耦合諧振子的量子絕熱捷徑設(shè)計(jì)

楊冠卓, 陳 璽

(上海大學(xué)理學(xué)院, 上海 200444)

量子絕熱定理是量子力學(xué)中的一個(gè)重要結(jié)論, 在量子絕熱操控、量子絕熱計(jì)算和量子絕熱模擬方面具有重要的應(yīng)用價(jià)值.量子絕熱過程是指當(dāng)外參量隨著時(shí)間緩慢變化時(shí), 量子態(tài)沿著其瞬時(shí)本征態(tài)演化[1].在實(shí)際過程中由于量子絕熱的慢過程, 量子態(tài)的制備或操控往往會(huì)受到退相干的影響, 而失去保真度.為此, 人們提出了量子絕熱捷徑技術(shù)[2-4], 旨在加快量子絕熱的慢過程, 從而減小退相干的影響.量子絕熱捷徑技術(shù)包括了許多不同的方案, 例如基于量子不變量的反控制法[4]、反向透熱補(bǔ)償法[5-6]、無躍遷量子驅(qū)動(dòng)法[7-9]等.這些方法在冷原子或囚禁粒子中轉(zhuǎn)移、冷卻得到了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證.例如, Schaff等[10]利用量子絕熱捷徑技術(shù)實(shí)現(xiàn)了冷原子和玻色愛因斯坦凝聚態(tài)在囚禁勢(shì)中的無摩擦快速冷卻.清華大學(xué)An 等[11]利用反向透熱補(bǔ)償實(shí)現(xiàn)了相空間中囚禁例子的快速轉(zhuǎn)移.Deng 等[12]和Diao 等[13]利用反控制方法實(shí)現(xiàn)了簡(jiǎn)并費(fèi)米氣體的量子絕熱捷徑, 并用于設(shè)計(jì)超絕熱熱機(jī).目前, 量子絕熱捷徑技術(shù)作為量子調(diào)控的一個(gè)有效手段, 被廣泛應(yīng)用于原子、分子和光物理以及統(tǒng)計(jì)物理等領(lǐng)域[14-18].

量子絕熱捷徑技術(shù)是基于諧振勢(shì)動(dòng)力學(xué)及其量子不變量理論提出的[4], 該模型不僅可以等效描述光學(xué)囚禁勢(shì)中的原子冷卻, 還可描述機(jī)械諧振子冷卻[4]、晶格中光學(xué)傳播[19]、RC 電路(resistor-capacitance circuit)[20]等.然而, 在某些情況下, 耦合諧振子而非單個(gè)諧振子模型及其相干操控則顯得尤為重要.例如, 耦合諧振子可以描述光力機(jī)械振子[21-22]、多個(gè)相互作用囚禁離子[23]、囚禁勢(shì)中相互作用的冷原子氣體[24]等.由于耦合諧振子的兩個(gè)振子因耦合相互影響, 與單個(gè)諧振子相比更難操控.特別地, 在機(jī)械諧振子等實(shí)驗(yàn)中常規(guī)絕熱調(diào)頻方案往往會(huì)因兩個(gè)諧振子的相互干擾而產(chǎn)生非絕熱的激發(fā), 很難實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)操控和基態(tài)能級(jí)的冷卻.

針對(duì)這些問題, 本工作將基于Lewis-Riesenfeld 量子不變量[25-26]推廣研究耦合諧振子的量子絕熱捷徑設(shè)計(jì).通過推導(dǎo)Ermakov 方程反設(shè)計(jì)耦合諧振子的頻率, 從而實(shí)現(xiàn)量子態(tài)的快速精準(zhǔn)制備或操控.

