預測與反演交會制導的燃料消耗遺傳算法尋優(yōu)

譚天樂

(1.上海航天控制技術研究所，上海 201109； 2.上海市空間智能控制技術重點實驗室，上海 201109)

0 引 言

受燃料補給限制，目前大部分航天器全壽命期間所具有的軌道機動能力有限。對于交會對接、懸停、繞飛等空間相對制導任務，如何實現(xiàn)燃料消耗最優(yōu)一直是理論和工程上的熱點、難點問題。

國內外空間相對軌道機動的軌跡規(guī)劃方法包括間接法和直接法[1]。直接法把控制變量或狀態(tài)變量離散和參數(shù)化，將最優(yōu)控制問題轉換為非線性規(guī)劃問題;直接法易收斂，但計算量大，且容易收斂到局部最優(yōu)解。間接法基于龐特里亞金極小值原理將最優(yōu)控制問題轉化為一個哈密頓邊值問題;間接法收斂域小，求解精度較高，但間接法的求解過程同樣較為繁瑣。

文獻[2-3]在離散時間控制系統(tǒng)中，根據(jù)動力學系統(tǒng)狀態(tài)受控變化的規(guī)律，設計了時間約束下，基于狀態(tài)轉移的模型預測與反演控制(Model predictive and inversive control，MPIC)制導律。在MPIC制導中，是否可以通過減少推力器的工作脈沖以節(jié)省燃料是本文研究的內容。對于有k個控制周期的MPIC制導，將有2k種可能的推力器脈沖工作組合。以目前的算力，采用遍歷法在龐大可行解空間進行燃料消耗尋優(yōu)是難以實現(xiàn)的。因此,考慮采用智能搜索方法。

遺傳算法模擬自然界的生物進化過程，根據(jù)基因交換、變異的遺傳理論以及物競天擇、適者生存的自然選擇規(guī)律，將優(yōu)化問題轉化成解集中目標適應度函數(shù)的評估以及最優(yōu)解搜索問題，具有并行、高效、全局搜索和魯棒性強等特點。遺傳算法的主體是個體和種群。優(yōu)化問題解集中的解被稱之為個體，多個個體形成遺傳種群。常見的遺傳算法[4]有分層遺傳算法、CHC算法、Messy遺傳算法、自適應遺傳算法、小生境遺傳算法、并行遺傳算法、混合遺傳算法等等。遺傳算法已被廣泛應用于目標優(yōu)化、自動控制、圖像處理、機器學習等領域，并在旅行商問題求解[5]、任務調度[6-7]、供電優(yōu)化[8-9]、機械臂控制[10-11]、航天器姿態(tài)控制[12-13]、星座設計優(yōu)化[14-15]等各個方面得到研究和應用。在航天器的交會制導控制方面，國內外專家學者先后研究了在Lambert交會[16-17]、衛(wèi)星任務規(guī)劃[18-19]、深空探測軌道規(guī)劃[20]、探月軌道設計優(yōu)化[21-22]、空間軌道攔截[23-24]、在軌組裝[25]、軌道上升與再入返回[26-27]等任務場景中采用遺傳算法進行軌跡尋優(yōu)。

采用遺傳算法進行空間相對制導軌跡優(yōu)化的常見方法，通常需結合推力器工作時點、工作方向、推力大小，對時間和軌控速度增量進行加權,以表示優(yōu)化目標函數(shù),在固定脈沖數(shù)次數(shù)的情況下，基于Lambert交會或C-W制導進行尋優(yōu)。這些方法在優(yōu)化結果中對交會制導精度缺少必要的分析,在優(yōu)化過程中假設推力器以沖量形式工作，對于推力的工作次數(shù)未能進行充分地尋優(yōu)。

本文基于MPIC多脈沖制導，構造以軌控速度總量為基礎的適應度函數(shù)，以各控制周期中推力器是否工作設計二進制編碼串形式的遺傳個體，采用了等距稀疏控制的啟發(fā)式種群初始化策略以提高計算效率。遺傳交叉、變異以及選擇淘汰策略形式簡潔，優(yōu)化結果全局收斂。針對能控性和推力器輸出限制設計了罰函數(shù)以確保優(yōu)化結果的可行性。給出了燃料尋優(yōu)的一種智能搜索算法，為多脈沖交會制導的推力器最佳開、關機工作時機提供了尋優(yōu)途徑，同時保證制導的精度。

1 MPIC交會制導的燃料消耗尋優(yōu)問題

地球近圓軌道上，參考航天器自由飛行，伴隨航天器受控飛行于其附近，測控節(jié)拍時長為T。在參考航天器第二軌道坐標系下，兩者之間的相對運動動力學在離散時間系統(tǒng)中可表示為[3]：

Xk=Gk,0X0+Qk,0Uk(0)

(1)

(2)

是無軌控情況下初始狀態(tài)X0向kT時刻狀態(tài)Xk演變的狀態(tài)轉移矩陣。

Qk,0=[Hk,k-1?Gk,k-1Hk-1,k-2?Gk,k-2Hk-2,k-3?

