數(shù)學(xué)思辨力,賦予理解生長(zhǎng)的力量

錢(qián)麗

【摘要】隨著數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提出，學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)顯得尤為重要，而數(shù)學(xué)思辨力是學(xué)生核心素養(yǎng)的重要組成部分.因此，筆者通過(guò)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思辨現(xiàn)狀的分析，在教學(xué)實(shí)踐中探尋培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思辨力的策略，促使數(shù)學(xué)理解從“淺表”走向“深刻”.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思辨力;思辨情境;思辨方式

隨著數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提出，學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)顯得尤為重要，而數(shù)學(xué)思辨力是學(xué)生核心素養(yǎng)的重要組成部分.因此，在教學(xué)中，數(shù)學(xué)教師要為學(xué)生創(chuàng)設(shè)思辨的平臺(tái)，讓學(xué)生在思辨中經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展過(guò)程，完善對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)體系的認(rèn)知，促使他們對(duì)數(shù)學(xué)的理解從“淺表”走向“深刻”.

一、厘清：數(shù)學(xué)思辨力的內(nèi)涵

數(shù)學(xué)思辨力是一種思維品質(zhì)，是指從數(shù)學(xué)的角度觀察紛繁復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)世界，發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題，并能用數(shù)學(xué)的方法進(jìn)行思考和辨析，探索解決問(wèn)題的能力.這是一種指向?qū)W生高階思維的能力，它的強(qiáng)弱是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平高低的一項(xiàng)重要指標(biāo).

二、審視：學(xué)生數(shù)學(xué)思辨的現(xiàn)狀

在數(shù)學(xué)課堂中，總有這樣一類學(xué)生：坐姿端正且從不干擾課堂教學(xué)，看似在聽(tīng)，卻不知所云.心理學(xué)家卡爾·蘭塞姆·羅杰斯（Carl Ransom Rogers）將這些學(xué)生稱為“課堂上的觀光者”.這些“課堂上的觀光者”缺乏最基本的思辨力，在面對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)，沒(méi)有什么可思，沒(méi)有什么可辨，只是一味地接受與模仿.這種內(nèi)隱的思辨現(xiàn)狀導(dǎo)致其無(wú)法運(yùn)用規(guī)范的數(shù)學(xué)語(yǔ)言去闡明觀點(diǎn)，交流思想，生成智慧.

學(xué)生的數(shù)學(xué)思辨力為何如此薄弱呢？筆者通過(guò)長(zhǎng)時(shí)間觀察與分析，并結(jié)合四年級(jí)的學(xué)業(yè)水平測(cè)試，歸納出以下幾個(gè)方面的原因.

1.思辨惰性化

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，學(xué)生會(huì)有這樣一種依賴：教師說(shuō)什么就是什么，教師讓做什么就做什么，從不懷疑教師、質(zhì)疑書(shū)本，認(rèn)為只要按照現(xiàn)行的方法“照葫蘆畫(huà)瓢”就是正確的.尤其在遇到具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題時(shí)，他們往往生搬硬套舊知識(shí)，或者坐等其他人給出現(xiàn)成答案，缺失真正、真實(shí)的自我思辨.

例如，一根繩子長(zhǎng)89米，第一次用去31米，第二次用去28米，現(xiàn)在的繩長(zhǎng)比原來(lái)少了多少米？

本題得分率只有40%，這樣的局面是由長(zhǎng)期“他思即我思、他辨即我辨”的惰性等待導(dǎo)致的.學(xué)生在面對(duì)“現(xiàn)在的繩長(zhǎng)比原來(lái)少了多少米？”的新問(wèn)題時(shí)，缺少主動(dòng)思辨的意識(shí).甚至有的學(xué)生簡(jiǎn)單地將本題與“還剩多少米？”看作同一類問(wèn)題，有的學(xué)生受“比……少多少”的形式化思維影響，想當(dāng)然地照搬原方法，用“89-31-28”來(lái)解決.

