fā)現(xiàn)機(jī)器人RABBIT在柔性地面上步行時，地面柔性導(dǎo)致步行能量消耗增加，影響步行穩(wěn)定性。AGUILAR等[12]通過流體靜力學(xué)、動力學(xué)分析機(jī)器人足部與沙土接觸過程中的運(yùn)動狀態(tài)變化，并從力學(xué)角度探討柔性地面上的步行控制問題。為解決地面柔性對步行的影響，一些學(xué)者基于Dahl模型[13]、LuGre模型[14]和彈塑性模型[15]等建立了機(jī)器人-地面接觸模型，并通過仿真分析了模型參數(shù)對步行性能的影響，但上述建模方法較為復(fù)雜，在實際機(jī)器人系統(tǒng)中應(yīng)用十分困難，因此，需建立一種便于實際應(yīng)用的機(jī)器人-地面柔性接觸模型。

為實現(xiàn)真實環(huán)境中更加高效、穩(wěn)定的欠驅(qū)動雙足步行，需同時考慮地形變化和地面材質(zhì)變化。本文基于人類變速步行特征，提出一種基于質(zhì)心運(yùn)動狀態(tài)的步行穩(wěn)定控制策略，實現(xiàn)不平地面上的欠驅(qū)動雙足步行：使用“彈簧-阻尼”系統(tǒng)建立“機(jī)器人足部-地面”柔性接觸模型；將三維欠驅(qū)動步行解耦為前向和側(cè)向的主從控制，通過控制質(zhì)心位移實現(xiàn)質(zhì)心速度控制，進(jìn)而實現(xiàn)機(jī)器人穩(wěn)定步行；最后通過仿真和試驗來證明所提控制策略的有效性。

1 不平地面上機(jī)器人建模

機(jī)器人足部與地面的接觸模型是機(jī)器人步行系統(tǒng)建模的關(guān)鍵問題之一?？紤]地面柔性，本文將柔性地面等效為一系列由黏彈性單元陣列而成的“彈簧-阻尼”系統(tǒng)[16]，如圖1所示。每個黏彈性單元中地板均通過x、y、z三個方向上“彈簧-阻尼”構(gòu)件與地基相連，每個“彈簧-阻尼”構(gòu)件中彈簧剛度系數(shù)為k，阻尼系數(shù)為c。雙足機(jī)器人步行系統(tǒng)是一個強(qiáng)耦合的高度非線性系統(tǒng)，為降低步行系統(tǒng)建模的難度，且便于后續(xù)分析與控制，本文忽略三維步行中前向與側(cè)向的耦合，使用解耦建模的方式建立機(jī)器人步行系統(tǒng)模型。

圖1 雙足機(jī)器人在不平地面上行走時數(shù)學(xué)模型

針對步行前向平面(圖1a)。機(jī)器人包括5個自由度q1、q3、q4、q7、q8，其中，q1為欠驅(qū)動自由度；機(jī)器人大小腿的長度和質(zhì)量分別為lt、lc和mt、mc，膝關(guān)節(jié)質(zhì)量為mk，髖部質(zhì)量為mH(2個髖關(guān)節(jié)和腰部質(zhì)量總和)。機(jī)器人步行過程中，支撐足在x、y和z方向上的位移分別為xst、yst和zst，擺動足在x、y和z方向上的位移分別為xsw、ysw和zsw。定義支撐足末端-地面接觸點(diǎn)和髖關(guān)節(jié)連接線與豎直平面的夾角為θ，機(jī)器人步行過程中θ單調(diào)增大，可將其作為步行系統(tǒng)的虛擬時間變量。

根據(jù)機(jī)器人與地面接觸情況，一個完整步行周期可分為單足相和雙足相兩個階段。在步行單足相階段，機(jī)器人有且僅有一足與地面接觸，使用拉格朗日建模法得到機(jī)器人單足相動力學(xué)方程：

(1)

(2)

在機(jī)器人步行雙足相階段，支撐足與擺動足均與地面發(fā)生接觸，使用拉格朗日建模法，得到前向平面機(jī)器人雙足相動力學(xué)方程：

(3)

(4)

由式(2)和式(4)得到前向平面一個完整步行周期內(nèi)機(jī)器人動力學(xué)模型：

(5)

針對步行側(cè)向平面(圖1b)，機(jī)器人包括3個自由度q2、q5和q6，髖關(guān)節(jié)質(zhì)量為mh，腰部質(zhì)量和寬度分別為mb和w。與前向平面類似，使用拉格朗日建模法，得到側(cè)向平面機(jī)器人單足相動力學(xué)方程：

