空間自適應(yīng)EPLL低頻地震隨機(jī)噪聲降噪方法

林紅波，馬 陽(yáng)

(吉林大學(xué) 通信工程學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130012)

在利用地震勘探對(duì)地下結(jié)構(gòu)進(jìn)行成像與分析時(shí)，提取地震圖像蘊(yùn)含的地下信息是關(guān)鍵。然而，在接收地下反射信號(hào)時(shí)，不可避免地會(huì)接收到人文活動(dòng)和自然環(huán)境信息，如風(fēng)的運(yùn)動(dòng)引起的隨機(jī)噪聲。受隨機(jī)噪聲污染的實(shí)際地震勘探圖像Y=X+V，其中隨機(jī)噪聲V的不可預(yù)測(cè)性和復(fù)雜的噪聲性質(zhì)嚴(yán)重影響了信號(hào)X的提取精度[1]。在沙漠地區(qū)，隨機(jī)噪聲受復(fù)雜地質(zhì)和地表?xiàng)l件影響，其波形、空間結(jié)構(gòu)與反射信號(hào)有一定的相似性，是一種低頻色噪聲，這種性質(zhì)使得低頻反射信號(hào)的辨識(shí)和提取更為困難。此外，地震勘探圖像中非平穩(wěn)地震勘探信號(hào)的強(qiáng)度和頻率在時(shí)間和空間上變化劇烈。首先到達(dá)的信號(hào)能量強(qiáng)，在圖像中占主導(dǎo)地位，來(lái)自深層反射的信號(hào)能量弱，其在強(qiáng)信號(hào)和弱相似隨機(jī)噪聲的干擾下很難分辨。如何壓制非平穩(wěn)地震勘探圖像中的低頻弱相似隨機(jī)噪聲，且不損失非平穩(wěn)地震信號(hào)，一直是沙漠地震勘探研究熱點(diǎn)和難點(diǎn)。

國(guó)內(nèi)外地球物理學(xué)者和信號(hào)處理學(xué)者在地震勘探去噪方面做了大量研究，并不斷提出新的去噪方法以適應(yīng)地震勘探技術(shù)的發(fā)展和地震勘探目標(biāo)的新要求。從最初經(jīng)典的傅里葉變換發(fā)展到適應(yīng)非平穩(wěn)信號(hào)的短時(shí)傅里葉變換[2]，從小波變換到Curvelet 變換[3]、脊波變換[4]，從時(shí)頻峰值濾波[5]到徑向道時(shí)頻峰值濾波[6]等一系列方法抑制地震圖像中的噪聲，并取得了顯著的去噪效果。然而，這些降噪方法未能充分挖掘地震勘探信號(hào)復(fù)雜的結(jié)構(gòu)特征，導(dǎo)致在壓制噪聲的同時(shí)有效信號(hào)也存在一定程度丟失。

