一種基于區(qū)間值Pythagorean 三角模糊語言集的多準則決策方法

丁雪楓, 鐘俊慧

(上海大學管理學院, 上海 200444)

由于現(xiàn)實決策問題的復雜性以及存在的諸多不確定性因素, 難以用精確的數(shù)值對其進行描述.因此, 很多學者引入模糊不確定語言描述不確定信息.1965 年, Zadeh[1]提出了模糊集的概念.隨后, Atanassov 等[2]考慮了隸屬度和非隸屬度, 提出了直覺模糊集.2014 年,Yager[3]擴大了隸屬度和非隸屬度的空間范圍, 提出了勾股模糊集.但這些模糊集只能粗略表示隸屬度與非隸屬度某一特定的模糊概念[4].Liu 等[5]于2017 年提出了基于不確定語言變量和Pythagorean 模糊集的勾股模糊不確定語言變量, 從定性評價與定量分析相結合的角度對不確定性和模糊性進行描述, 解決了有些定量數(shù)字不能完全表達決策者評價意見的問題.2018 年, 杜玉琴等[6]提出了勾股三角模糊語言集, 擴展了隸屬度與非隸屬度滿足的約束條件, 使得決策過程更加靈活.但是, 綜合評價的研究對象存在一定模糊性, 勾股三角模糊語言集通過點值表達隸屬度和非隸屬度, 使得表達決策者評價信息時存在一定局限性.與點值相比, 區(qū)間不確定信息的數(shù)據(jù)形式被認為可以更加精確地表達決策者的偏好[7], 描繪數(shù)量差異情況更為直接與合理, 更符合綜合評價的實際情況.為了進一步提升表達決策者偏好的精確程度, 更大限度地保留原始信息的完整, 本工作結合區(qū)間不確定語言值[8]和勾股三角模糊語言集的優(yōu)勢定義了一種新的模糊集——區(qū)間值勾股三角模糊語言集(interval-valued pythagorean triangular fuzzy linguistic set, IVPTrFLS), 并研究了區(qū)間值勾股三角模糊語言變量(IVPTrFL variable, IVPTrFLV)的基本理論, 包括運算法則、Score 函數(shù)、Accuracy 函數(shù)、距離公式等; 并針對IVPTrFLV的語言集成問題, 進一步提出區(qū)間值勾股三角模糊語言優(yōu)先加權(IVPTrFL prioritized weighted arithmetic averaging, IVPTrFLPWAA)算子.

基于區(qū)間的綜合評價(combinative distance-based assessment, CODAS) 方法是由Ghorabaee 等[9]提出的一種用于求解多準則決策的方法.該方法基于負理想解決方案, 通過Euclidean 距離和Taxicab 距離的組合, 衡量備選方案的總體績效并對各方案進行排序.目前, CODAS 方法被用于求解細分市場評估[10]、航空航天材料選擇[11]等問題.傳統(tǒng)的CODAS方法適用于解決方案評價值為具體數(shù)值的多準則決策問題, 但是在實際的復雜決策環(huán)境中,考慮到時間和成本等因素, 決策者往往很難給出各方案在所有準則下的具體評估數(shù)值.一方面考慮到CODAS 方法在求解多屬性決策問題中只需考慮負理想解決方案的簡便性, 另一方面為幫助決策者做出更符合現(xiàn)實的決策, 提升決策結果的準確性, 本工作提出了一種基于IVPTrFLS 的改進CODAS 方法求解多準則決策問題, 并通過實例計算驗證了該方法的有效性和穩(wěn)定性.

1 區(qū)間值勾股三角模糊語言集

1.1 基本定義

假設S={si|i=0,1,··· ,g ?1}是由一組有限且有序的元素組成, 其中g為奇數(shù),si表示一個語言值, 則si(i=0,1,··· ,g ?1)稱為一個語言變量[12].

定義1假設X為一給定的非空實數(shù)集,分別表示隸屬度的下限與上限,表示非隸屬度的下限與上限,表示x對于的猶豫度, 其中的下限與上限, 則IVPTrFLS為

對于任一x ∈X, 都有

(x)越小, 表示關于x的信息越多, 評估越精確; 反之亦然.為了簡便, 稱

為一個IVPTrFLV.

定義2設=為任意2 個IVPTr-FLV,λ≥0, 則IVPTrFLV 的運算法則如下.

設和是任意2 個IVPTrFLV, 其運算性質如下:

(3)

(4)

限于篇幅, 運算性質(1)～(7)的證明過程略.

定義3假設為一個IVPTrFLV,表示的Score 函數(shù),表示的Accuracy 函數(shù), 則S(︵p),A(︵p)的計算公式如下:

定義4設為任意2 個IVPTr-FLV, 則間的Hamming 距離、Euclidean 距離和Taxicab 距離分別為

令

則有

則有

1.2 IVPTrFLV 集成算子

1.2.1 PA 算子

定義5[13]假設實數(shù)集合(p1,p2,··· , pn)之間具有優(yōu)先級, 其中p1?p2?··· ?pn(“?”表示“優(yōu)于”),pi為第i個準則下的評價值, 且滿足pi ∈[0,1].若有

Ti=則稱PA函數(shù)為優(yōu)先加權(prioritized averaging, PA)算子.

