復(fù)數(shù)階累加的灰色系統(tǒng)模型

吳正鵬，陳見柯，柴劍平

(中國(guó)傳媒大學(xué)數(shù)據(jù)科學(xué)與智能媒體學(xué)院，北京 100024)

1 介紹

自古以來，人們就關(guān)注著基于現(xiàn)有記錄的對(duì)即將到來事情的預(yù)測(cè)。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，人們現(xiàn)在生活在一個(gè)“大數(shù)據(jù)”時(shí)代。盡管如此，馬鑫最近發(fā)布的一篇論文聲稱，基于小樣本的高效學(xué)習(xí)仍有可能訓(xùn)練智能AI，大數(shù)據(jù)不應(yīng)該是高效AI 的唯一途徑[12]。此外，由于這些高速的發(fā)展，自然會(huì)出現(xiàn)新的現(xiàn)象和問題(例如，二氧化碳排放標(biāo)準(zhǔn)、網(wǎng)絡(luò)突發(fā)輿論、能源消耗等)，應(yīng)該有快速且高效的應(yīng)急設(shè)施。就像可怕的自然災(zāi)害一樣，相關(guān)的靜態(tài)結(jié)果可能是不完整的，或者是不充分的。因此，關(guān)于小信息量的預(yù)測(cè)問題仍然存在很多情況。

20 世紀(jì)80 年代，鄧聚龍?zhí)岢隽嘶疑到y(tǒng)理論[3,4]，為解決信息貧乏情況下的小樣本預(yù)測(cè)問題提供了一種新的方法。GM(1,1)模型，即一元一階灰色模型，在整個(gè)理論中起著至關(guān)重要的作用。鄧還給出了原始GM(1,1)模型的幾種不同形式。此后，許多學(xué)者繼續(xù)為這一理論發(fā)展不同的模型[9,10]。到目前為止，在理論修改（例如，尋找更好的模擬和預(yù)測(cè)結(jié)果[25]）和優(yōu)化算法（灰狼優(yōu)化、粒子群優(yōu)化[13]）方面，朝著這個(gè)方向取得了許多進(jìn)展。對(duì)原始GM(1,1)模型進(jìn)行了不同形式的修正，以適應(yīng)不同的預(yù)測(cè)情況，例如抗拉強(qiáng)度[16]、二氧化碳排放[21]、冰塞災(zāi)害[11]等的間接度量。對(duì)于給定的時(shí)間序列，為了在未來的預(yù)測(cè)中引入定性分析（即強(qiáng)度或弱化Γ，劉思峰提出了（包括加強(qiáng)和弱化）緩沖算子的思想[10]。這些算子滿足3個(gè)公理：不動(dòng)點(diǎn)、充分利用信息、解析性和正規(guī)性。許多學(xué)者開發(fā)了這類工具，將緩沖運(yùn)算符應(yīng)用于不同類型的模型預(yù)測(cè)[24]。

萊布尼茨提出的分?jǐn)?shù)階微積分思想對(duì)灰色系統(tǒng)也有很大的影響。吳立峰、劉思峰等人[23]首次考慮了分?jǐn)?shù)階累加的灰色模型。該公式將整數(shù)階累加的經(jīng)典灰色模型推廣到分?jǐn)?shù)階灰色模型。這一創(chuàng)新在理論和實(shí)踐上都對(duì)灰色系統(tǒng)進(jìn)行了巨大的改進(jìn)。從那時(shí)起，分?jǐn)?shù)階累加成為灰色系統(tǒng)中一種流行而有效的工具[14,22]。為了在舊信息和新信息之間保持平衡，李沖、英杰、昂英杰等人提出了自己的觀點(diǎn)，開發(fā)了新的序列運(yùn)算符[8]。

目前，Matlab 軟件已取代Visual C#，成為大多數(shù)研究灰色系統(tǒng)的學(xué)者的主要計(jì)算機(jī)編程工具，他們大量使用Matlab 語言中嵌入的伽馬函數(shù)。但Matlab 語言中插入的伽馬函數(shù)不能直接編譯出一般的復(fù)數(shù)值（例如Γ(1+i)）。本文利用冪零矩陣和泰勒級(jí)數(shù)，給出了復(fù)數(shù)累加的灰色模型的一種新的、直接的表述。由于復(fù)數(shù)域X 是代數(shù)閉域，也是拓?fù)渫耆騕7]，這個(gè)公式將經(jīng)典的整數(shù)累加的灰色模型[3]和分?jǐn)?shù)累加的灰色模型[23]推廣到其最一般的形式。正如我們將看到的，復(fù)雜積累的灰色模型將會(huì)得到更好的模擬結(jié)果和預(yù)測(cè)結(jié)果。