近年來(lái)，基于字典學(xué)習(xí)方法有效改進(jìn)了圖像降噪效果。基于字典學(xué)習(xí)的去噪模型通過(guò)更新字典學(xué)習(xí)圖像中信號(hào)的結(jié)構(gòu)特征，能夠更好地抑制圖像中的隨機(jī)噪聲。AHARON等[7]提出一種K-奇異值分解(K-Singular Value Decomposition，K-SVD)的字典學(xué)習(xí)方法來(lái)稀疏地描述圖像特征。YANG等[8]結(jié)合自定進(jìn)度的學(xué)習(xí)實(shí)現(xiàn)基于非負(fù)矩陣分解的非負(fù)系數(shù)稀疏字典學(xué)習(xí)方法，在時(shí)空域中抑制地震圖像中的隨機(jī)噪聲。王勇等[9]結(jié)合字典學(xué)習(xí)思想，提出一種冗余自適應(yīng)字典表示的稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)算法。從待重建圖像的迭代中間圖像塊中學(xué)習(xí)字典，并以該字典作為基獲得圖像的稀疏解。劉帥等[10]在分層字典學(xué)習(xí)框架下進(jìn)行統(tǒng)計(jì)建模，通過(guò)引入高斯噪聲項(xiàng)和稀疏噪聲項(xiàng)，有效地表達(dá)圖像噪聲特性；同時(shí)，應(yīng)用吉布斯采樣求解統(tǒng)計(jì)模型，以實(shí)現(xiàn)降噪的目的。字典學(xué)習(xí)的方法通常利用圖像塊學(xué)習(xí)字典，減小字典學(xué)習(xí)的復(fù)雜度，然而卻忽略了圖像的全局特征。針對(duì)此問(wèn)題，ZORAN等[11]提出了塊期望對(duì)數(shù)似然降噪方法(Expected Patch Log Likelihood，EPLL)，利用高斯混合模型(Gaussian Mixture Model，GMM)學(xué)習(xí)目標(biāo)信號(hào)的結(jié)構(gòu)特征作為先驗(yàn)約束去噪過(guò)程。該算法既能精準(zhǔn)描述圖像塊統(tǒng)計(jì)特征，又能從強(qiáng)噪聲中無(wú)失真地復(fù)原自然圖像。PAPYAN等[12]進(jìn)一步提出多尺度EPLL方法，改善算法的降噪性能。SULAM等[13]利用稀疏先驗(yàn)替代高斯混合模型，提出稀疏期望塊對(duì)數(shù)似然方法來(lái)恢復(fù)自然圖像。基于字典學(xué)習(xí)的去噪方法也在地震圖像噪聲抑制中表現(xiàn)出優(yōu)秀的地震信號(hào)恢復(fù)能力。XI等[14]結(jié)合塊分類(lèi)和高斯混合模型提出基于塊分類(lèi)的期望塊對(duì)數(shù)似然算法(Patch Classification EPLL，PC-EPLL)，實(shí)現(xiàn)非平穩(wěn)地震隨機(jī)噪聲干擾下的信號(hào)恢復(fù)。基于EPLL對(duì)地震特征良好的恢復(fù)能力，筆者進(jìn)一步將其拓展到非平穩(wěn)地震勘探圖像，壓制低頻有色隨機(jī)噪聲。

針對(duì)地震勘探信號(hào)非平穩(wěn)特性，筆者提出空間自適應(yīng)塊期望對(duì)數(shù)似然(Spatially Adaptive EPLL，SA-EPLL)低頻地震隨機(jī)噪聲降噪方法。在EPLL圖像降噪方法中，正則化參數(shù)通常設(shè)為與隨機(jī)噪聲方差有關(guān)的一組常數(shù)。然而，當(dāng)?shù)卣鹂碧綀D像中信號(hào)強(qiáng)度隨空間非平穩(wěn)變化時(shí)，具有相同噪聲水平的圖像塊具有不同的信噪比，所需要的去噪強(qiáng)度不同。因此，EPLL算法正則化參數(shù)僅隨噪聲方差變化而無(wú)法實(shí)現(xiàn)對(duì)不同信噪比圖像塊施加不同的去噪水平，導(dǎo)致EPLL算法對(duì)非平穩(wěn)地震勘探信號(hào)去噪效果不佳。為了同時(shí)表征地震勘探信號(hào)的非平穩(wěn)特征和噪聲特性，筆者提出利用更能反映非平穩(wěn)特征的塊信噪比自適應(yīng)地控制正則化參數(shù)，構(gòu)建基于塊信噪比的加權(quán)圖像重構(gòu)方案。合成圖像和實(shí)際地震勘探圖像驗(yàn)證了空間自適應(yīng)EPLL算法有效性，SA-EPLL能夠有效壓制沙漠地震勘探非平穩(wěn)圖像中低頻弱相似隨機(jī)噪聲，緩解了非平穩(wěn)地震信號(hào)的損失問(wèn)題。

1 期望塊對(duì)數(shù)似然降噪方法算法

EPLL算法通過(guò)學(xué)習(xí)樣本圖像塊的結(jié)構(gòu)特征作為先驗(yàn)，約束圖像去噪反問(wèn)題。對(duì)于含噪圖像Y=X+V，假設(shè)V是均值為0、方差為σ2的高斯白噪聲。利用EPLL方法對(duì)Y去噪，即通過(guò)求解如下反問(wèn)題估計(jì)干凈圖像X，代價(jià)函數(shù)表示為