(6)

(7)

機(jī)器人步行雙足相階段，使用拉格朗日建模法，得到側(cè)向平面機(jī)器人雙足相動力學(xué)方程：

(8)

(9)

由式(7)和式(9)得到側(cè)向平面一個完整步行周期內(nèi)機(jī)器人動力學(xué)模型:

(10)

2 不平地面上欠驅(qū)動步行控制策略

已有研究表明，人類正常步行時質(zhì)心豎直方向波動為腿長的0.04倍左右，質(zhì)心在側(cè)向波動為腿長的0.033倍左右，前向運(yùn)動方向為人類主動運(yùn)動方向，側(cè)向運(yùn)動對前向運(yùn)動影響忽略不計,因此，三維步行控制可轉(zhuǎn)化為前向和側(cè)向的主從控制[17]。根據(jù)“機(jī)器人不倒”這一雙足步行穩(wěn)定性的最直觀表述，筆者已提出一種基于步行速度的欠驅(qū)動步行穩(wěn)定性判定方法：如果機(jī)器人步行速度能夠收斂于一個已被證明的可維持步行的速度，則機(jī)器人處于穩(wěn)定狀態(tài)[18]。可將機(jī)器人質(zhì)心速度進(jìn)行分解，分別控制質(zhì)心速度在前向和側(cè)向平面內(nèi)對理想速度的跟蹤，進(jìn)而實現(xiàn)機(jī)器人欠驅(qū)動穩(wěn)定步行。

在機(jī)器人步行前向平面，“機(jī)器人-地面”這一復(fù)雜的多輸入-多輸出系統(tǒng)可簡化為基于質(zhì)心位移和質(zhì)心速度的單輸入-單輸出系統(tǒng)。在控制策略中引入自適應(yīng)質(zhì)心位移控制系數(shù)，根據(jù)地形變化調(diào)整該控制系數(shù)，修正質(zhì)心位移，實現(xiàn)前向平面質(zhì)心速度控制。在步行側(cè)向平面，可使用倒立擺模型對步行系統(tǒng)進(jìn)行簡化，通過控制質(zhì)心側(cè)向位移對前向位移的跟蹤，保證側(cè)向平面與前向平面運(yùn)動相匹配?？刂撇呗越Y(jié)構(gòu)如圖2所示。控制器根據(jù)第j-1周期機(jī)器人步行狀態(tài)規(guī)劃第j周期機(jī)器人步態(tài)。

圖2 控制策略框圖

2.1 前向平面控制算法

觀察人類步行姿態(tài)發(fā)現(xiàn)，通過調(diào)整身體姿態(tài)可實現(xiàn)步行速度控制：身體前傾，步行速度增加；身體后仰，步行速度降低。人類在不平地面上步行時，將根據(jù)地形變化進(jìn)一步調(diào)整身體姿態(tài)，實現(xiàn)步行速度控制。因此，筆者提出一種基于質(zhì)心運(yùn)動狀態(tài)的欠驅(qū)動步行控制策略，實現(xiàn)機(jī)器人在不平地面上穩(wěn)定步行。選擇步行單足相終止時刻質(zhì)心水平速度uf為控制輸出，單足相終止時刻質(zhì)心與支撐足相對位置的水平分量xf為控制輸入，機(jī)器人步行系統(tǒng)被簡化為一個單輸入-單輸出系統(tǒng)?？刂撇呗酝ㄟ^調(diào)整xf實現(xiàn)uf的控制，進(jìn)而實現(xiàn)機(jī)器人穩(wěn)定行走。

雙足機(jī)器人在不平地面上行走時，由于地面不平整，導(dǎo)致其足部落地點(diǎn)不在同一平面上,因此，可根據(jù)足部落地點(diǎn)將不平地面等效為不同傾斜角度的斜坡，如圖3所示，其中，γi為對應(yīng)不平地面的等效斜坡傾角。為確定xf與uf的映射關(guān)系，將“機(jī)器人-地面”模型等效為“桿-地面”模型。根據(jù)機(jī)器人步行單雙足相，等效的“桿-地面”模型可分為碰撞子模型和擺動子模型；為確定兩個子模型的切換時間，使用“桿-地面”接觸點(diǎn)處水平速度衰減率λ來判斷。在t1時刻，當(dāng)機(jī)器人足部-地面接觸點(diǎn)處水平速度衰減率為λ時，等效模型由碰撞子模型轉(zhuǎn)換為擺動子模型。