……?Gk,1H1,0]

(3)

為控制作用矩陣。Gj,i,Hj,i分別是狀態(tài)i向狀態(tài)j轉移的狀態(tài)轉移矩陣和控制作用矩陣。

[ak-1,xak-1,yak-1,zak-2,x…a0,ya0,z]T

(4)

(5)

(6)

該控制序列確定了每個控制周期中的軌控加速度方向和大小。

當制導全過程所消耗燃料相對于航天器初始總質量相對較小，推力器比沖變化不大時，由式(4)，可將相對制導的燃料消耗尋優(yōu)等價于軌控速度的總量尋優(yōu)，即

(7)

目前尚未見針對式(5)的精確解析尋優(yōu)方法。因此,采用遺傳算法進行推力器開關機的智能尋優(yōu)。

2 遺傳算法設計

2.1 構造適應度函數(shù)

遺傳算法中的適應度函數(shù)需能對應和評估候選優(yōu)化方案以指導選擇淘汰過程。適應度函數(shù)應為單值、連續(xù)、非負函數(shù)，形式上應簡單、易于計算,其值域應與搜索問題的解集對應。

在式(3)所示Qk,0中，將各控制周期所對應的矩陣分區(qū)分別賦值為全0或者加以保留，得到Q′k,0。則全0分區(qū)所對應的控制周期中，軌控加速度將為0，進而可以按照式(5)或(6)得到推力器開關機工作的軌控序列，并得到制導全過程所需的軌控速度總量。

由式(4)-(7)，將軌控速度總量的倒數(shù)作為個體適應度函數(shù)

(8)

則適應度高的推力器開關機工作策略下，MPIC制導所需的軌控速度總量小。Q′k,0行滿秩時，系統(tǒng)可控，Q′-k,0是系統(tǒng)動力學方程的解，MPIC制導理論上均可實現(xiàn)指定時間下的無偏控制且系統(tǒng)穩(wěn)定。

當種群中各個體適應度的取值較為相近時，對適應度函數(shù)fi(i=1～N,N為遺傳種群中個體數(shù)量)進行尺度變換，擴大個體之間適應度函數(shù)的相對差異以便于后續(xù)的擇優(yōu)選擇。

(9)

式中：kf<1，kf→1。

當Q′k,0行不滿秩時，式(5)、(6)沒有可行解，系統(tǒng)不完全能控，對應的噴氣序列不滿足控制要求。采用罰函數(shù)法,對于Q′k,0行不滿秩的個體，將其適應度函數(shù)直接設置為一個恒定的較小值，從而在選擇環(huán)節(jié)將其淘汰。

工程上，推力器的輸出有限。對于最大軌控加速度超限的情況，同樣可以采用罰函數(shù)法將適應度函數(shù)直接設置為一個較小值。

2.2 種群個體設計

種群個體的具體編碼形式應使其能參與適應度函數(shù)計算，并與各優(yōu)化方案的評估值(適應度函數(shù))相對應，同時又適合進行交叉、變異和優(yōu)勝劣汰等遺傳操作。在個體的編碼方式上有二進制、整數(shù)、實數(shù)等不同的形式。其中,二進制編碼便于交叉、變異等遺傳操作。

根據(jù)前述適應度函數(shù)的構造原理，設計種群中的個體ci(i=1～N)為0、1二進制編碼串形式。編碼長度為相對制導控制周期數(shù)k,

(10)

根據(jù)個體編碼中基因位ci,j(j=0～k-1)的0或1取值，由Qk,0得到控制作用矩陣Q′k,0。顯然，以上編碼方式滿足遺傳個體編碼與推力器開、關機控制序列相對應的完備性、完整性和非冗余性。

2.3 選擇淘汰

選擇淘汰是遺傳算法的核心關鍵步驟。每輪迭代中，通過適應度的評估對個體擇優(yōu)淘汰。種群朝著搜索空間中適應度更為優(yōu)化的區(qū)域移動，因此遺傳算法不是一種盲目的隨機搜索方法，而是在適應度的指引下，具有明確搜索方向的啟發(fā)式尋優(yōu)方法。選擇操作既要充分保留優(yōu)良個體，同時又要維持群體的多樣性以保持全局搜索能力。

采用比例選擇方式。若種群中有N個個體，個體i的適應度為fi，其被選取的概率為

(11)

對個體按適應度從大到小排序，依次計算kp·N·Pi(kp≥1，為選取概率調節(jié)系數(shù))并取整作為相應個體選取數(shù)量，依次排列后根據(jù)種群總量限制組成新的種群。適應度大的個體將被多次復制，適應度小的個體將被淘汰。