(1)

其中，logP(RiX)表示第i個(gè)重疊圖像塊的對(duì)數(shù)似然先驗(yàn)，Ri為抽取第i個(gè)重疊圖像塊的算子，重疊圖像塊大小為q×q。參數(shù)λ為常數(shù)，通常設(shè)置為q2/σ2。在對(duì)數(shù)似然先驗(yàn)約束下的優(yōu)化問(wèn)題不能直接求解，ZORAN和WEISS采用半二次分裂算法[11]，通過(guò)引入輔助變量zi，將式(1)的優(yōu)化問(wèn)題改寫(xiě)為

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給定X，求解式(2)關(guān)于zi的最小化問(wèn)題。由于對(duì)數(shù)似然先驗(yàn)約束下沒(méi)有閉合解，在實(shí)際應(yīng)用中，利用已經(jīng)訓(xùn)練好的GMM先驗(yàn)?zāi)Ｐ瞳@得近似解。從GMM模型中搜索與含噪圖像塊zi最似然的GMM分量

(4)

(5)

基于EPLL降噪原理，正則化參數(shù)β通常根據(jù)整體噪聲方差σ2設(shè)定，由于在迭代過(guò)程中圖像的噪聲方差已經(jīng)改變，在圖像去噪應(yīng)用中通常設(shè)定β為一組常數(shù)序列[1，2，4，8，…]/σ2。

將EPLL應(yīng)用到沙漠地震勘探圖像時(shí)，正則化參數(shù)β的設(shè)置需要考慮地震勘探信號(hào)的非平穩(wěn)特性。地震圖像是由多個(gè)檢波器接收到的地下反射信號(hào)構(gòu)成的。受地下介質(zhì)吸收影響，地震圖像中信號(hào)強(qiáng)度在空間和時(shí)間上變化。隨著時(shí)間增加，地震信號(hào)的幅度迅速降低，強(qiáng)信號(hào)與弱信號(hào)的強(qiáng)度差異巨大；由于檢波器間隔距離遠(yuǎn)，不同檢波器接收到的信號(hào)強(qiáng)度也不均衡。因此，地震圖像下方的弱信號(hào)在上方強(qiáng)信號(hào)的掩蓋下很難辨識(shí)。另一方面，沙漠地震勘探圖像中的隨機(jī)噪聲為低頻色噪聲，噪聲特性較高斯白噪聲更為復(fù)雜，甚至部分沙漠勘探隨機(jī)噪聲與地震信號(hào)具有相似的波形和形態(tài)。這種復(fù)雜的隨機(jī)噪聲進(jìn)一步增加了沙漠勘探圖像去噪的難度。當(dāng)EPLL算法應(yīng)用于沙漠地震圖像時(shí)，地震信號(hào)的非平穩(wěn)性對(duì)降噪效果會(huì)產(chǎn)生較大的影響。