2.思辨淺表化

隨著課堂教學(xué)改革的不斷深入，有些學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中能發(fā)現(xiàn)一些問(wèn)題，并能表達(dá)簡(jiǎn)單的想法，有了一定的思考能力，但這種思考往往缺乏對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的深度思辨.按照弗賴登塔爾提出的“學(xué)習(xí)過(guò)程的層次”觀點(diǎn)來(lái)看，這種思辨水平屬于最低層次的學(xué)習(xí)，是為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)準(zhǔn)備的.

例如，將白子與黑子如右圖那樣排列成正方形，如果白子用28個(gè)，那么黑子用（）個(gè).

本題得分率只有44.8%.雖然很多學(xué)生知道是找規(guī)律的問(wèn)題，但由于知識(shí)能力的不足，他們找不到解決的切入點(diǎn)，不知道從哪個(gè)角度觀察這些棋子，不會(huì)將棋子的擺放規(guī)律數(shù)學(xué)化……思來(lái)想去，無(wú)從辨起.因?yàn)檫@張圖不是一張完整的直觀圖，中間的省略號(hào)使得學(xué)生無(wú)法確定棋子擺放的具體個(gè)數(shù)，從而導(dǎo)致無(wú)法確定棋子擺放的內(nèi)在規(guī)律.

3.思辨碎片化

在數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程中，許多教師受“化難為易”思想的影響，常常把大量的時(shí)間放在對(duì)單個(gè)知識(shí)點(diǎn)的練習(xí)和單一技能的訓(xùn)練上.這樣的教學(xué)“只見(jiàn)樹(shù)木不見(jiàn)森林”，忽視了知識(shí)之間的聯(lián)系，導(dǎo)致學(xué)生孤立、零散、被動(dòng)地接受無(wú)數(shù)個(gè)知識(shí)碎片.由于對(duì)知識(shí)的理解缺乏系統(tǒng)性和聯(lián)系性，學(xué)生的思辨力也呈現(xiàn)碎片化的狀態(tài).

例如，明明家、君君家和學(xué)校的位置如下圖所示.明明家離學(xué)校有 800 米，君君家離學(xué)校有 500 米，明明家和君君家的距離可能是（? ）米.

A.280B.300C.1000D.1400

本題得分率只有10%.從直觀圖可以看出，本題要運(yùn)用“三角形的三邊關(guān)系”的知識(shí)點(diǎn)來(lái)解決，明明家和君君家的距離就是第三邊的長(zhǎng)度范圍，應(yīng)該大于兩邊之差且小于兩邊之和，即在300～1300米之間.但是大部分學(xué)生無(wú)法有效溝通知識(shí)世界與生活世界之間的聯(lián)系，簡(jiǎn)單地認(rèn)為求兩點(diǎn)之間直線距離就是把所給的兩段路程相加或相減，忽視了這三個(gè)地點(diǎn)的位置關(guān)系，這種碎片化思辨限制了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的主動(dòng)構(gòu)建.

三、探尋：培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思辨力的策略

面對(duì)學(xué)生如此脆弱不堪的數(shù)學(xué)思辨力，筆者不由得反問(wèn)：“我們?cè)鯓硬拍芴嵘龑W(xué)生的數(shù)學(xué)思辨力呢？”實(shí)踐證明，小學(xué)階段是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思辨力的關(guān)鍵時(shí)期.通過(guò)立足學(xué)情，改變教學(xué)方式，開(kāi)展相應(yīng)的“思辨”訓(xùn)練，教師可以有效激活學(xué)生思辨的內(nèi)驅(qū)力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思辨力.

1.創(chuàng)設(shè)思辨情境，提升活力

“學(xué)起于思，思源于疑”.小學(xué)生正處在好奇心旺盛的年齡階段，對(duì)新鮮事物、感興趣的東西特別好奇，總想去探個(gè)究竟，弄個(gè)水落石出.因此，在教學(xué)時(shí)，教師需要從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)，創(chuàng)設(shè)有效的情境，激活學(xué)生思辨的內(nèi)驅(qū)力，為學(xué)生開(kāi)啟深度學(xué)習(xí)之門(mén).

