考慮井阻與涂抹的非飽和土豎井地基固結(jié)分析

秦愛(ài)芳, 許薇芳, 江良華

(上海大學(xué)土木工程系, 上海 200444)

在高速公路和高速鐵路路基的設(shè)計(jì)和施工中, 通常采用堆載預(yù)壓及豎井加堆載預(yù)壓等方法進(jìn)行地基處理, 而處理后的地基以固結(jié)沉降變形為主.部分壓實(shí)后的路基填土的飽和度為65%～87%, 其固結(jié)特性與飽和土明顯不同, 利用飽和土固結(jié)理論進(jìn)行分析與工程實(shí)測(cè)值產(chǎn)生較大偏差[1], 因此, 研究非飽和土豎井地基的固結(jié)特性是非常必要的.20 世紀(jì)40 年代初,Carrillo[2]為分析豎井地基的固結(jié)特性, 采用軸對(duì)稱模型將豎井地基模型進(jìn)行了簡(jiǎn)化, 提出了著名的Carrillo 定理.Barron[3]發(fā)現(xiàn)在豎井地基固結(jié)過(guò)程中, 靠近豎井的土體因固結(jié)較快產(chǎn)生了較大沉降, 因而使得作用荷載的材料在該部分產(chǎn)生拱作用, 如果拱作用足夠明顯, 將使得地面變形更接近于等應(yīng)變情況.因此, Barron 在Terzaghi[4]提出的固結(jié)理論基礎(chǔ)上建立了豎井地基等應(yīng)變固結(jié)理論, 并通過(guò)與自由應(yīng)變固結(jié)解的比較, 證明了等應(yīng)變假設(shè)的可靠性.Yoshikuni等[5]進(jìn)一步完善了Barron 固結(jié)理論, 提出自由應(yīng)變假設(shè)下考慮井阻與涂抹的豎井地基解析解.在國(guó)內(nèi), 謝康和等[6]建立了考慮井阻與涂抹的豎井地基等應(yīng)變解析理論.陳國(guó)紅等[7]基于等應(yīng)變假設(shè), 考慮涂抹區(qū)土體水平滲透系數(shù)呈不同變化模式, 得到飽和土豎井地基固結(jié)解.張?bào)A等[8]基于連續(xù)排水邊界條件, 得到了考慮涂抹及井阻效應(yīng)的飽和土軸對(duì)稱豎井地基等應(yīng)變固結(jié)解析解, 飽和土豎井地基固結(jié)理論被不斷完善.

非飽和土豎井地基固結(jié)有關(guān)理論是基于Fredlund 等[9]提出的一維固結(jié)理論而發(fā)展的.秦愛(ài)芳等[10]采用Laplace 變換及Cayley-Hamilton 定理得到了非飽和土一維固結(jié)半解析解;周萬(wàn)歡等[11]采用差分積分法推導(dǎo)出復(fù)雜邊界下的一維固結(jié)解;Wang 等[12]針對(duì)不同的邊界條件對(duì)非飽和土二維固結(jié)做了進(jìn)一步完善.對(duì)于非飽和土豎井地基固結(jié), Conte[13]利用Hankel 變換研究了非飽和土中的軸對(duì)稱固結(jié)問(wèn)題;Qin等[14]采用Laplace 變換并引入Bessel 方程, 得到了自由應(yīng)變假設(shè)下理想井固結(jié)的半解析解;Ho 等[15-16]變換得到了非飽和土軸對(duì)稱固結(jié)解析解及考慮涂抹作用的非飽和土豎井地基固結(jié)的解析解;Zhou 等[17]研究了等應(yīng)變假設(shè)下考慮井阻的非飽和土豎井地基固結(jié)解析解.