圖3 不平地面上等效運(yùn)動模型

碰撞子模型的求解分為以下兩個步驟：

(1)假設(shè)桿僅受水平方向地面作用力，然后使用中值定理對桿的狀態(tài)進(jìn)行修正。僅受水平方向作用力時，碰撞終止時刻桿質(zhì)心狀態(tài)方程為

(11)

(12)

(2)增加豎直方向地面反力修正質(zhì)心狀態(tài)，得到碰撞終止時刻桿質(zhì)心狀態(tài)方程:

(13)

在擺動子模型中，使用倒立擺來描述桿運(yùn)動狀態(tài)。為便于分析，將倒立擺質(zhì)心運(yùn)動軌跡簡化為一條直線，如圖3c所示。得到等效擺動子模型中質(zhì)心能量變化:

(14)

式中，θi、θf分別為擺動的始末狀態(tài)角。

綜合以上各式，得到一個完整步行周期內(nèi)等效模型質(zhì)心能量變化：

E=Kf+ΔW

(15)

Kf=mtol(u2+v2+ρ2ω2)/2

經(jīng)過一個完整步行周期后，桿質(zhì)心的水平速度為

(16)

(17)

設(shè)機(jī)器人步長為Lstepd，使用ufd作為已被證明可維持機(jī)器人穩(wěn)定步行的質(zhì)心速度[16,18]，則在x=xi處使用一階線性化，得到下一步行周期質(zhì)心位移xfc:

xfc=χ(λ,η,vf,uf,xi,yf,Lstepd,ufd)=xf+ηΔxf=

(18)

其中，η為與不平地面等效斜坡傾角γi相關(guān)的質(zhì)心位移調(diào)整系數(shù)。由圖3可知，當(dāng)γi>0時，地面高度增加；γi<0時，地面高度降低，本文的等效斜坡傾角在[-10°,10°]范圍內(nèi)。當(dāng)機(jī)器人在不平地面上行走時，控制器首先根據(jù)測量得到的地形數(shù)據(jù)計算等效斜坡傾角γi，然后根據(jù)γi對參數(shù)η進(jìn)行調(diào)整，最后利用式(18)得到調(diào)整后的質(zhì)心位移xfc，實現(xiàn)質(zhì)心速度uf對理想速度ufd的跟蹤，進(jìn)而實現(xiàn)機(jī)器人穩(wěn)定步行。

由于本文所提控制策略需要根據(jù)下一步行周期地形變化計算等效斜坡傾角，故步行環(huán)境需要已知。但與其他已知環(huán)境的步行控制策略不同，本文控制策略無需已知整個環(huán)境的地形變化，僅需已知下一步行周期地形變化即可，適用于實際機(jī)器人步行系統(tǒng)。

2.2 側(cè)向平面控制算法

三維行走失穩(wěn)的主要原因是側(cè)向運(yùn)動與前向運(yùn)動不匹配，故可利用“桿-地面”模型等效機(jī)器人側(cè)向運(yùn)動模型，通過控制質(zhì)心側(cè)向速度對前向速度進(jìn)行跟蹤，保證側(cè)向運(yùn)動與前向運(yùn)動相匹配，實現(xiàn)三維欠驅(qū)動穩(wěn)定行走。

當(dāng)只考慮機(jī)器人側(cè)向運(yùn)動時，步行類似原地踏步，為降低研究難度，規(guī)定側(cè)向運(yùn)動過程中軀干豎直、髖部保持水平，且忽略前向運(yùn)動導(dǎo)致的腿長變化。機(jī)器人側(cè)向運(yùn)動過程如圖4所示，圖4a～圖4d所示的4種姿態(tài)分別記為A、B、C、D，其中A表示機(jī)器人由左腿支撐轉(zhuǎn)換為右腿支撐，B表示左腿支撐機(jī)器人運(yùn)動最大姿態(tài)，C表示機(jī)器人由右腿支撐轉(zhuǎn)換為左腿支撐，D表示右腿支撐機(jī)器人運(yùn)動最大姿態(tài)，狀態(tài)A-B-C為左腿支撐階段，狀態(tài)C-D-A為右腿支撐階段。

圖4 機(jī)器人側(cè)向平面運(yùn)動過程

使用三維線性倒立擺模型描述機(jī)器人側(cè)向運(yùn)動，由其動力學(xué)方程可知，等效線性倒立擺的軌道能量為

(19)