本文組織如下。第二節(jié)討論了經(jīng)典的整數(shù)（分?jǐn)?shù)）階累加生成算子和一階一元GM(1,1)微分方程的灰色模型。我們將分?jǐn)?shù)累加生成運(yùn)算符(因此，自動(dòng)包含整數(shù)的情況)推廣到復(fù)數(shù)累加生成運(yùn)算符?？紤]所有復(fù)數(shù)累加生成算子的集合，我們將證明該集合具有一維復(fù)李群結(jié)構(gòu)。在第三節(jié)中，我們建立了復(fù)數(shù)累加的灰色模型（對(duì)于某些z∈X，用CAGMz(1,1)表示），并確定了它的解。由于我們可以將實(shí)數(shù)P 看作X 的一維子空間，即我們?cè)谝粋€(gè)更大的區(qū)域上工作，自然會(huì)期望CAGMz(1,1)模型產(chǎn)生比類似模型更低的平均絕對(duì)百分比誤差MAPE 和均方根百分比誤差RMSPE（其定義將在稍后給出）。在第四節(jié)中，通過幾個(gè)具體的例子討論了CAGMz(1,1)模型相對(duì)于類似模型的優(yōu)勢(shì)。第五節(jié)介紹了對(duì)本研究的一些期望。

2 復(fù)數(shù)累加生成算子

設(shè)X(0)= (x(0)1,x(0)2,…x(0)n)是原始數(shù)據(jù)序列。對(duì)于1≤k≤n，設(shè)x(0)k∈X為時(shí)間k時(shí)的值，數(shù)據(jù)序列是列序列還是行序列，只是轉(zhuǎn)置不同而已。為方便起見，我們將在以下結(jié)構(gòu)中使用行序列。設(shè)n=dim(X)是行數(shù)據(jù)序列空間的維數(shù)。對(duì)于實(shí)際問題和具體問題，應(yīng)該注意到數(shù)據(jù)序列中的條目是鐵的生產(chǎn)量、用電量、某一地區(qū)的GDP、二氧化碳排放量等，所以一般地這些x(0)i∈Θ。但我們想以最一般的形式來構(gòu)建這個(gè)行動(dòng)。

2.1 傳統(tǒng)累加生成算子與GM(1,1)模型

一階累加生成算子和一階逆累加生成算子在灰色系統(tǒng)理論中占有重要地位?；谶@些運(yùn)算，GM(1,1)模型是灰色系統(tǒng)理論中的一個(gè)基本模型[9,10]。

定義1設(shè)X(0)= (x(0)1,x(0)2,…x(0)n)是原始數(shù)據(jù)序列。設(shè)X(1)= (x(1)1,x(1)2,…x(1)n)是數(shù)據(jù)序列，如果我們對(duì)X(0)應(yīng)用一階累加生成算子，X(0)的坐標(biāo)由下式給出

X(0)的一階逆累加生成算子表示為X(-1)，其坐標(biāo)由下式給出

很容易驗(yàn)證一階累加生成算子和一階逆累加生成算子是對(duì)數(shù)據(jù)序列的逆運(yùn)算。

對(duì)于2 ≤k≤n，設(shè)w(1)k=。那么方程

稱為GM(1,1)模型的原始形式。a,b為GM(1,1)模型的參數(shù)。a,b的最小二乘估計(jì)由下式給出

其中

在初始值x(1)1=x(0)1的情況下，白化方程

的時(shí)間響應(yīng)序列由下式給出

其中1≤k≤n。最后，如果對(duì)序列(x(1)1,x(1)2,…x(1)n)應(yīng)用一階逆累加生成算子，則模擬序列滿足

其中2≤k≤n.