然而, 目前還未見(jiàn)同時(shí)考慮井阻與涂抹的非飽和土豎井地基固結(jié)相關(guān)研究.本工作在現(xiàn)有理論基礎(chǔ)上, 首先引入變量Φ和Laplace 變換, 將非飽和土豎井地基固結(jié)控制方程組轉(zhuǎn)化, 同時(shí)考慮井阻與涂抹作用, 采用Crump 方法編程實(shí)現(xiàn)Laplace 逆變換, 得到了地基內(nèi)任一深度的平均超孔隙氣壓力、平均超孔隙水壓力及整個(gè)深度范圍內(nèi)的平均固結(jié)度;然后, 采用算例驗(yàn)證了所得解的可靠性, 并分析了井阻因子G、涂抹系數(shù)α及涂抹區(qū)半徑比S對(duì)非飽和土豎井地基固結(jié)的影響;最后, 對(duì)比分析了非飽和土豎井地基4 種假設(shè)情況下的固結(jié)度預(yù)測(cè).

1 半解析解

1.1 基本假設(shè)

基于Fredlund 等[9]和Ho 等[15]的有關(guān)假設(shè), 本工作假設(shè)如下: ①非飽和土土層是均質(zhì)的;②液相與土顆粒在加載過(guò)程中不可壓縮;③固結(jié)過(guò)程中發(fā)生的應(yīng)變?yōu)樾?yīng)變;④氣相、液相滲流分別符合Darcy 定律與Fick 定律, 二者滲流連續(xù)并獨(dú)立;⑤固結(jié)過(guò)程中氣相與液相滲透系數(shù)、體積變化系數(shù)均假設(shè)為常數(shù)(參數(shù)在非飽和土固結(jié)過(guò)程中為應(yīng)力狀態(tài)的函數(shù), 通常具有非線性性質(zhì), 但在非飽和土性狀的初步研究中, 可以認(rèn)為這些參數(shù)在小應(yīng)變及瞬時(shí)荷載作用過(guò)程中是恒定的, 且容易得到非飽和土固結(jié)方程的解).

1.2 計(jì)算模型

單層完全打穿非飽和土豎井地基計(jì)算模型如圖1 所示.圖1 中: 豎井地基厚度為H;未擾動(dòng)區(qū)氣相、液相在水平方向滲透系數(shù)為ka、kw;涂抹區(qū)氣相、液相在水平方向滲透系數(shù)為kas、kws;豎井內(nèi)的氣相、液相在豎直方向滲透系數(shù)為kaw、kww;豎井半徑為rw, 涂抹區(qū)半徑為rs, 影響區(qū)半徑為re;涂抹區(qū)范圍為rw≤r≤rs, 未擾動(dòng)區(qū)范圍為rs≤r≤re;在豎井地基的頂面與底面以及影響區(qū)邊界(r=re處)均為完全不透水不透氣;豎井地基表面所受瞬時(shí)均布荷載為q;r、z為徑向和豎向坐標(biāo).

圖1 非飽和土豎井地基計(jì)算模型Fig.1 Consolidation modeling of vertical drain foundations in unsaturated soils

1.3 控制方程

根據(jù)基本假設(shè)以及文獻(xiàn)[17]可知, 當(dāng)僅考慮徑向滲流時(shí), 瞬時(shí)均布荷載下考慮涂抹的豎井地基等應(yīng)變模型, 在固結(jié)過(guò)程中的控制方程為

1.4 初始條件與邊界條件

(1) 初始條件

(2) 邊界條件

在r=re處,

在r=rs處,

在r=rw處,

在z=0 處,

在z=H處,

1.5 半解析解推導(dǎo)

整理控制方程(1)和(2), 可得

式中:

引入任意常數(shù)q1、q2, 由式(10)可得

再引入常數(shù)Q, 有

求解式(12), 可得

當(dāng)Q=Q1時(shí), 式(12)中的q1、q2分別為q11和q21;而當(dāng)Q=Q2時(shí),q1、q2分別為q12和q22.

在不失最初假設(shè)的前提下, 假設(shè)q11=q22=1, 并引入變量Φ.則式(10)可表示為

式中:

將式(13)對(duì)變量r作兩次積分, 并代入邊界條件(4)、(5)以及考慮井阻的邊界條件(6)可得

涂抹區(qū)半徑比S=rs/rw.

