商代的算術(shù)運(yùn)算和甲骨文上的數(shù)字排列

吳文俊

在商代，人們所知道的數(shù)目僅是一個有限的自然數(shù)集合，還沒有涉及分?jǐn)?shù)或小數(shù).由此推知：當(dāng)時不可能有除法運(yùn)算.商代人肯定會加法運(yùn)算，因?yàn)檫@是人類最容易掌握的一種算術(shù)運(yùn)算.在商代也可能出現(xiàn)過乘法運(yùn)算，實(shí)際上算術(shù)的乘法運(yùn)算只是一種相同的數(shù)目的連續(xù)相加，這種加法人們無疑會經(jīng)常遇到，久而久之乘法便產(chǎn)生了，人們就不必再將相同的數(shù)目連續(xù)相加了.進(jìn)行乘法運(yùn)算的關(guān)鍵是運(yùn)用九九乘法表.有了九九乘法表，個位數(shù)與個位數(shù)的乘積念一次九九乘法口訣就出來了;將兩位數(shù)以上的數(shù)相乘還要借助少量的加法運(yùn)算來輔助.但是，目前我們還沒有在甲骨文中找到九九乘法表，不過不能斷定其一定不存在.至于減法運(yùn)算，只能在被減數(shù)大于減數(shù)時才能進(jìn)行.我們推測，數(shù)目很小的減法在商代可能存在，不過不一定能普遍施行.

根據(jù)個別的例子，大體可以窺見一點(diǎn)商代的算術(shù)運(yùn)算.在一片甲骨上有4列數(shù)字，即50、30、20和15，每個數(shù)字出現(xiàn)3次（圖1）.釋文可排列為如下的形式：

五十犬五十羊五十豚

三十犬三十羊三十豚

二十犬二十羊二十豚

十五犬十五羊十五豚

由于骨片的上端殘缺，五十（）只有一個比較清楚，因此人們有不同的猜測，李儼、李迪等認(rèn)為最上面的一列文字為五十犬、五十羊、五十豚，而陳夢家則不承認(rèn)這列文字.實(shí)際上，經(jīng)仔細(xì)觀察可發(fā)現(xiàn)，最上面一列文字是存在的.

這個實(shí)例中包含著一些數(shù)學(xué)規(guī)律，可能也用到了運(yùn)算，李儼作了如下解釋：

50-30=4×5=22×5，

30-20=2×5=21×5，

20-15=1×5=20×5.

他說這些結(jié)果中含有等比數(shù)列，而原來的4個數(shù)目都是5的倍數(shù).上面的解釋不僅涉及了減法和乘法運(yùn)算，而且還含有等比數(shù)列的概念，但這種可能性不大，商代不可能形成等比數(shù)列的概念.我們認(rèn)為這4列數(shù)字可能通過加法和乘法運(yùn)算獲得，是否有減法難以確定.

甲骨文中數(shù)字的排列都有一定的規(guī)律，根據(jù)這些規(guī)律可以窺見商代人已經(jīng)掌握或可能掌握的數(shù)學(xué)知識.連續(xù)排列的數(shù)目字絕大多數(shù)到九為止，少數(shù)的到十（），超過十的極為罕見.下面舉例加以說明.我們按甲骨文原來的排列位置進(jìn)行摘錄，僅僅把甲骨文字改為現(xiàn)代漢字.

第一類：若干個連續(xù)自然數(shù)的按順序排列.

例1. 在同一片龜甲上有由一到六按順序排列，且都是豎排的數(shù)目字.

例2.次序由右到左（即右小左大）橫排排列的數(shù)目字：五、四、三、二、一.

例3.由上到下逆序排列的數(shù)目字：六、五、四，但是骨片上下端均殘缺，估計(jì)還有字，至少往下還有三、二、一，上面就不好推測了.

至于由右到左（即右大左?。┑臋M排的數(shù)目字的例子相當(dāng)多，這里不另列舉.

第二類：某個自然數(shù)的重復(fù)排列.