2.4 交叉變異

交叉算子按某種方式交換種群中個體編碼串的部分基因位,從而形成新的個體，以便在解空間中進行有效搜索。交叉操作可以加速搜索過程，增強遺傳算法的全局搜索能力。交叉操作有單點交叉、兩點交叉、多點交叉、樹交叉、部分匹配交叉等。在交叉操作中，交叉概率pc控制著交叉操作的頻度。

本文采用兩點交叉。遍歷種群，按照交叉概率pc挑選個體。對選中的個體，在種群中隨機挑選其他個體,隨機選定二進制編碼串中的兩個基因位,將兩個體編碼串中兩個基因位之間的基因段進行互換，從而完成交叉，形成兩個新的個體。

變異操作可以保持個體基因的多樣性，增強遺傳算法的局部搜索能力，避免過早收斂。二進制編碼串的變異通過基因位0、1之間的翻轉實現(xiàn)。

本文設置變異概率pm。遍歷種群，按照變異概率挑選個體。對選中的個體，在編碼串中隨機選擇基因位進行0、1翻轉操作，形成新的個體。

交叉和變異操作后，對原種群和新個體一并進行選擇操作。保留原有個體可以避免在交叉、變異操作中損失掉最為優(yōu)秀的個體,從而能同時保證算法的收斂性和全局性。每一代種群中，最優(yōu)個體不會比上一代種群中最優(yōu)個體差。

2.5 種群初始化

種群初始化直接影響遺傳尋優(yōu)過程?？梢噪S機生成種群，也可以根據(jù)先驗信息啟發(fā)式初始化種群。種群個體數(shù)太少，則搜索空間中分布范圍有限，有收斂于局部最優(yōu)點的風險，一次遺傳操作的尋優(yōu)能力有限；種群個體數(shù)量過多，則一輪迭代中，適應度函數(shù)的計算次數(shù)增多，直接增加遺傳尋優(yōu)的計算復雜度。

交會制導的優(yōu)化目的是通過減少推力器工作時間以節(jié)省燃料。按照推力器等距稀疏控制的啟發(fā)式方法初始化種群。第1個個體二進制編碼串所有基因位為全1，對應全時工作，其他第i個個體的各基因位按其序號j對i取模，余數(shù)為1時，將該基因位設置為1，否則為零，得到不同控制周期間隔下的稀疏控制個體：

圖1 種群初始化的啟發(fā)式方法Fig.1 Heuristic initialization of population

遺傳算法的尋優(yōu)流程

步驟一：生成初始群體，設置交叉、變異概率等遺傳參數(shù)；

步驟二：計算種群中各個體適應度；

步驟三：按照優(yōu)勝劣汰的規(guī)則，増廣優(yōu)秀個體，控制種群規(guī)模，淘汰弱勢個體；

步驟四：判斷是否已達到優(yōu)化停止條件，是則算法結束，否則進入下一步驟；

步驟五：以概率pc隨機挑選種群中的個體，并在種群中隨機挑選其他個體進行交叉操作，將新生成的個體加入種群；

步驟六：對種群中的個體以概率pm進行變異操作，將新生成的個體加入種群，返回步驟二。

算法結束條件：通過交叉、變異操作已無法找到更優(yōu)的結果。

遺傳算法搜索尋優(yōu)流程如圖2所示。

圖2 遺傳算法基本流程Fig.2 Basic flow of genetic algorithm

遺傳算法在每一輪迭代中對種群中各個體進行適應度評估和擇優(yōu)選擇，形成并行的搜索能力。其中的交叉變異策略使得搜索過程具有一定的跨度和跳躍性，在搜索過程中不易陷入局部最優(yōu)，具有全局搜索能力。在應用中只需要種群個體及其適應度函數(shù)能覆蓋優(yōu)化問題的可行解并與之相對應，對適應度函數(shù)沒有過多的約束和要求，因此遺傳算法還具有較好的適應性和魯棒性。

3 仿真校驗

近圓軌道上兩個航天器的初始軌道參數(shù)見表1。

初始相對位置為[12297.9836 m，18.288 m，-121.3913 m]，初始相對速度為[0.3335 m·s-1，0.2366 m·s-1，0.2264 m·s-1]。期望實現(xiàn)零位置、零速度的交會對接。伴隨航天器的采樣控制周期為T=0.2 s，交會對接時間設置為1800 s，因此種群個體二進制編碼串編碼長度為9000。遺傳種群個體設置為150個。交叉概率設置為0.6。變異概率設置為0.5。

表1 軌道參數(shù)Table 1 Orbital parameters

分別采用隨機和啟發(fā)式方式生成初始種群。圖3、圖4分別給出了兩種初始化策略下遺傳迭代過程中最優(yōu)個體所對應的推力器開關機工作狀態(tài)。個體基因位取值為“1”表示相應控制節(jié)拍中推力器開機工作?；蛭蝗≈禐椤?”表示相應控制節(jié)拍中推力器不工作。