將式(15)、(16)代入式(14), 可得

式中:4N4lnS ?4N2?S2?1S2?1,井徑比N=re/rw.

井阻邊界條件式(7)通過(guò)變量Φ轉(zhuǎn)換, 可得

式中: 涂抹系數(shù)α=kw/kws=ka/kas, 未擾動(dòng)區(qū)土體與豎井中材料的滲透系數(shù)比β=kw/kww=ka/kaw.

此處需要說(shuō)明: 雖然實(shí)際工程中kw/kww可能不等于ka/kaw, 但根據(jù)Zhou 等[17]的分析結(jié)果可知, 假設(shè)kw/kww=β, 當(dāng)固結(jié)度超過(guò)一定值(20%～30%)之后, 無(wú)論ka/kaw是否等于β, 固結(jié)曲線都將趨于一致, 即豎井地基達(dá)到一般設(shè)計(jì)要求的固結(jié)度, 所需要的時(shí)間不會(huì)因?yàn)閗a/kaw(kaw不變)取值不同而不同.這說(shuō)明在預(yù)測(cè)豎井地基固結(jié)度時(shí), 假設(shè)kw/kww=ka/kaw是可行的.

對(duì)式(13)積分并代入邊界條件可知, 對(duì)于涂抹區(qū)有

將式(18)代入式(19), 可得

注重宣傳教育，構(gòu)筑社會(huì)共治格局。樹(shù)立“宣傳也是監(jiān)管”的理念，積極打造全方位、立體式宣傳模式。廣泛開(kāi)展食品藥品安全宣傳活動(dòng)，通過(guò)舉辦“食品安全宣傳周”、安全用藥月、食品藥品安全知識(shí)“六進(jìn)”等活動(dòng)，建立科普服務(wù)站和志愿者隊(duì)伍，強(qiáng)化媒體監(jiān)督，引導(dǎo)公眾合理消費(fèi)。實(shí)施信用信息和“紅黑榜”管理制度，建立企業(yè)主體責(zé)任約談告誡機(jī)制，暢通“12331”舉報(bào)投訴電話和網(wǎng)絡(luò)舉報(bào)平臺(tái)，推動(dòng)社會(huì)共治。

式中:

結(jié)合式(17)和(20), 可得

再對(duì)式(17)和(21)分別進(jìn)行Laplace 變換, 整合后可得

邊界條件(8)和(9)經(jīng)Laplace 變換并結(jié)合式(22), 可求得解為

式中: 豎井直徑dw= 2rw;井阻因子

將式(23)代入Laplace 變換下的式(17), 可得

故由式(14)可得

因此, Laplace 變換下的非飽和土豎井地基平均固結(jié)度由體積應(yīng)變表示[15]為

式(25)、(26)通過(guò)Crump 方法編制程序?qū)崿F(xiàn)Laplace 逆變換, 即得到瞬時(shí)均布荷載下考慮井阻與涂抹的非飽和土豎井地基等應(yīng)變固結(jié)半解析解.

2 驗(yàn)證與算例分析

2.1 退化驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本工作結(jié)果的正確性, 將半解析解退化為飽和土中Laplace 變換下考慮井阻與涂抹的豎井地基等應(yīng)變固結(jié)解.

式中:

采用飽和土中等應(yīng)變假設(shè)下考慮井阻與涂抹的豎井地基算例[6]進(jìn)行驗(yàn)證, 其中N=10,dw= 0.3 m,H= 15 m,kw/kww= 10?4,S= 1.2,kw/kws= 5,ch=kwEs/γw=kw/γwmv= 2×10?7m2/s.根據(jù)Fredlund 非飽和土固結(jié)理論, 在非飽和土中一般取負(fù)值, 即ms2=mw2=?mv.將上述參數(shù)代入程序計(jì)算, 結(jié)果如圖2 所示, 其中時(shí)間因素T=kwt/γwms1kr2e.由圖2 可以看出, 二者的曲線幾乎吻合, 初步驗(yàn)證了本工作中半解析解的正確性.

