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      Alpha穩(wěn)定噪聲中頻移鍵控信號(hào)的聯(lián)合同步估計(jì)

      2021-02-21 01:43:44孫明杰劉永進(jìn)顧金玲
      關(guān)鍵詞:高斯常數(shù)脈沖

      孫明杰,周 林,劉永進(jìn),顧金玲,石 磊

      (1.空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院,陜西 西安 710051;2.中國(guó)人民解放軍93861部隊(duì),陜西 咸陽(yáng) 713800;3.中國(guó)人民解放軍32272部隊(duì),甘肅 蘭州 730060)

      0 引言

      傳統(tǒng)的通信方案中通常都假設(shè)噪聲符合高斯分布;然而,在很多方案中,噪聲通常不符合高斯分布并且具有明顯的脈沖特性。例如,在甚低頻和低頻(VLF/LF)通信和水下通信中,脈沖噪聲廣泛存在,這意味著采樣信號(hào)將會(huì)被嚴(yán)重破壞。在這種情況下,采用高斯噪聲的方法在信號(hào)處理過(guò)程中通常會(huì)得到較差的結(jié)果。根據(jù)文獻(xiàn)[1—3],噪聲采用α均勻穩(wěn)定(SαS)分布建模而不是高斯分布將更有吸引力,這是因?yàn)棣辆鶆蚍€(wěn)定(SαS)分布的概率密度函數(shù)能夠更好地描述脈沖噪聲中的脈沖。

      SαS分布噪聲的通信和信號(hào)處理已成為研究熱點(diǎn)[2-9]。由于SαS分布噪聲廣泛存在于VLF/LF通信中,本文主要對(duì)頻移鍵控(MSK)的聯(lián)合時(shí)間相位同步問(wèn)題進(jìn)行研究[1,10]。顯然,在評(píng)估脈沖噪聲同步算法時(shí),給出同步算法的性能界限是很有必要的[11],然而,目前關(guān)于性能界限的分析并不多。有關(guān)高斯噪聲中的頻移鍵控同步已有研究[12]。在SαS噪聲中,同步算法的基本原則如下:接收到的信號(hào)首先經(jīng)過(guò)非線性抑制噪聲預(yù)處理,然后再利用高斯噪聲的同步算法[2,13]。

      本文推導(dǎo)了關(guān)于頻移鍵控信號(hào)聯(lián)合時(shí)間相位偏移的克拉美羅下限,設(shè)計(jì)了一種最小化克拉美羅下限的最優(yōu)訓(xùn)練序列,提出一種估計(jì)兩個(gè)同步參數(shù)的實(shí)用算法,并進(jìn)行了相關(guān)仿真。

      1 信號(hào)模型

      在VLF/LF通信中,MSK信號(hào)被廣泛采用,噪聲服從α均勻穩(wěn)定(SαS)分布[1,10]。同時(shí),VLF/LF通信信道是頻率衰落信道?;谝阎?xùn)練序列的數(shù)據(jù)輔助同步算法估計(jì)參數(shù)[12],令d{l},l=0,…,L-1,T與Ts分別代表MSK傳輸信號(hào)的訓(xùn)練序列,采樣間隔和符號(hào)周期。接收到的訓(xùn)練序列基帶采樣信號(hào)為[8]:

      (1)

      式(1)中,q(nT)為MSK信號(hào)的相位響應(yīng),當(dāng)0≤nT

      SαS分布有兩個(gè)參數(shù),特征參數(shù)0<α≤2和數(shù)值參數(shù)γ>0[2],α越小,存在的脈沖越多。除特殊個(gè)例,SαS分布沒(méi)有顯式概率密度函數(shù)表達(dá)式。但存在顯式性能函數(shù)[2]φ(ω)=e-γα|ω|α。令υ0,R(n)和υ0,I(n)分別為α和γ。接收信號(hào)的SNR為:

      (2)

      為了方便表示,采用功率標(biāo)準(zhǔn)化接收器模型如下:

      (3)

      式(3)中,p=[p1,p2]T=[τ,θ]T為同步參數(shù)矩陣,υ(n)=υ0(n)/γ歸一化復(fù)基帶SαS噪聲信號(hào)。

      2 同步算法設(shè)計(jì)