例如，在教學(xué)“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”這一內(nèi)容時(shí)，筆者受張奠宙教授“把同一個(gè)分?jǐn)?shù)的所有不同表示形式看成彼此相等的一個(gè)整體，就形成了一個(gè)‘等價(jià)類”的啟發(fā)，把等值分?jǐn)?shù)寫(xiě)到學(xué)生熟悉的卡牌中，創(chuàng)設(shè)“翻翻樂(lè)”的游戲情境，改變了傳統(tǒng)的教學(xué)模式.在這一游戲情境中，學(xué)生每次隨機(jī)翻開(kāi)2張牌，都要對(duì)“相等嗎？”“為什么？”等問(wèn)題主動(dòng)思辨.（下面是筆者記錄的部分學(xué)生的對(duì)話）

甲方（翻開(kāi)）：912和68，判斷不相等.

乙方（追問(wèn)）：為什么不相等？請(qǐng)說(shuō)明理由.

甲方（闡述）：無(wú)論9和12乘幾（或除以幾）都得不到6和8.

乙方（質(zhì)疑）：呃……（拿出草稿紙開(kāi)始寫(xiě)一寫(xiě)、畫(huà)一畫(huà)、算一算）

甲方重新審視.

乙方（反駁）：不對(duì)，9÷6=1.5，12÷8=1.5.912的分子分母只要同時(shí)除以1.5就可以得到68，因此，912和68是相等的.

甲方（恍然大悟）：對(duì)呀，我們?cè)趺礇](méi)想到除以小數(shù)呢！

（有的學(xué)生還想到了912=34，68=34，借助了34這個(gè)中間量來(lái)說(shuō)明912=68）

看似簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單的12張卡牌，卻為學(xué)生營(yíng)造了思辨的場(chǎng)域，幫助學(xué)生突破了經(jīng)驗(yàn)層面，有效促進(jìn)了學(xué)生對(duì)“同一個(gè)數(shù)”“0”“與商不變規(guī)律的聯(lián)系”等問(wèn)題進(jìn)行質(zhì)疑，滿足了不同思辨層次學(xué)生的需要.從某種意義上說(shuō)，這樣的情境正是學(xué)生積極思辨、主動(dòng)探索的一種生動(dòng)表現(xiàn).

2.給予思辨時(shí)空，漸悟本質(zhì)

當(dāng)今快節(jié)奏的生活方式，讓人們不斷地與時(shí)間賽跑，快速、快捷……這就導(dǎo)致教師在課堂上一味地鼓勵(lì)學(xué)生盡快做出反應(yīng)，問(wèn)題剛拋出就讓學(xué)生回答，舍不得給學(xué)生思辨的時(shí)間.鄭毓信教授曾提出，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生學(xué)會(huì)“長(zhǎng)時(shí)間思考”.這個(gè)“長(zhǎng)時(shí)間思考”就是給予學(xué)生思辨的時(shí)空去漸悟知識(shí)本質(zhì)的過(guò)程.

例如，“相遇問(wèn)題”一直都是學(xué)生難以理解的問(wèn)題，讀不懂，也理不清.張宏偉教師在執(zhí)教這個(gè)內(nèi)容時(shí)，進(jìn)行深度挖掘，橫向拓展，采用模擬的方式給予學(xué)生充分思考的時(shí)間和空間.整堂課以一句話“甲、乙兩人分別從A、B兩地相向而行”開(kāi)始，張宏偉教師先在教室里標(biāo)注出A、B兩地，再請(qǐng)兩名學(xué)生現(xiàn)場(chǎng)表演相向而行，同時(shí)讓全班學(xué)生一起思考：甲、乙兩人分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，在相向而行的過(guò)程中，兩人的位置關(guān)系會(huì)出現(xiàn)幾種不同的情況，請(qǐng)用手勢(shì)表示出來(lái).