以圖1(a)為例說(shuō)明對(duì)非平穩(wěn)地震圖像的影響。圖像塊中信號(hào)幅度分別為[0.2，0.8，1，10，1000]，含噪圖像塊(圖1(b))中沙漠噪聲方差為0.08；可見(jiàn)，沙漠噪聲結(jié)構(gòu)與地震信號(hào)相似。根據(jù)EPLL原理將正則化參數(shù)β設(shè)為常數(shù)序列，去噪結(jié)果如圖1(c)所示，信號(hào)幅度為0.2的圖像塊噪聲壓制效果不明顯，幅度為10和1 000的圖像塊噪聲壓制良好，但左下角信號(hào)出現(xiàn)變形。幅度為0.8與1的圖像塊降噪效果好。上述結(jié)果表明，正則化參數(shù)僅與噪聲方差有關(guān)時(shí)，對(duì)于非平穩(wěn)信號(hào)圖像塊濾波效果不同。含有大幅度信號(hào)的圖像塊信噪比高，噪聲方差相對(duì)于信號(hào)來(lái)說(shuō)相當(dāng)小，若EPLL采用噪聲方差設(shè)置正則化參數(shù)，則對(duì)高信噪比圖像塊相當(dāng)于施加了過(guò)強(qiáng)的去噪，導(dǎo)致信號(hào)失真；對(duì)于小幅度信號(hào)圖像塊，信噪比極低，噪聲方差相對(duì)于信號(hào)來(lái)說(shuō)相當(dāng)大，此時(shí)利用噪聲方差設(shè)置正則化參數(shù)相當(dāng)于降低了EPLL降噪能力，圖像塊去噪不理想。由此可見(jiàn)，針對(duì)非平穩(wěn)地震圖像處理，不能簡(jiǎn)單采用噪聲方差調(diào)節(jié)EPLL參數(shù)。為了衡量信號(hào)與噪聲的相對(duì)信息，筆者提取圖像塊的信號(hào)方差，利用信號(hào)方差與噪聲方差的比值設(shè)置正則化參數(shù)。圖1(d)所示EPLL去噪結(jié)果表明，不論是弱信號(hào)圖像塊還是強(qiáng)信號(hào)圖像塊，去噪結(jié)果和信號(hào)保持程度均得到改善。上述分析表明，對(duì)于非平穩(wěn)地震圖像，采用反映塊信噪比的特征設(shè)置正則化參數(shù)更為合理。

圖1 不同正則化參數(shù)的非平穩(wěn)圖像塊去噪效果分析

2 基于空間自適應(yīng)EPLL的沙漠地震圖像去噪

在對(duì)非平穩(wěn)沙漠地震勘探圖像去噪時(shí)，若僅考慮噪聲方差水平設(shè)置EPLL正則化參數(shù)，要保證強(qiáng)信號(hào)圖像塊不失真，則會(huì)導(dǎo)致弱信號(hào)塊噪聲壓制不徹底，很難同時(shí)兼顧強(qiáng)信號(hào)保真和弱信號(hào)恢復(fù)。這就需要EPLL正則化參數(shù)根據(jù)每個(gè)圖像塊特征調(diào)節(jié)。筆者在EPLL框架下，將能反映信號(hào)非平穩(wěn)特性的塊信號(hào)方差與反應(yīng)噪聲水平的參數(shù)β相結(jié)合，提出空間自適應(yīng)塊期望對(duì)數(shù)似然(SA-EPLL)去噪算法。該算法利用塊信號(hào)方差調(diào)節(jié)參數(shù)β得到每個(gè)塊的信噪比，并通過(guò)塊信噪比實(shí)現(xiàn)對(duì)強(qiáng)信號(hào)和弱信號(hào)圖像塊施加不同的正則化參數(shù)，自適應(yīng)控制圖像塊去噪水平。同時(shí)利用塊信噪比加權(quán)重構(gòu)圖像，平衡局部先驗(yàn)和全局特征，改進(jìn)非平穩(wěn)圖像去噪效果。

2.1 空間自適應(yīng)EPLL

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

SA-EPLL流程如算法1所示。

算法1：空間自適應(yīng)EPLL算法(SA-EPLL)。

輸入：含噪地震圖像Y、學(xué)習(xí)到的GMM先驗(yàn)。

設(shè)t為當(dāng)前迭代次數(shù)，開(kāi)始迭代。

② 求解平穩(wěn)化圖像去噪結(jié)果。

2.2 訓(xùn)練集構(gòu)造

在使用SA-EPLL算法對(duì)沙漠地震圖像去噪時(shí)，需要利用GMM模型學(xué)習(xí)地震圖像先驗(yàn)，因此，構(gòu)建包含實(shí)際地震圖像結(jié)構(gòu)特征的訓(xùn)練集對(duì)于恢復(fù)地震圖像尤為重要。筆者采用雷克子波、零相位波、混合相位波[15]模擬實(shí)際地震圖像中的信號(hào)特征，生成訓(xùn)練集。為了防止在學(xué)習(xí)過(guò)程中過(guò)擬合大的數(shù)據(jù)特征，筆者構(gòu)建均值為0，方差為1的訓(xùn)練集，使學(xué)習(xí)到的模型更加魯棒。利用上述構(gòu)建的訓(xùn)練集，筆者用EM算法[16]學(xué)習(xí)高斯混合模型參數(shù)，對(duì)地震信號(hào)結(jié)構(gòu)特征建模。所學(xué)習(xí)的混合GMM模型包含200個(gè)高斯分量，在保證特征豐富的同時(shí)，又不會(huì)增加計(jì)算量。