圖2 不同方法下平均固結(jié)度的比較Fig.2 Comparison of average consolidation degree obtained from different methods

2.2 對(duì)比驗(yàn)證

為了進(jìn)一步驗(yàn)證半解析解的可靠性, 在不考慮井阻與涂抹(α= 1,G= 0)的理想情況下,將半解析解與Qin 等[14]非飽和土自由應(yīng)變假設(shè)下理想井固結(jié)解在不同ka/kw時(shí)進(jìn)行比較.驗(yàn)證及后續(xù)算例分析均采用Qin 等[14]給出的非飽和土算例: 單層完全打穿豎井地基, 表面瞬時(shí)均布荷載為q=100 kPa,=5 kPa,=40 kPa,n0=50%,Sr0=80%,kw=10?10m/s,=?5×10?5kPa?1,=?2×10?4kPa?1,=?10?4kPa?1,=10?4kPa?1,rw=0.5 m,rs=1.5 m,re=4.5 m,H=10 m.

圖3 為不同ka/kw(kw= 10?10m/s)時(shí)理想井在等應(yīng)變與自由應(yīng)變假設(shè)下與的消散曲線.在ua消散過(guò)程中,隨著ka/kw增大而消散變快, 這是由于氣相滲透系數(shù)ka(假設(shè)kw不變)增大引起的.而在消散曲線中, 當(dāng)ka/kw>1 時(shí)呈現(xiàn)兩個(gè)階段, 在兩階段中間有一段“平臺(tái)期”.在第一階段,的消散受到影響, 消散較為緩慢, 且隨著ka/kw(kw不變)增大而消散加快, 這體現(xiàn)了對(duì)于的耦合作用;進(jìn)入第二階段后,消散已經(jīng)結(jié)束,消散速率(即曲線斜率)由于沒(méi)有氣體的影響而明顯加快,消散曲線在不同ka/kw情況下逐漸趨于一致.以上所有現(xiàn)象均與Qin 等[14]給出的結(jié)果相符, 而且隨著固結(jié)時(shí)間的增加,與在等應(yīng)變與自由應(yīng)變假設(shè)下的消散曲線逐漸趨于一致.綜上, 驗(yàn)證了本工作非飽和土豎井地基等應(yīng)變固結(jié)解的正確性.

圖3 不同假設(shè)條件下平均超孔隙壓力的比較Fig.3 Comparison of average excess pore pressure dissipation curves under different assumptions

2.3 算例分析

同時(shí)考慮井阻和涂抹時(shí), 為了顯示井阻和涂抹對(duì)非飽和豎井地基固結(jié)特性的影響, 選取不同的井阻因子G、涂抹系數(shù)α和涂抹區(qū)半徑比值S對(duì)豎井地基固結(jié)進(jìn)行分析, 并將非飽和土豎井地基在4 種假設(shè)情況下的固結(jié)度預(yù)測(cè)進(jìn)行對(duì)比.

圖4(a)為不同井阻因子G對(duì)考慮井阻和涂抹(α=3,S=3)的非飽和土豎井地基固結(jié)的影響.不考慮井阻(G=0)時(shí)的曲線與其他曲線對(duì)比可知, 井阻對(duì)豎井地基固結(jié)影響較為明顯, 且井阻因子G越大, 固結(jié)越慢.在分析過(guò)程中, 取豎井內(nèi)豎向滲透系數(shù)作為單一變量來(lái)調(diào)整井阻因子, 那么從本質(zhì)上來(lái)看, 是因?yàn)樨Q井內(nèi)豎向滲透系數(shù)的減小, 使得氣相以及液相的消散過(guò)程變得相對(duì)緩慢, 從而延長(zhǎng)了地基的固結(jié)時(shí)間.