圖3 種群隨機初始化條件下最優(yōu)個體對應的推力器開關機序列(1800 s)Fig.3 On / off sequence of thruster corresponding to the optimal individual of some generation in the case of randomly initialization(1800 s)

啟發(fā)策略可以加速遺傳算法尋優(yōu)的過程。啟發(fā)式初始化的種群經(jīng)過1000次迭代尋優(yōu)即可達到隨機初始化種群遺傳迭代4000次的類似尋優(yōu)結果。

隨著不斷的遺傳尋優(yōu)，推力器的脈沖工作時間逐漸減少。本例最終優(yōu)化得到：推力器在制導首、末兩個控制周期內工作的雙脈沖控制能在理論上實現(xiàn)燃料最優(yōu)。

圖4 種群啟發(fā)式初始化條件下最優(yōu)個體對應的推力器開關機序列(1800 s)Fig.4 On/off sequence of thruster corresponding to the optimal individual of some generation in the case of heuristic initialization (1800 s)

圖5給出了各代最優(yōu)個體對應的軌控速度總量理論值。作為對比，圖5中還給出了隨機初始化種群的最優(yōu)個體的仿真校驗結果。仿真校驗中，模擬真實相對運動的動力學系統(tǒng)模型未經(jīng)簡化,MPIC制導律基于C-W方程，存在建模誤差。若推力器工作時間過短，實際飛行軌跡將與模型預估產(chǎn)生較大偏差，實際軌控推力、軌控速度總量將偏離規(guī)劃結果,制導誤差增大;推力器工作更多脈沖，控制效果與規(guī)劃結果更為一致，軌控加速度將更符合工程實際。

圖5 各代種群中最優(yōu)個體對應的軌控速度總量Fig.5 Velocity increment needed for orbit control corresponding to the optimal individual in each generation population

制導全過程時間不同，軌控推力器最佳工作時段的分布特征會有不同。圖6給出了交會制導時間為6000 s時遺傳算法尋優(yōu)的結果,推力器工作的最佳時機大致可分為三個時段。

圖6 種群啟發(fā)式初始化條件下最優(yōu)個體對應的推力器開關機序列(6000 s)Fig.6 On/off sequence of thruster corresponding to the optimal individual of some generation in the case of heuristic initialization(6000 s)

限定航天器最大軌控加速度為0.03 m·s-2，采用罰函數(shù)法以滿足推力器輸出約束,圖7給出了根據(jù)尋優(yōu)結果得到的軌控加速度,制導時間為1800 s。

圖7 推力輸出約束下的軌控加速度Fig.7 Accaleration of orbit control with constraint of thruster output

種群隨機初始化條件下，以遺傳迭代4000次尋優(yōu)(圖3)得到的推力器最佳開關機序列進行MPIC交會制導，與推力器全時工作模式下的結果進行對比,三軸軌控加速度如圖9所示。

圖8 相對位置Fig.8 Relative position

圖9 三軸軌控加速度Fig.9 Acceleration of orbit control

制導結束時三軸相對位置、相對速度、最大軌控加速度以及所需的軌控速度增量見表2。

在優(yōu)化得到的推力器工作模式下，相對制導的位置、速度精度仍然能達到與全時工作相當?shù)木龋柢壙厮俣瓤偭縿t相較于全時工作模式減小約30%，制導過程中所需的最大軌控加速度稍大。

表2 交會制導結果Table 2 Rendezvous guidance results

4 結 論

通過將遺傳優(yōu)化算法與MPIC制導律相結合，可以較好地實現(xiàn)多脈沖制導過程中推力器最佳工作時機的尋優(yōu)，減少航天器推力器的工作時間和燃料消耗，同時保證相對制導的精度。加速度形式的控制量可以等效換算為推力器的推力大小，易于工程實現(xiàn)。等距稀疏控制的種群初始化策略提高了遺傳迭代尋優(yōu)的效率。采用罰函數(shù)法可以保證系統(tǒng)的可控性并使推力器輸出滿足工程約束。優(yōu)化得到的MPIC多脈沖制導工作模式具有較為顯著的特征，能夠為各類空間相對制導任務中制導律的設計提供較有意義和啟發(fā)性的指導和參考。

個體二進制編碼長度與相對制導的控制周期數(shù)對應,當控制周期數(shù)較多時，二進制編碼長度與遺傳搜索時間相應增加。遺傳搜索過程對于計算能力仍有較高要求，在線實時應用仍然存在困難，后續(xù)可以采用自適應參數(shù)調整等策略進行優(yōu)化，將遺傳算法與其他局部收斂速度快的搜索方法相結合以達到更高的優(yōu)化效率。