第一次，這兩名學(xué)生走到A、B兩地后自動(dòng)停止了，這時(shí)，張宏偉教師夸張地追問(wèn)以引發(fā)這兩名學(xué)生重新進(jìn)行模擬.其他學(xué)生在笑聲中帶著問(wèn)題重新觀察、分析、思考與質(zhì)疑，因此，在第二次學(xué)生表演中概括出“相向而行”可能出現(xiàn)的情形.整堂課沒(méi)有任何一個(gè)數(shù)據(jù)，沒(méi)有任何一個(gè)習(xí)題的解決過(guò)程，但是學(xué)生不僅理解了“沒(méi)相遇、相遇、相遇過(guò)頭沒(méi)出界、相遇過(guò)頭出了界”4種相遇問(wèn)題的情況，更重要的是學(xué)生在思辨中主動(dòng)建立了相遇問(wèn)題的各種模型.這主要?dú)w功于張宏偉教師舍得花時(shí)間，讓學(xué)生在行走中聚焦相遇問(wèn)題的核心要素，比純粹解題學(xué)習(xí)更有意思！

3.優(yōu)化思辨方式，完善構(gòu)建

數(shù)學(xué)知識(shí)之間有著很強(qiáng)的系統(tǒng)性和邏輯性，每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)都有它的“生長(zhǎng)點(diǎn)”和“延展點(diǎn)”，學(xué)生只有在不斷變化和重組的過(guò)程中形成數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，才能達(dá)到對(duì)知識(shí)的深度理解.因此，教師要整體把握數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)，厘清新舊知識(shí)的縱向延伸和橫向聯(lián)系，巧妙設(shè)置認(rèn)知沖突，優(yōu)化學(xué)生的思辨方式，使學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)逐步得到完善.

例如，在計(jì)算“12÷5”時(shí)，學(xué)生出現(xiàn)了兩種結(jié)果：①12÷5=2……2，②12÷5=2.4.通過(guò)驗(yàn)算，這兩個(gè)結(jié)果都對(duì)，但對(duì)于后者的結(jié)果，學(xué)生還是有疑問(wèn)的.這時(shí)，教師可以放手讓學(xué)生闡述理由.學(xué)生可以借助購(gòu)物情境、方塊圖、小數(shù)的性質(zhì)來(lái)解釋“12÷5=2.4”.同時(shí)，教師可以順勢(shì)引導(dǎo)學(xué)生理解“余下的2添0再除，所得的商4為什么要寫(xiě)在十分位上”這一問(wèn)題.

學(xué)生在理解算理之后可以進(jìn)行算法的鞏固，但張宏偉教師又追問(wèn)：“為什么以前除到有余數(shù)就可以得出答案，現(xiàn)在卻要繼續(xù)除下去呢？”這一問(wèn)題捅破了那層“窗戶紙”，引發(fā)了學(xué)生進(jìn)行全方位的思辨，在辨析交流中使學(xué)生逐漸體會(huì)：整數(shù)除法在除不盡時(shí)，讓商和余數(shù)并存，只是求得一個(gè)近似結(jié)果，如果要得到精確的答案，就必須繼續(xù)除下去，這就體現(xiàn)了小數(shù)除法的價(jià)值.在不斷優(yōu)化思辨方式的過(guò)程中，學(xué)生不僅理解了繼續(xù)除的意義，而且溝通了小數(shù)除法和整數(shù)除法之間的聯(lián)系，知道了整數(shù)除法是小數(shù)除法的生長(zhǎng)點(diǎn)，小數(shù)除法是整數(shù)除法的拓展.在這一過(guò)程中，學(xué)生由淺表的思考向縱深發(fā)展，主動(dòng)構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，思維的嚴(yán)密性和條理性也得到了彰顯.

總之，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思辨力是促進(jìn)其數(shù)學(xué)理解的重要方式.在教學(xué)時(shí)，教師要有意識(shí)地為學(xué)生搭建思辨的平臺(tái)，引發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行多維度思辨，促使學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和關(guān)鍵能力得到長(zhǎng)足發(fā)展.

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