1 量子不變量理論

對(duì)于含時(shí)哈密頓量H(t)描述的系統(tǒng), 波函數(shù)Ψ(t)滿足含時(shí)薛定諤方程

如果可以構(gòu)造一個(gè)厄米算符I, 使它滿足

則稱I為該體系的動(dòng)力學(xué)不變量(Lewis-Riesenfeld 不變量).I的本征方程可以寫為

式中:n=0,1,··· ,|φn(t)〉;λn為I(t)的本征值.薛定諤方程的解可表示為I(t)本征函數(shù)的線性疊加,

式中: 常數(shù)Cn滿足歸一化條件,Lewis-Riesenfeld 相位可以表示為

綜上所述, 系統(tǒng)的演化算符可以表示為

根據(jù)H(t)=i?可以得到

通常, 人們利用量子不變量來求解復(fù)雜的含時(shí)薛定諤方程, 而我們則根據(jù)系統(tǒng)量子態(tài)的演化,通過式(7)設(shè)計(jì)哈密頓量.接下來, 進(jìn)一步展示如何利用量子不變量的動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)量子絕熱捷徑, 即先設(shè)計(jì)含時(shí)演化的路徑, 從而反解哈密頓量的含時(shí)參量.一般來講,I(t)和H(t)不一定對(duì)易.也就是說,I(t)的本征態(tài)所對(duì)應(yīng)的態(tài)演化與H(t)的瞬時(shí)本征態(tài)不一致.為了達(dá)到量子絕熱捷徑的效果, 系統(tǒng)需要在初末時(shí)刻處于I(t)的本征態(tài), 同時(shí)也處于H(t)的本征態(tài)[4,27].這要求I(t)和H(t)在初末時(shí)刻(t=0 和T=tf)具有同一組完備正交基矢, 即要求兩者對(duì)易, 即有

以式(8)作為邊界條件設(shè)計(jì)出相關(guān)參數(shù)的演化路徑, 可以取得量子絕熱捷徑的效果.接下來, 將以上述理論研究耦合諧振子的量子絕熱捷徑技術(shù).

2 耦合諧振子模型

考慮一對(duì)耦合諧振子a 和b, 其哈密頓量可以表示為

式中:ma和mb分別為兩個(gè)諧振子的質(zhì)量;ωa(t)和ωb(t)分別為兩個(gè)諧振子的含時(shí)頻率;λ代表兩個(gè)諧振子之間的耦合強(qiáng)度.式(9)中的位置算符和動(dòng)量算符可以由產(chǎn)生算符ca()和湮滅算符cb()表示, 即其中,i=a,b.

于是, 體系的哈密頓量可以改寫為

把這個(gè)哈密頓量對(duì)角化, 可以得到簡(jiǎn)正模式, 即

圖1 為本征頻率ωA、ωB隨ωb/ωa的變化.單位頻率為1 Hz, 耦合系數(shù)λ= 0.2.由圖1 可以看出, 耦合諧振子的本征模式出現(xiàn)了類似冷原子二能級(jí)的能級(jí)反交叉.一般情況下, 人們只能通過緩慢絕熱變化ωb/ωa, 才能進(jìn)行量子態(tài)的操作.當(dāng)絕熱條件滿足時(shí), 系統(tǒng)的演化將始終保持在各自的模式上, 不出現(xiàn)非絕熱躍遷.進(jìn)一步分析可知, 2 個(gè)簡(jiǎn)正模式可以寫成2 個(gè)新的簡(jiǎn)諧振子, 哈密頓量分別表示為

圖1 耦合諧振子本征頻率Fig.1 Eigenfrequencies of coupled oscillators

對(duì)于每一個(gè)簡(jiǎn)諧振子的哈密頓量, 都可以找到相應(yīng)Lewis-Riesenfeld 不變量,

為后續(xù)設(shè)計(jì)方便,參照文獻(xiàn)[4]中給出的方法,這里的ω0A(B)可以設(shè)置為初始簡(jiǎn)正頻率ω0A(B)=ωA(B)(t=0).同樣, 整個(gè)系統(tǒng)的第n能級(jí)的瞬時(shí)平均能量為

這樣就可以通過量子絕熱捷徑技術(shù)設(shè)計(jì)此類耦合諧振子的頻率, 實(shí)現(xiàn)上述末態(tài)基態(tài)能量(n=0)的減小, 從而實(shí)現(xiàn)快速無摩擦的冷卻.

3 反設(shè)計(jì)方法

根據(jù)式(17), 兩個(gè)簡(jiǎn)正模式的絕熱捷徑路徑應(yīng)滿足式(8), 即有

式中:其中ωA(B)(t0)和ωA(B)(t0)為初末時(shí)刻的簡(jiǎn)正頻率, 可以由初末時(shí)刻的裸頻率ωa和ωb代入式(12)得到.為了設(shè)計(jì)量子絕熱捷徑, 可以選擇滿足這些邊界條件的多項(xiàng)式作為擬設(shè), 即有

式中:s=t/tf.把式(20)代入方程(17), 即可得到兩個(gè)簡(jiǎn)正模式的絕熱捷徑演化路徑.由此,根據(jù)式(12)進(jìn)而可以得到裸頻率ωa和ωb與簡(jiǎn)正頻率ωA和ωB關(guān)系.