其中，x為前向平面質(zhì)心位移，y為側(cè)向平面質(zhì)心位移；Ex、Ey分別為前向平面與側(cè)向平面軌道能量。則質(zhì)心在水平面上投影軌跡方程為

(20)

(a) 機(jī)器人等效三維線性倒擺模型

由于桿質(zhì)心前向和側(cè)向位移關(guān)系可用雙曲線表示，為降低計算量及增加求解速度，本文使用四次多項式對質(zhì)心軌跡進(jìn)行擬合，得到質(zhì)心側(cè)向軌跡方程：

y=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4

(21)

根據(jù)質(zhì)心在步行初始及終止時刻位移、速度，運(yùn)動過程中最大擺幅，可確定式(21)中多項式系數(shù)a0～a4。

綜上，通過控制質(zhì)心側(cè)向運(yùn)動對前向運(yùn)動的跟蹤，保證兩者相匹配，可實現(xiàn)雙足機(jī)器人欠驅(qū)動穩(wěn)定行走。

3 試驗與分析

3.1 物理樣機(jī)

為驗證所提控制策略的有效性，設(shè)計欠驅(qū)動雙足機(jī)器人樣機(jī)如圖6所示，圖6中，①為機(jī)器人主控器。機(jī)器人具有8個主動自由度：左右腿髖關(guān)節(jié)各2個自由度(圖6中②)、膝關(guān)節(jié)各1 個自由度(圖6中③)、踝關(guān)節(jié)各1個自由度(圖6中④)。機(jī)器人采用弧狀足部設(shè)計，忽略足部防滑橡膠皮墊微小變形，步行過程中足部與地面始終保持線接觸。步行單足相階段，足部與地面間無驅(qū)動，步行處于欠驅(qū)動狀態(tài)。機(jī)器人還配備有移動保護(hù)架，當(dāng)機(jī)器人出現(xiàn)不穩(wěn)定狀態(tài)時，可對其進(jìn)行保護(hù)。機(jī)器人總質(zhì)量為29.5 kg，高度為743 mm，各部分詳細(xì)參數(shù)見表1。

圖6 機(jī)器人樣機(jī)

表1 機(jī)器人主要參數(shù)

根據(jù)表1中機(jī)器人參數(shù)，在MATLAB中仿真得到一組步長為0.1839m的可維持機(jī)器人穩(wěn)定步行的步態(tài)：

qfs=(0.3062,0,0.0661,0.2401,0,0,-0.2382，-0.5459)T

0.7885，3.2917)T

3.2 仿真試驗

在進(jìn)行仿真試驗前，需確定不同等效斜坡傾角γi對應(yīng)的質(zhì)心位移調(diào)整系數(shù)η。本文通過仿真試驗與差值擬合來確定η的取值，首先選擇幾個固定傾角作為測試對象，確定可維持機(jī)器人穩(wěn)定行走的η取值范圍；然后根據(jù)質(zhì)心速度的最大超調(diào)量和調(diào)整時間優(yōu)化η取值；最后使用多項式插值確定不同等效斜坡傾角的η值。

以剛度系數(shù)k=24×104N/m、阻尼系數(shù)c=32×105N·s/m作為地面柔性參數(shù)，將本文研究的等效斜坡范圍[-10°,10°]平均分為40份，對機(jī)器人步行前100周期進(jìn)行分析。定義NΔ=5為機(jī)器人質(zhì)心水平速度達(dá)到穩(wěn)態(tài)誤差5%內(nèi)所需調(diào)整周期數(shù)，MP為質(zhì)心速度的最大超調(diào)量，Γi為目標(biāo)函數(shù)，Γi最小值對應(yīng)η最優(yōu)值。有

(22)

以等效斜坡傾角為6°時為例，記錄機(jī)器人在η取不同值時對應(yīng)質(zhì)心水平速度的變化情況，如圖7所示。由圖7可知，η值在(0,0.5]內(nèi)，機(jī)器人質(zhì)心水平速度可以收斂，η最優(yōu)值為0.35。

圖7 等效斜坡傾角為6°時uf變化情況

同理，得到等效斜坡傾角在[-10°,10°]內(nèi)機(jī)器人可維持步行的η可取值和最優(yōu)值，如圖8所示。其中，藍(lán)色區(qū)域為η可取值，紅色星號點(diǎn)為測試點(diǎn)處η最優(yōu)值，粉色曲線為擬合得到的[-10°,10°]范圍內(nèi)η最優(yōu)值。