1.2.2 IVPTrFLPWAA 算子

定義6設若

Ti=的Score 值, 則稱I函數(shù)為IVPTr-FLPWAA 算子.

定理1假設|i=1,2,··· ,n}是一個IVPTrFLS, 則IVPTrFLPWAA 算子仍然是一個IVPTrFLV, 且滿足

式中:的Score 函數(shù)值.

證明 (1) 當n=2 時, 根據(jù)IVPTrFLVs 的運算法則與性質可得

所以, 當n=2 時式(8)成立.

(2) 當n=k時, 假設公式(8)成立, 則有

(3) 當n=k+1 時, 有

所以, 當n=k+1 時, 式(9)成立.

綜上可知, 對于任意的n, 式(9)均成立.又因為

且

所以, 有

因此, IVPTrFLWAA 也是一個IVPTrFLV, 故定理1 成立.證畢.

定理2假設|i=1,2,··· ,n}是一個IVPTrFLS, 則IVPTrFLPWAA 算子具有以下性質.

(2) 有界性.假設

則有

證明 (1) 由定義6 和IVPTrFLV 的運算性質(4)可得

(2) 由于

則有:

根據(jù)定義3 可得

于是, 由定義3 和I算子的冪等性可得

因此,同理可得,

2 IVPTrFL-CODAS 方法

2.1 問題描述

對于多準則決策問題, 假設備選方案集合為A={A1,A2,··· ,Am}, 準則集合為C={C1,C2,··· ,Cn},wj(j=1,2,··· ,n)為第j個準則的權重, 滿足w1+w2+···+wn=1, 決策者集合為D={D1,D2,··· ,Dt}.專家Dk(k=1,2,··· ,t)對方案Ai(i=1,2,··· ,m)在準則Cj(j= 1,2,··· ,n)下采用IVPTrFLV 進行評價, 得到IVPTrFL 評價矩陣其中表示標準化群決策矩陣,︵R為加權標準化群決策矩陣,ns=[nsj]1×n表示第j個準則下的負理想解決方案,Ra=[hik]n×n表示相對評價矩陣,Hi表示第i個方案的評價值.決策目標為在所有備選方案中選出最優(yōu)方案.

2.2 決策方法

CODAS 方法是一種通過Euclidean 距離和Taxicab 距離衡量評估方案總體績效的排序方法[9], 其基本思想為: 在2 個無差異空間l2和l1中計算方案與負理想方案之間的Euclidean距離和Taxicab 距離[1], 如果方案在無差異空間l2中無法進行比較, 則在無差異空間l1中計算Taxicab 距離, 并通過2 種距離的組合形式對方案進行排序.若與負理想方案之間的距離越大, 則表示方案越好.與現(xiàn)有方法相比, CODAS 法在評估過程中只基于負理想方案, 無需考慮正理想方案[10].這里, 提出了一種基于IVPTrFLV 的改進CODAS 法——IVPTrFL-CODAS方法, 具體過程如下.

式中:

階段2 計算準則權重重要性系數(shù):

式中:w?=max{w1,w2,··· ,wn}為參照權重;為準則j的權重重要性系數(shù).

階段3 采用CODAS 方法確定最優(yōu)方案.

步驟2 確定負理想方案ns=[nsj]1×n, 其中

步驟3 計算與nsj之間的Euclidean 距離Ei和Taxicab 距離Ti.

令

則有

令

則有

步驟4 構建相對評價決策矩陣Ra=[hik]n×n, 其中

式中:

τ為閥值參數(shù), 通常取值為0.01～0.05[9].如果2 個備選方案之間的Euclidean 距離差異小于τ,則需要通過Taxicab 距離比較2 個方案[9].經過驗證, 當τ= 0.02 時, 計算結果與原始數(shù)據(jù)最接近[10].

步驟5 計算每個方案的評價值Hi:

步驟6 根據(jù)Hi值的大小, 對方案按降序進行排序, 排在首位的方案為最優(yōu)方案.

3 算例分析

3.1 算例描述

某公司計劃投資軟件項目, 現(xiàn)有4 個可供選擇的投資方案, 即A={A1,A2,A3,A4}.該公司針對投資方案的選擇, 考慮準則C={C1,C2,C3}, 其中C1為技術可行性,C2經濟可行性,C3為操作可行性.準則權重向量為w= (0.390,0.260,0.350).這里, 邀請3 位專家D={D1,D2,D3}采用IVPTrFLV 對4 個投資方案在考慮3 個準則的情況下進行評價.專家采用的語言集為S={S0,S1,S2,S3,S4,S5,S6}, 其中Si(i= 0,1,··· ,6)分別表示: 非常不好,一般不好, 不好, 中等, 比較好, 好, 非常好.受篇幅所限, 這里只給出專家D1的IVPTrFL 評價矩陣(見表1).