2.2 復(fù)數(shù)累加生成算子

定義2[23]設(shè)原非負(fù)序列X(0)的r(r∈P>0) 階累加生成算子為X(r)。然后

與傳統(tǒng)的整數(shù)階累加灰色模型相比，分?jǐn)?shù)階累加灰色模型在實(shí)際應(yīng)用中（無論是理論基礎(chǔ)還是模型仿真）都會(huì)得到更好的結(jié)果。分?jǐn)?shù)階灰色模型在許多不同的場(chǎng)合得到了廣泛的應(yīng)用。許多學(xué)者提出了建立這一理論的新方法[13,14,15]。

為了將現(xiàn)有的理論推廣到復(fù)累加生成算子的情形，我們將使用代數(shù)公式[6,7]。

設(shè)x是冪零不定式，使得xn= 0，則顯然

分別設(shè)f(x) =(1+x+x2+ …+xn-1)和g(x) =(1-x).設(shè)

即I是n×n單位矩陣，E1是冪零矩陣。對(duì)于1≤k≤n，設(shè)Ek:=Ek1.直接計(jì)算如下

En=En1=On×n，其中On×n為零矩陣。然后，對(duì)于一階累加生成算子A和一階逆累加生成算子A-1，存在

或者等價(jià)地f(E1)g(E1)=I。歸納地，第二累加生成算子A2等價(jià)于f2(E1)。通過為z∈X設(shè)置A(z):=f z(E1)，我們將給出以下定義：

定義3設(shè)X(0)為原始數(shù)據(jù)序列并且z∈X，則第z次復(fù)數(shù)累加生成算子由A(z)定義。如果我們用X(z)表示第z個(gè)累加數(shù)據(jù)序列，那么

其中符號(hào)· 表示通常意義上的矩陣乘法。

定理1所有z∈X 的第z個(gè)累加生成算子集構(gòu)成一個(gè)1維交換加性李群，它與X同構(gòu)。

3 復(fù)累加的灰色模型

設(shè)X(0)=是原始數(shù)據(jù)序列，z∈X使得Im(z) ≠0 是復(fù)數(shù)。如上所述，對(duì)于1≤k≤n，一般地∈P。設(shè)是第z個(gè)復(fù)數(shù)累加生成序列。在第z次復(fù)數(shù)累加生成運(yùn)算 之 后，對(duì) 于 1≤k≤n，有∈X。 設(shè)W(0)=(w(0)2,…,w(0)n)是X(z)的連續(xù)鄰域序列的平均生成，即對(duì)于2≤k≤n，w(z)k=.我們給出以下定義：

定義3 對(duì)于2≤k≤n，方程式

將被稱為第z個(gè)復(fù)數(shù)累加生成運(yùn)算的灰色模型的原始形式，其將被表示為CAGMz(1,1)。常數(shù)a稱為灰色發(fā)展系數(shù)，b稱為灰色控制參數(shù)。

注1如果z= 1，這是經(jīng)典的GM(1,1)模型。對(duì)于復(fù)累加情況的灰色系統(tǒng)模型，應(yīng)該注意到這兩個(gè)參數(shù)，即a和b，一般都是復(fù)數(shù)。

CAGMz(1,1)模型的普通最小二乘估計(jì)序列滿足

其中

定義4設(shè)B,Y,a,b如上所述，微分方程

將稱為CAGMz(1,1)模型的白化方程。

在初始值x(z)1=x(0)1的情況下，很容易得出時(shí)間響應(yīng)序列具有以下形式

對(duì) 于 2≤k≤n.最后，如果我們對(duì)序列應(yīng)用第(-z)次復(fù)數(shù)累加生成A(-z)(或者等價(jià)地，第z次復(fù)數(shù)累加生成操作的逆運(yùn)算)，我們將得到模擬序列，即

設(shè)X(0)=是原始數(shù)據(jù)序列，我們可以假設(shè)x(0)k=αk+iβk，其中αk,βk∈P.將CAGMz(1,1)模型應(yīng)用于X(0)，并設(shè)為仿真數(shù)據(jù)序列(0)=。一般地，由于(0)k∈X，我們可以假設(shè)?，其中，設(shè)ε=(ε1,ε2,…,εn)是剩余序列，則

為了對(duì)CAGMz(1,1)進(jìn)行誤差分析，同時(shí)對(duì)已有的理論進(jìn)行推廣，我們將利用復(fù)數(shù)的模來對(duì)其進(jìn)行誤差分析。更準(zhǔn)確地說，設(shè)Δ =(Δ1,Δ2,…,Δn)為相對(duì)誤差序列，則

綜上所述，給定一個(gè)原始數(shù)據(jù)序列X(0)=(x(0)1,x(0)2,…x(0)n)，建立第z個(gè)CAGMz(1,1)模型的步驟如下：