在先驗(yàn)字典學(xué)習(xí)中，圖像塊的大小是影響EPLL降噪效果的重要因素。在地震勘探圖像處理時(shí)，地震勘探同相軸結(jié)構(gòu)信息對(duì)于精準(zhǔn)探查地下結(jié)構(gòu)至關(guān)重要。要在圖像塊中體現(xiàn)出傾斜同相軸的空間相干性，需要較大的圖像塊，但采用太大的圖像塊尺寸，會(huì)導(dǎo)致學(xué)習(xí)時(shí)間迅速增加。為了盡可能多地保留地震勘探信號(hào)的結(jié)構(gòu)特征，避免學(xué)習(xí)時(shí)間過(guò)長(zhǎng)，筆者分析大量實(shí)驗(yàn)降噪效果尋找最優(yōu)值，將圖像塊大小設(shè)置為30×30。

3 實(shí)驗(yàn)及分析

為了驗(yàn)證SA-EPLL對(duì)沙漠圖像中的隨機(jī)噪聲抑制能力，筆者將其應(yīng)用于合成地震勘探圖像和實(shí)際地震圖像，并與BM3D、EPLL和多尺度EPLL去噪方法進(jìn)行比較。

3.1 合成沙漠地震圖像去噪

筆者利用合成沙漠地震勘探圖像驗(yàn)證空間自適應(yīng)EPLL算法壓制沙漠勘探中隨機(jī)噪聲的能力。所采用的合成沙漠地震圖像如圖2(a)所示，包含5個(gè)同相軸，其幅度從上到下分別設(shè)為[1.8，1.6，1.4，1.2，1，0.8]。通常假設(shè)地震勘探系統(tǒng)為線(xiàn)性系統(tǒng)，噪聲與信號(hào)獨(dú)立，隨機(jī)噪聲為加性噪聲。在合成沙漠圖像中加入模擬的沙漠隨機(jī)噪聲，得到的含噪圖像(圖2(b))的信噪比為-4.2 dB。圖2(c)為從含噪圖像中計(jì)算出的塊信噪比，可見(jiàn)塊信噪比反映了地震信號(hào)強(qiáng)度變換和結(jié)構(gòu)特征。利用塊信噪比調(diào)節(jié)SA-EPLL正則化參數(shù)能夠自適應(yīng)控制非平穩(wěn)圖像去噪強(qiáng)度。

圖2 合成沙漠地震圖像

筆者分別采用BM3D、EPLL、多尺度EPLL、SA-EPLL方法處理合成沙漠地震圖像。EPLL、多尺度EPLL和 SA-EPLL算法均采用步長(zhǎng)為15重疊分塊，圖像塊大小為30×30。在實(shí)驗(yàn)中設(shè)置ε為0.001，經(jīng)多次實(shí)驗(yàn)，表明迭代次數(shù)為6次時(shí)具有好的去噪效果，增加迭代次數(shù)會(huì)導(dǎo)致過(guò)度去噪，引起信號(hào)失真。在實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)相鄰兩次迭代結(jié)果的譜范數(shù)小于ε或者迭代次數(shù)達(dá)到6次時(shí)，停止迭代。

4種方法的濾波結(jié)果如圖3所示。分析濾波結(jié)果可知，在經(jīng)過(guò)BM3D方法、EPLL方法與多尺度EPLL處理之后，仍然殘留著大量的噪聲，尤其在EPLL和多尺度EPLL去噪結(jié)果中噪聲殘留十分明顯。且從濾波結(jié)果和干凈圖像的殘差圖中可以看出，經(jīng)過(guò)BM3D方法、EPLL方法與多尺度EPLL方法去噪后，殘差地震圖像中仍然可以看到同相軸，說(shuō)明這3種方法在濾波同時(shí)造成有效信號(hào)的大量丟失。筆者提出的方法背景更為干凈，沙漠隨機(jī)噪聲去除的更徹底，同相軸也變得更清晰，在殘差圖像中幾乎沒(méi)有有效信號(hào)殘留。由此可知，筆者提出的方法在有效壓制噪聲的同時(shí)，盡可能地保留了非平穩(wěn)地震信號(hào)。