      2.1 克拉美羅下限分析

      本節(jié)將主要討論p估計(jì)的CRLB。令向量r=[rn]T=[r(n)]T,s=[sn]T=[s(n,p)]T,e=r-s=[en]T,其中n=0,…N-1,N為接收信號(hào)的采樣數(shù)目。則用來(lái)估計(jì)p的最大似然函數(shù)可以表示為:

      (4)

      根據(jù)噪聲模型,en,R和en,I服從特征參數(shù)α數(shù)值參數(shù)為1 的SαS獨(dú)立同分布,f(·)為en,R和en,I的概率密度函數(shù)。

      另外,p估計(jì)的費(fèi)舍爾信息矩陣(FIM)I(p)∈2×2為[11]:

      (5)

      式(5)中,i,j=1,2;g(x)為SαS分布的評(píng)分函數(shù),表達(dá)式為:

      g(x)=-f′(x)/f(x)

      (6)

      當(dāng)x趨近于無(wú)窮時(shí),概率密度函數(shù)f(x)服從f(x)~(αCα/2)x-α-1,其中,Cα是由α決定的常數(shù)。期望E[g′(en,R)]為:

      (7)

      同樣的,可以得到E[g(en,I)]=0,則:

      (8)

      費(fèi)舍爾信息矩陣可表達(dá)為:

      (9)

      將式(1)中的MSK信號(hào)表達(dá)式代入式(3),[τ,θ]T估計(jì)的CRLB為:

      CRLB{τ}=[I-1(p)]1,1=

      (10)

      CRLB{τ}=[I-1(p)]2,2=

      (11)

      式(10)、式(11)中,κ(α)揭示了參數(shù)α對(duì)CRLB的影響。根據(jù)κ(α)的性質(zhì),當(dāng)α≥1時(shí),隨著α的減小,CRLB基本不變;當(dāng)α<1時(shí),CRLB隨著α的減小迅速減小。同時(shí),大的采樣數(shù)目N,例如,大的過(guò)采樣頻率,導(dǎo)致更小的CRLB。進(jìn)一步,由于CRLB是TS{dl}的函數(shù),可以設(shè)計(jì)最優(yōu)的TS最小化CRLB。顯然,最優(yōu)TS應(yīng)該滿足:

      (12)

      2.2 同步算法流程

      本節(jié)提出一種同步參數(shù)向量p=[τ,θ]T的估計(jì)算法。p的估計(jì)值是下面優(yōu)化問(wèn)題的解:

      (13)

      式(13)中,J(r,p)為成本函數(shù)。最優(yōu)成本函數(shù)可以根據(jù)LLF設(shè)計(jì),然后可以得到MLE。但是由于LLF沒(méi)有閉式形式,因此很難在SαS中得到MLE。為了設(shè)計(jì)一種實(shí)用算法,本文提出一種閉式極大成本函數(shù)。與基于成本函數(shù)的最優(yōu)LLF相比, 極大成本函數(shù)性能近似最優(yōu),并且已經(jīng)用來(lái)設(shè)計(jì)SαS噪聲中的自適應(yīng)濾波器和信號(hào)檢測(cè)[4-5]。極大成本函數(shù)可以表示為如下形式:

      (14)

      根據(jù)文獻(xiàn)[5],極大成本函數(shù)為非凸的,因此可以采用全局搜索方法對(duì)優(yōu)化問(wèn)題式(13)進(jìn)行求解。本文選用一種典型的全局搜索方法—分支定界法[15],向量p的搜索空間首先被分為多個(gè)子空間,對(duì)每一個(gè)子空間,如果包含全局最優(yōu)解,則將該子空間繼續(xù)分割,否則,直接刪掉該子空間。分支定界法的關(guān)鍵在于在子空間中找到成本函數(shù)J(r,p)的邊界。

      已知向量p的搜索空間為矩形區(qū)域,因此,將搜索空間分為小的矩形區(qū)域,小矩形的每個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)向量p。下面介紹在子矩形區(qū)域中推導(dǎo)基于下邊界的Lipschitz常數(shù)的定理。

      令p1和p2代表一組子矩形區(qū)域的對(duì)角,則基于J(r,p)下邊界的Lipschitz常數(shù)滿足

      (15)

      其中Lipschitz常數(shù)C為:

      (16)

      證明:令

      (17)

      在p1和p2為對(duì)角的子矩形區(qū)域中,基于Jn,R(r,p)下邊界的Lipschitz常數(shù)滿足[15]:

      (18)

      式(18)中,Cn,R為對(duì)應(yīng)的Lipschitz常數(shù),等于‖?Jn,R(r,p)/?p‖的上確界[15]。

      (19)

      其中,

      (20)

      在VLF/LF通信方案中,脈沖噪聲的幅度通常要比傳輸信號(hào)的幅度大[9-10]。由此,可得:

      (21)

      最后,可得Cn,R為:

      (22)

      同樣,可得基于J(r,p)下界的Lipschitz常數(shù)

      (23)

      綜上所述,可得基于J(r,p)下邊界的Lipschitz常數(shù)如式(18)所示。

      通過(guò)上述分支定界法,提出的同步算法圖1所示。

      圖1 同步算法流程圖Fig.1 The flow chart of synchronization algorithm

      1) 復(fù)雜度。對(duì)于本文提出的算法,算法復(fù)雜度主要由算法流程和迭代次數(shù)決定。在算法流程圖中,復(fù)雜度主要來(lái)自于極大成本函數(shù)J(r,p)的計(jì)算。J(r,p)在步驟21中需要計(jì)算8次。根據(jù)式(6),J(r,p)的計(jì)算需要4N次加法,2N次乘法和2N次對(duì)數(shù)運(yùn)算。同時(shí),仿真表明算法流程的多次迭代能夠保證所提算法收斂。

      3 仿真驗(yàn)證

      在仿真中采用了點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的VLF/LF通信系統(tǒng),該系統(tǒng)包含了MSK信號(hào)和SαS噪聲。設(shè)置TS中的符號(hào)數(shù)為L(zhǎng)=20,時(shí)偏τTs和載波相位偏移θ分別落在區(qū)間[0,Ts)和[0,2π)。給出在信噪比η下的同步性能。另外,根據(jù)式(12)設(shè)計(jì)了最小化CRLB的最優(yōu)TS。算法1中的結(jié)束點(diǎn)設(shè)置為ε=0.001。

      在SαS噪聲中,已有的同步算法包括基于高斯的非線性預(yù)處理同步方法[2,9]。由于剪切的使用,可以較好處理非線性問(wèn)題[2,13],被稱為基于剪切的同步算法。根據(jù)文獻(xiàn)[12],當(dāng)存在高斯噪聲時(shí),基于高斯的同步算法能夠得到:

      (24)

      圖2對(duì)基于剪切的算法和本文算法的CRLB估計(jì)點(diǎn)進(jìn)行了比較。其中參數(shù)α和過(guò)采樣率Ts/T分別設(shè)置為1.5和10。從圖2可以看出,與基于剪切的算法相比,本文所提算法具有更好的性能,接近CRLB。主要原因是極大成本函數(shù)在SαS噪聲中具有近似最優(yōu)的性能。

      圖2 基于CRLB算法和基于剪切算法的θ(左)和τ(右)的估計(jì)性能比較Fig.2 Comparison of estimated performance (left) and (right) based on CRLB algorithm and shearing algorithm

      圖3展示了在不同估計(jì)誤差Δη和Δα下θ和τ的估計(jì)點(diǎn)。能夠看出,根據(jù)前面ECF方法估計(jì)得到的η和α設(shè)置的估計(jì)誤差Δη和Δα對(duì)所提方法基本沒(méi)影響。

      圖3 不同估計(jì)誤差Δη和Δα下θ和τ的θ(左)和τ(右)的估計(jì)Fig.3 Estimates (left) and (right) of the lower sums of different estimation errors

      4 結(jié)論

      本文提出顯式極大代價(jià)函數(shù)和全局最優(yōu)的實(shí)際同步參數(shù)估計(jì)算法。該算法得到了時(shí)間和載波相位偏移聯(lián)合估計(jì)的CRLB,并設(shè)計(jì)了最優(yōu)TS使得CRLB最小。仿真結(jié)果表明,所提方法性能基本接近CRLB,仿真結(jié)果也證明該方法對(duì)由信噪比和噪聲參數(shù)引起的估計(jì)誤差魯棒。

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