例1.反復(fù)出現(xiàn)同一個自然數(shù).在一片甲骨上“二”字出現(xiàn)了24次，因骨片殘缺，可能整個骨片上的“二”字比24個要多些.這24個“二”字可分為四組，用橫、豎線隔開，每組6個，如圖2.這種排列有什么意義，目前還不清楚.但未發(fā)現(xiàn)有類似情況的其他數(shù)字.

例2.在一片甲骨的殘片上包含有“一”“二”“三”和“五”4個數(shù)字，中間的上端有2個橫排的“一”，其左下和右下各有一列豎向排列的 “二”，左列“二”的左側(cè)為兩行“三”，右列“二”的右側(cè)為“五”，實(shí)際上可能是兩行“五”，因甲骨殘損而看不見了.

例3.分段重復(fù)排列.有的連寫幾個“二”，接著幾個“三”，每兩個字中間有較大距離：有的連寫幾個”一”，似乎是把旁邊的文字分為幾段.

第三類：左右對稱排列.這類的例子很多.

例1.在一片殘甲骨上找到由一到十的數(shù)字40個，還有些地方模糊不清或有殘損.根據(jù)整個排列我們補(bǔ)上8個數(shù)字，用方框圈起（如圖3）.如果從中間上下畫一條直線，恰好分成左右對稱的兩部分.

例2.在另一片甲骨上還有更復(fù)雜的左右對稱排列的數(shù)字，如果說上面的例子可以分為上下兩段的話，那么這個例子就可以分為三段，每段都左右對稱.當(dāng)然其中也有些殘破或不清之處，補(bǔ)上相應(yīng)的數(shù)字，排列如圖4所示.

還有許多對稱的例子，這里不再列舉.但是值得我們深思的是，商代人對數(shù)字的排列有較多的認(rèn)識，且達(dá)到了較高的水平.

第四類：奇偶分開排列.

一片龜甲的正面有28個數(shù)字、上下分為4列、每列7個數(shù)字.用十字線將其分成4個組，上兩組共有6個數(shù)字，下兩組共有8個數(shù)字.這樣，每組的豎列、每列是奇或是偶很清楚地呈現(xiàn)出來，無一混亂，且下面兩組左右對稱（圖5）.

例2.在一片龜甲的下半截有18個自然數(shù)，分為4列排列.中間2列都是奇數(shù)，外邊的2列都是偶數(shù)，它們左右對稱.但右邊微殘，如二、八所在位置看不清，這很容易補(bǔ)上（圖6）.

例3.還有一種特殊的奇偶排列，如圖7.其上部奇偶排列出現(xiàn)了交叉的情形，連線即可看出.其下部出現(xiàn)了循環(huán)的現(xiàn)象，即十下接二、四，九下有一、三.因有殘損，下面是否還有數(shù)字無法判斷.根據(jù)這種循環(huán)現(xiàn)象，可知商代人使用的數(shù)字一般到十為止，過十則再從一開始.

第五類：前9個自然數(shù)的分三段排列.分段排列的情況在甲骨文中比較常見，例如，一個骨片上有由左（?。┑接遥ù螅┓謨啥蔚臋M排數(shù)字，即一、二、三、四、五、六;七、八、九、十，下面又出現(xiàn)一、二、三、四，如圖8.

例1.另一片甲骨的下半部也呈三段排列，上半部是兩行自然數(shù)（圖9）.

例2.獨(dú)立的三段排列，也能在甲骨文中找到，有一個是由右（小）到左（大）排列的.這類排列有一個共同的特點(diǎn)，就是把它們左旋或右旋45°（如圖10），便得到了3階不完全的縱橫圖，如果把一與九、三與七分別對調(diào)就得到了現(xiàn)代意義下的幻方，因此有人已提出縱橫圖起源于甲骨文的論點(diǎn).盡管這個論點(diǎn)還有待于進(jìn)一步探討，但是后人從這里得到啟發(fā)而形成三階縱橫圖也是有可能的.

由上述各種情況來看，商代人對自然數(shù)已經(jīng)相當(dāng)熟悉，而且掌握了一些規(guī)律，他們對數(shù)學(xué)排列的對稱性似乎有所偏愛，在很多龜甲上都左右對稱地排列著兩列自然數(shù).奇偶分列也是商代人很重視的事.

——摘自《中國數(shù)學(xué)史大系·第一卷》