圖4(b)與圖4(c)分別顯示了不同涂抹系數(shù)α和不同涂抹區(qū)半徑比S對(duì)考慮井阻(G=0.1)與涂抹的非飽和土豎井地基固結(jié)的影響.不考慮涂抹(α= 1 或S= 1)的曲線與其他曲線對(duì)比可知, 考慮涂抹將顯著地增加豎井地基的固結(jié)時(shí)間, 且隨著涂抹系數(shù)α減小, 固結(jié)變快;而隨著涂抹區(qū)半徑比S增大, 固結(jié)變慢, 當(dāng)S大于5 后, 涂抹對(duì)豎井地基固結(jié)的影響與S= 5時(shí)無(wú)明顯差異.

圖4 非飽和土豎井地基固結(jié)分析Fig.4 Analysis to consolidation of unsaturated soil with vertical drain

圖4(d)是非飽和土豎井地基在考慮井阻與涂抹(G= 0.1,α= 3,S= 3), 僅考慮涂抹(G= 0,α= 3,S= 3), 僅考慮井阻(G= 0.1,α= 1,S= 1)以及理想邊界(G= 0,α= 1,S=1)假設(shè)下平均固結(jié)度預(yù)測(cè)的對(duì)比.從圖4(d)可知, 井阻及涂抹對(duì)豎井地基的固結(jié)均有不同程度的影響, 且與平均超孔隙水壓消散曲線一樣, 平均固結(jié)度隨時(shí)間變化的曲線也分為兩個(gè)階段.為了顯示不同階段的影響, 分別取不同時(shí)間因素T所對(duì)應(yīng)的平均固結(jié)度以進(jìn)行比較, 具體結(jié)果見(jiàn)表1.

表1 不同情況下平均固結(jié)度在不同階段的比較Table 1 Comparison of average consolidation degree at different stages in different cases %

表1 不同情況下平均固結(jié)度在不同階段的比較Table 1 Comparison of average consolidation degree at different stages in different cases %

T 第一階段 第二階段2×10?5 2×10?3 2×10?1 2 5理想井 1.11 23.76 45.60 97.41 99.98僅考慮井阻 0.93 23.47 42.46 95.44 99.93僅考慮涂抹 0.47 20.64 33.83 81.65 97.84涂抹+井阻 0.38 19.03 31.92 75.55 95.54

由表1 可知, 考慮井阻與涂抹的非飽和土豎井地基的平均固結(jié)度在第二階段與其他3 種情況相比差別較為明顯.當(dāng)T=2 時(shí), 同時(shí)考慮井阻和涂抹的豎井地基平均固結(jié)度, 與僅考慮涂抹的豎井地基平均固結(jié)度相差6.1%, 與僅考慮井阻的豎井地基平均固結(jié)度相差達(dá)19.89%,而與理想井豎井地基平均固結(jié)度相差高達(dá)21.86%.由此可知, 同時(shí)考慮井阻與涂抹在工程設(shè)計(jì)中更為合理.

3 結(jié) 論

本工作推導(dǎo)出考慮井阻與涂抹的非飽和土豎井地基等應(yīng)變固結(jié)半解析解, 通過(guò)分析得到如下結(jié)論.

(1) 將半解析解退化為飽和土中考慮井阻與涂抹的等應(yīng)變固結(jié)半解析解, 初步驗(yàn)證了所得半解析解的正確性.

(2) 通過(guò)與非飽和土中自由應(yīng)變假設(shè)下理想井固結(jié)解的比較, 表明了非飽和土中等應(yīng)變模型的有效性, 且間接驗(yàn)證了本工作中解的可靠性.

(3) 井阻對(duì)于非飽和土豎井地基固結(jié)有一定影響, 隨著井阻因子G變大, 固結(jié)變慢.

(4) 考慮涂抹將顯著地增加豎井地基的固結(jié)時(shí)間, 且隨著涂抹系數(shù)α與涂抹區(qū)半徑比S的增大, 固結(jié)變慢;但當(dāng)S >5 時(shí)影響變化不再明顯.

(5) 非飽和土豎井地基中, 同時(shí)考慮井阻與涂抹將使地基固結(jié)度的預(yù)測(cè)更為合理.