步驟1：選擇復(fù)數(shù)z∈X，使得Im(z) ≠0，并計(jì)算第z個(gè)累加生成數(shù)據(jù)序列，即X(z)=X(0)·A(z)；

步驟2：計(jì)算X(z)的連續(xù)鄰域序列W(z)的平均生成量；

步驟3：通過對(duì)復(fù)矩陣的最小二乘估計(jì)，給出了參數(shù)a,b的估計(jì)，即=(BHB)-1BHY，其中B,Y由方程(x(z)k-x(z)k-1)+aw(z)k=b給出，BH為B的復(fù)共軛轉(zhuǎn)置矩陣；

步驟5：通過經(jīng)由A(-z)將第(-z)復(fù)數(shù)累加生成運(yùn)算(第z個(gè)累加生成運(yùn)算的逆運(yùn)算)應(yīng)用于(z)來計(jì)算模擬值(0)，即(0):=(z)·A(-z)；

步驟6：計(jì)算殘差數(shù)據(jù)序列ε 和相對(duì)誤差數(shù)據(jù)序列Δ，進(jìn)行誤差分析。

對(duì)于具體問題，通過選擇一個(gè)有理數(shù)作為累加生成順序，即z∈Θ，則A(z)中累加生成算子的條目和模擬值(0)都是有理數(shù)，即A(z)i,j∈Θ，1≤i,j≤n和，1≤k≤n。由于大多數(shù)預(yù)測(cè)模型的模擬值仍為正有理數(shù)，即取模數(shù)與模擬值相同，即，1≤k≤n。由于累加生成階數(shù)可以從所有復(fù)數(shù)中選擇，因此可以認(rèn)為CAGM模型是分?jǐn)?shù)累加灰色預(yù)測(cè)模型的推廣。

4 個(gè)案研究

案例1

我們考慮的第一個(gè)例子是瀝青混合料，它廣泛應(yīng)用于道路建設(shè)中。在一定的條件下(例如，激振頻率、材料溫度等)，瀝青混合料的變形緩慢(粘性)，一旦變形力消失(彈性)，瀝青及其混合料的這種性質(zhì)稱為粘彈性。瀝青混合料的復(fù)模量E*(=E′+iE″，一個(gè)復(fù)數(shù))由兩部分組成，其中E′表示混合料的儲(chǔ)能能力(彈性行為)，E″表示耗能能力(粘性行為)。動(dòng)態(tài)模量E*被定義為模量[27]。

早期對(duì)E*的研究主要集中在動(dòng)態(tài)模量主曲線[19]，忽略了E*的θ相位角，而后者也是瀝青和瀝青混合料的一個(gè)重要影響因素，例如，最近的一項(xiàng)研究發(fā)現(xiàn)，相位角是區(qū)分瀝青混合料噪聲特性的一個(gè)很好的實(shí)驗(yàn)室參數(shù)[1]。近年來，研究人員試圖開發(fā)相角的主曲線[2,26]，曾鳴等人提出的廣義CAM 模型由復(fù)模量主曲線、相角主曲線[28]組成。Venudharan 等人發(fā)展了儲(chǔ)能模量和損耗模量的預(yù)測(cè)模型[17]?？梢酝瑫r(shí)考慮動(dòng)模量E*和相位角θ。表1和表2列出了AC-20C 70#型瀝青混合料的實(shí)驗(yàn)值[2]。

表1 AC-20C 70#瀝青混合料的動(dòng)模量(MPa)

表2 AC-20C 70#瀝青混合料的相角(°)

通過歐拉公式eiθ= cosθ+isinθ，任意復(fù)數(shù)z=a+bi可以重寫為z=|z|·eiθ，其中是模數(shù)，θ是相位角(tanθ=，a≠0)。以溫度4.4°C 為例，原始復(fù)數(shù)數(shù)據(jù)序列(取決于頻率)為

作為比較，我們選擇3 個(gè)累積生成階z= 0.9 + 0.12i，z= 1 和z= 0.5 來構(gòu)建CAGMz(1,1)模型。第0.9 +0.12i個(gè)累加生成算子A(0.9 + 0.12i)為

z= 1和z= 0.5的累積生成算子與一階和分?jǐn)?shù)階的累積生成算子相同。

應(yīng)用這些運(yùn)算符，我們將得到第0.9+0.12i個(gè)累加生成數(shù)據(jù)序列

一階累加生成數(shù)據(jù)序列為

0.5階累加生成數(shù)據(jù)序列為

當(dāng)z= 0.9 + 0.12i時(shí)，a= 0.074 - 0.025i，b= 14211.04 + 4390.87i，時(shí)間響應(yīng)方程(對(duì)于k= 2,3,…,6)