(1) 當(dāng)ωa<ωb時(shí),

(2) 當(dāng)ωa>ωb時(shí),

由此, 可以把從式(17)～(20)得到的簡(jiǎn)正頻率的絕熱捷徑路徑代入式(22), 即可得到裸頻率的絕熱捷徑路徑, 實(shí)現(xiàn)耦合諧振子的絕熱捷徑路徑設(shè)計(jì).為了更好地理解上述設(shè)計(jì)量子絕熱捷徑的過程, 特此歸納為: ①由初末時(shí)刻的裸頻率ωa(b)(t0)和ωa(b)(tf), 通過式(12)得到初末時(shí)刻的本征頻率ωA(B)(t0)和ωA(B)(tf);②將滿足邊界條件(式(17))的標(biāo)度參數(shù)bA(B)(t)代入式(19), 得到本征頻率的絕熱捷徑演化路徑ωA(B)(t);③將本征頻率的絕熱演化路徑ωA(B)(t)代入式(22), 得到裸頻率的絕熱捷徑演化路徑ωa(b)(t).

圖2(a)為量子絕熱捷徑設(shè)計(jì)的頻率ωa(t)和ωb(t), 其中耦合系數(shù)為λ=0.1 和量子絕熱時(shí)間為tf= 1 s.初始時(shí)刻ωa(0) = 1 Hz,ωb(0) = 10 Hz, 末時(shí)刻ωa(tf) = 1 Hz,ωb(tf) = 1 Hz,耦合系數(shù)為λ= 0.1, 量子絕熱捷徑演化時(shí)間為tf= 1 s, 絕熱過程的演化時(shí)間為tf= 10 s.作為比較, 將整個(gè)演化時(shí)間變?yōu)閠f= 10 s.此時(shí), 整個(gè)演化過程轉(zhuǎn)換為絕熱調(diào)頻, 如圖2(b)所示.由圖2(b)可知, 頻率ωa不變化, 頻率ωb則緩慢呈線性變化.這非常類似于二能級(jí)體系中的Landau-Zener 方案, 即Rabi 頻率是常數(shù), 失協(xié)量隨時(shí)間線性緩慢變化.在上述兩個(gè)例子中,選取初始時(shí)刻2 個(gè)振子的頻率分別為ωa(0) = 1 Hz,ωb(0) = 10 Hz, 末時(shí)刻2 個(gè)振子的頻率分別為ωa(tf)=1 Hz,ωb(tf)=1 Hz.

圖2 兩種調(diào)頻方案的對(duì)比Fig.2 Comparision of two protocols

圖3 為量子絕熱捷徑過程中的基態(tài)平均能量變化, 進(jìn)一步表明可以利用量子絕熱捷徑技術(shù)調(diào)節(jié)頻率ωa(t)和ωb(t), 實(shí)現(xiàn)耦合諧振子的基態(tài)(n=0)能量減小, 即耦合諧振子的冷卻.此外, 絕熱捷徑的總演化時(shí)間tf越小, 中間激發(fā)能量就越大.這反映了能量和時(shí)間的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系,即在物理上給出了量子絕熱捷徑的速度極限.

圖3 量子絕熱捷徑過程中的基態(tài)平均能量Fig.3 Average energy of ground state in shortcut-adiabaticity modulation protocol

4 結(jié)束語(yǔ)

本工作基于量子不變量利用反控制法設(shè)計(jì)耦合諧振子的量子絕熱捷徑的演化方案.結(jié)果表明, 用量子絕熱捷徑技術(shù)調(diào)節(jié)耦合諧振子的頻率時(shí), 兩個(gè)諧振子的頻率需要變化.與絕熱調(diào)頻相比, 本方案中頻率變化速度更快, 變化幅度更為劇烈, 但是整體的演化時(shí)間縮短, 并取得與原來絕熱調(diào)頻相同的結(jié)果.因此, 根據(jù)耦合諧振子量子基態(tài)的量子絕熱捷徑操控, 可以同時(shí)快速調(diào)節(jié)耦合諧振子的頻率并且保證最終無非絕熱的躍遷.從而避免了因兩個(gè)振子耦合產(chǎn)生的相互影響導(dǎo)致的誤差以及由此產(chǎn)生的非絕熱躍遷.如前所述, 耦合諧振子廣泛存在于機(jī)械諧振子等不同的物理模型中, 因此上述結(jié)果可以應(yīng)用于量子熱機(jī)中, 從而取代熱機(jī)循環(huán)過程中的絕熱沖程, 以期改善量子熱機(jī)的熱力學(xué)性能.此外, 這些結(jié)果還可以推廣至3 個(gè)或多個(gè)耦合諧振子, 并實(shí)現(xiàn)量子糾纏態(tài)的超快操控.