圖3 不同方法去噪結(jié)果及對(duì)應(yīng)殘差圖

為了進(jìn)一步評(píng)估去噪方法，筆者改變模擬噪聲強(qiáng)度加入合成地震勘探圖像，分別使用BM3D、EPLL、多尺度EPLL以及SA-EPLL算法對(duì)其去噪，計(jì)算濾波前后的信噪比(SNR)，由r表示，和均方誤差(MSE)，由e表示

(11)

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式中，X為干凈的合成信號(hào)，Q是地震圖像中的采樣點(diǎn)數(shù)。表1給出了4種方法的信噪比和均方誤差。從表1可以看出，筆者提出的方法獲得最高的信噪比及最小的均方誤差，降噪效果優(yōu)于BM3D、EPLL和多尺度EPLL算法。

表1 不同方法去噪結(jié)果信噪比與均方誤差比較：SNR(dB)/MSE

3.2 實(shí)際沙漠地震圖像去噪

驗(yàn)證筆者提出的方法對(duì)實(shí)際地震勘探圖像的去噪能力，并與BM3D方法、EPLL以及多尺度EPLL方法進(jìn)行比較。所采用的實(shí)際地震勘探圖像來(lái)源于中國(guó)塔里木盆地，包含200道記錄，抽樣頻率為1 000 Hz，道間距20 m，信噪比為-3.29 dB，如圖4所示。從實(shí)際沙漠地震勘探圖像中可以看出，信號(hào)能量隨著時(shí)間的增加而衰減，在直達(dá)波區(qū)域信號(hào)占主導(dǎo)地位，在反射波區(qū)域噪聲逐漸占主導(dǎo)地位。

圖4 實(shí)際沙漠地震圖像

筆者分別采用4種濾波方法對(duì)實(shí)際沙漠地震圖像處理。由圖5可知，BM3D方法對(duì)沙漠噪聲的壓制能力很弱，信號(hào)沒(méi)有被恢復(fù)，信噪比為 2.46 dB。EPLL與多尺度EPLL方法能夠?yàn)V除部分沙漠噪聲，但噪聲殘留明顯，信噪比分別為3.75 dB與4.77 dB。筆者提出的SA-EPLL方法能夠抑制實(shí)際沙漠地震圖像中的大部分沙漠噪聲，信噪比提高到9.18 dB。對(duì)比圖5中的白框區(qū)域發(fā)現(xiàn)，筆者提出的方法在去噪圖像中背景更干凈，有效同相軸變得更光滑，明顯優(yōu)于對(duì)比的方法。

圖5 實(shí)際沙漠地震圖像及不同方法去噪結(jié)果

4 結(jié)束語(yǔ)

筆者提出空間自適應(yīng)EPLL低頻地震隨機(jī)噪聲降噪方法。該方法針對(duì)地震圖像中信號(hào)非平穩(wěn)問(wèn)題，利用圖像塊的統(tǒng)計(jì)特征，控制EPLL算法中的正則化參數(shù)，構(gòu)建了空間自適應(yīng)EPLL算法。該算法實(shí)現(xiàn)了根據(jù)塊信噪比自適應(yīng)控制每個(gè)塊的正則化參數(shù)，調(diào)節(jié)對(duì)每個(gè)塊的去噪強(qiáng)度，進(jìn)而提升塊去噪效果。此外，在重構(gòu)過(guò)程中以塊信噪比對(duì)圖像塊加權(quán)平均，以避免非平穩(wěn)地震信號(hào)的損失。合成和實(shí)際地震圖像去噪結(jié)果表明，筆者提出的空間自適應(yīng)EPLL方法在保留非平穩(wěn)地震信號(hào)和抑制低頻隨機(jī)噪聲方面優(yōu)于其他競(jìng)爭(zhēng)性降噪方法。