當(dāng)z= 1時(shí)，a= -0.098+ 0.007i，b= 15558.57+3579.62i，時(shí)間響應(yīng)方程(對(duì)于k= 2,3,…,6)

當(dāng)z= 0.5時(shí)，a= 0.043- 0.0087i，b= 11072.99+2088.93i，時(shí)間響應(yīng)方程(對(duì)于k= 2,3,…,6)

由于原始數(shù)據(jù)序列X0和模擬數(shù)據(jù)序列0都是復(fù)數(shù)，為了進(jìn)行誤差分析，我們將使用復(fù)數(shù)的模來進(jìn)行誤差分析。以第(0.9 + 0.12i)次復(fù)數(shù)累加的相對(duì)誤差Δ6為例，

表3列出了復(fù)模量數(shù)據(jù)序列CAGMz(1,1)模型的三種不同的模擬值和誤差。

表3 CAGMz(1,1)模型的模擬值和誤差

案例2

下面的例子描述了1994-2000年間美國(guó)的旅游需求[18,22]?；谶@些實(shí)際值建立了四個(gè)不同的灰色模型(我們考慮了CAGMz(1,1)模型的三個(gè)不同參數(shù))，并以來年(2001年，樣本外)為預(yù)測(cè)對(duì)象。所有結(jié)果都列在表4中。

如上所述，承認(rèn)了關(guān)于預(yù)測(cè)的MAPE 建模的MAPE。為了使預(yù)測(cè)MAPE 取一個(gè)較低的值，可以取z1= 1.232 - 0.506i，CAGMz1(1,1) 模 型 給 出 的 預(yù) 測(cè)MAPE最低(≈0.00116%)。對(duì)于這種情況，雖然模型的MAPE 高于其他三種模型，但這兩種MAPE 的總和仍然很低(≈3.13%，而GM1.2(1,1)模型為3.7%)。設(shè)置z2=1.176-0.13i，則建模的MAPE 為1.33%，這是表4所列結(jié)果中的最低值。出于另一個(gè)考慮，我們可以選擇z3= 1.23- 0.5i，這仍然是一個(gè)更好的模擬。

表4 四種不同模型的擬合值和MAPE

5 結(jié)論

本文將整數(shù)、分?jǐn)?shù)累加生成算子推廣到復(fù)數(shù)累加生成算子。結(jié)合所有的復(fù)數(shù)累加生成算子，我們得到了一個(gè)自然的一維可加復(fù)李群結(jié)構(gòu)，它與X同構(gòu)。與以前關(guān)于實(shí)數(shù)(整數(shù)或有理數(shù))的討論相比，我們的工作是在整個(gè)復(fù)平面上進(jìn)行的。復(fù)數(shù)階累加生成算子可以同時(shí)調(diào)整新舊信息之間、實(shí)部和虛部之間的權(quán)重，可以得到更好的仿真和預(yù)測(cè)結(jié)果。通過幾個(gè)實(shí)例，討論了復(fù)數(shù)累加灰色模型與常用方法相比的優(yōu)越性。

為了進(jìn)一步研究，我們將列出幾個(gè)可能的問題：

(1) 灰色理論中的一些技術(shù)，例如光滑比ρ、區(qū)間灰數(shù)、灰色關(guān)聯(lián)算子等都依賴于P中的階關(guān)系，但復(fù)數(shù)域X不存在階關(guān)系。如何將這種技術(shù)擴(kuò)展到復(fù)數(shù)數(shù)據(jù)序列的情況；

(2) 將分?jǐn)?shù)階微積分的思想引入灰色理論，提出了分?jǐn)?shù)階累加生成算子。根據(jù)我們的構(gòu)造，將累加生成階推廣到復(fù)數(shù)，人們可能會(huì)問：是否存在復(fù)數(shù)階演算？

(3) 尋找涉及復(fù)雜數(shù)據(jù)序列的復(fù)雜灰色模型的應(yīng)用，例如復(fù)信號(hào)分析、瀝青及其混合料的粘彈性等。