表1 專家D1 的IVPTrFL 評價矩陣Table 1 The IVPTrFL evaluating matrices of expert D1

3.2 決策過程

階段1 建立標準化IVPTrFL 群評價決策矩陣.

步驟1 利用式(10)計算各專家IVPTrFL 評價矩陣的Score 值, 專家D1的結果見表2.

表2 專家D1 評價矩陣的Score 值Table 2 The Score values of expert D′1s evaluating matrices

步驟2 利用式(11)建立IVPTrFL 群評價決策矩陣, 結果見表3.

表3 IVPTrFL 群評價決策矩陣Table 3 The group IVPTrFL evaluating decision matrices

步驟3 利用式(12), 計算標準化IVPTrFL 群評價決策矩陣.由于本算例中3 個指標均為效益型指標, 因此標準化后的群評價決策矩陣與IVPTrFL 群評價決策矩陣一致.

階段2 利用式(13), 計算準則權重重要性系數(shù), 得到=(1.000,0.667,0.897).

階段3 采用CODAS 方法確定最優(yōu)方案.

步驟1 利用式(14), 計算加權標準化IVPTrFL 群評價決策矩陣, 結果見表4.

表4 加權標準化IVPTrFL 群評價決策矩陣Table 4 The weighted normal group IVPTrFL evaluating decision matrices

步驟2 利用式(15) 確定準則j下的負理想方案, 可得ns1=([1.392,2.392,3.392],[0.674,0.879], [0.500,0.700]),ns2=([0.014,0.681,1.347], [0.509,0.706], [0.543,0.711]),ns3=([0.931,1.828,2.726], [0.292,0.484], [0.128,0.341]).

步驟3 利用式(16)～(17)計算方案i在準則j下的加權標準化評估值與負理想值之間的Euclidean 距離和Taxicab 距離, 可得E1= 1.110,E2= 0.864,E3= 1.767,E4= 2.554;T1=0.650,T2=0.653,T3=1.915,T4=2.695.

步驟4 利用式(18)和(19), 構建相對評價決策矩陣, 可得

步驟5 利用式(20)計算每個方案的評價值Hi, 可得H1=?1.857,H2=?2.840,H3=3.330,H4=9.056.

步驟6 根據(jù)Hi的值對各方案進行降序排序, 結果為A4?A3?A1?A2.可見,A4為最優(yōu)投資方案.

3.3 結果分析

本工作通過靈敏度分析及與現(xiàn)有方法的結果對比分析, 對所提出的IVPFTrFL-CODAS法的穩(wěn)定性與有效性進行驗證.

3.3.1 穩(wěn)定性

為了考察所提出方法的穩(wěn)定性, 選擇不同的τ值對決策結果的影響情況進行研究, 結果見表5.

表5 不同參數(shù)τ 的投資方案排序結果Table 5 Ranking results of investment schemes with different τ values

由表5 可見, 不同的τ值下采用IVPFTrFL-CODAS 法求得的投資方案的排序結果均為A4?A3?A1?A2, 排序結果沒有受決策者設置的閥值影響, 說明IVPTrFL-CODAS 方法具有良好的穩(wěn)定性.

3.3.2 有效性

將IVPTrFL-CODAS 方法與PFUL-TODIM[14]法、PFL-TOPSIS[15]法進行對比, 不同方法的排序結果見表6.由表6 可知, IVPTrFL-CODAS 法與PFUL-TODIM 法(1.9 ≤θ≤4)、PFUL-TODIM 法(1.2 ≤θ≤1.8)和PFL-TOPSIS 法得到最優(yōu)方案一致, 均為方案A4, 驗證了本方法的有效性.PFUL-TODIM(1.0 ≤θ≤1.1)法得到的最優(yōu)方案與其他方案不同, 說明該方法的決策結果會受到參數(shù)θ的影響, 不同參數(shù)取值范圍下進行靈敏度分析所得的最優(yōu)方案沒有保持一致.

表6 與現(xiàn)有方法對比的投資方案排序結果Table 6 Ranking results of investment schemes compared with other existing methods

4 結束語

為提升決策者評價信息準確度, 本工作提出了一種IVPTrFLS, 通過定義IVPTrFLV 研究了相關的基本理論, 并在此基礎上提出了基于IVPTrFLVs 的改進CODAS 法用于求解多準則決策問題.通過對實際項目投資決策問題的計算及對比分析, 驗證了所提出方法的有效性和穩(wěn)定性.由于實際決策中較難精確地對決策問題涉及到的準則及其相對重要程度進行確定, 使得獲取準則的權重具有一定難度, 因此提出的IVPTrFL-CODAS 法是在考慮準則權重已知的情形下進行的.接下來的研究, 將會考慮準則權重在未知情況下的多準則決策問題的求解.