圖8 η取值范圍與最優(yōu)值

確定不同等效斜坡傾角γi對應(yīng)的質(zhì)心位移調(diào)整系數(shù)η后，進(jìn)行仿真試驗。試驗隨機(jī)生成3組不平地面環(huán)境，機(jī)器人在每組環(huán)境中需完成30周期步行，計算不平地面的等效斜坡傾角，如圖9a所示，其中，傾角范圍均在[-10°,10°]內(nèi)。分別使用本文提出控制策略與已有的混合零動態(tài)(hybrid zero dynamic, HZD)[19]方法進(jìn)行仿真試驗，驗證所提控制策略的有效性。記錄3次試驗過程中步行單足相終止時刻，2種控制器作用下前向和側(cè)向平面質(zhì)心水平速度uf和wf的變化趨勢，如圖9b、圖9c所示。由試驗結(jié)果可知：

(1)在混合零動態(tài)方法作用下，機(jī)器人無法完成不平地面上步行試驗，3次試驗分別完成了7、11、10周期步行后，uf和wf發(fā)散，機(jī)器人失穩(wěn)。

(2)在本文所提出控制策略的作用下，uf和wf均可穩(wěn)定在一定范圍(uf處于0.4～1.5 m/s區(qū)間內(nèi)，wf處于0.1～0.9 m/s區(qū)間內(nèi))內(nèi)，與所提欠驅(qū)動步行穩(wěn)定判據(jù)相符，實現(xiàn)了機(jī)器人在不平地面上的穩(wěn)定步行。

(a) 三組工況下不平地面對應(yīng)等效斜坡傾角

3.3 樣機(jī)試驗

使用本文所提控制策略與混合零動態(tài)方法進(jìn)行樣機(jī)試驗，記錄不平地面上機(jī)器人步行過程，如圖10所示：首先，機(jī)器人在木地板上完成3個周期平地步行后，左腿支撐右腿邁上PVC橡膠地板，如圖10a～圖10d所示；其次，右腿支撐，左腿邁上PVC橡膠地板，如圖10e～圖10h所示；然后左腿支撐右腿擺動，平地步行1個周期后，右腿支撐左腿邁下木地板，如圖10i～圖10l所示；最后，左腿支撐右腿擺動，平地步行1 個周期后，機(jī)器人邁下PVC橡膠地板。

(a) DSP

記錄2種控制器作用下，3次步行試驗過程中單足相終止時刻，前向和側(cè)向平面質(zhì)心水平速度uf和wf變化趨勢，如圖11所示。由試驗結(jié)果可知：

(1)在混合零動態(tài)方法作用下，機(jī)器人無法實現(xiàn)不平地面上穩(wěn)定步行，3次試驗分別完成了4、5、4周期步行后，機(jī)器人失穩(wěn)。

(2)本文所提控制策略可適應(yīng)地面材質(zhì)和地形的變化，實現(xiàn)機(jī)器人在不平地面上穩(wěn)定步行。控制器從第3周期開始工作，uf下降趨勢得到抑制，但由于地面高度增加，uf出現(xiàn)衰減，且3次試驗uf平均衰減量為0.058 m/s。

(3)機(jī)器人邁向木地板時，由于地面高度變化較小(高度差為5 mm)，故質(zhì)心速度波動不明顯；邁向PVC橡膠時(高度差為15 mm)，地面高度變化較大，uf顯著提高，3次試驗uf平均增量為0.0423 m/s。之后為抑制uf增大，控制器減小質(zhì)心位移輸出，證明所提控制器可抑制地形變化對質(zhì)心速度產(chǎn)生的影響。

(a) 前向平面質(zhì)心水平速度uf變化趨勢

4 結(jié)論

(1)使用“彈簧-阻尼”系統(tǒng)建立“機(jī)器人足部-地面”柔性接觸模型，采用解耦建模的方式建立了“機(jī)器人-地面”耦合動力學(xué)模型。

(2)通過觀察人類步行特征，提出一種基于質(zhì)心運(yùn)動狀態(tài)的欠驅(qū)動步行控制策略，將三維欠驅(qū)動步行解耦為前向和側(cè)向的主從控制，通過控制質(zhì)心速度實現(xiàn)機(jī)器人穩(wěn)定步行。

(3)通過與已有的混合零動態(tài)方法進(jìn)行對比試驗，證明了本文所提控制策略的有效性。

本文實現(xiàn)了不平地面上欠驅(qū)動步行，但不平地面的起伏較小，如何對控制策略進(jìn)行改進(jìn)，使其適用于地面起伏更大的環(huán)境，是下一步研究的主要方向。