Alpha穩(wěn)定噪聲中頻移鍵控信號(hào)的聯(lián)合同步估計(jì)

孫明杰，周 林，劉永進(jìn)，顧金玲，石 磊

(1.空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院，陜西 西安 710051；2.中國(guó)人民解放軍93861部隊(duì)，陜西 咸陽(yáng) 713800；3.中國(guó)人民解放軍32272部隊(duì)，甘肅 蘭州 730060)

0 引言

傳統(tǒng)的通信方案中通常都假設(shè)噪聲符合高斯分布；然而，在很多方案中，噪聲通常不符合高斯分布并且具有明顯的脈沖特性。例如，在甚低頻和低頻(VLF/LF)通信和水下通信中，脈沖噪聲廣泛存在，這意味著采樣信號(hào)將會(huì)被嚴(yán)重破壞。在這種情況下，采用高斯噪聲的方法在信號(hào)處理過(guò)程中通常會(huì)得到較差的結(jié)果。根據(jù)文獻(xiàn)[1—3]，噪聲采用α均勻穩(wěn)定(SαS)分布建模而不是高斯分布將更有吸引力，這是因?yàn)棣辆鶆蚍€(wěn)定(SαS)分布的概率密度函數(shù)能夠更好地描述脈沖噪聲中的脈沖。

SαS分布噪聲的通信和信號(hào)處理已成為研究熱點(diǎn)[2-9]。由于SαS分布噪聲廣泛存在于VLF/LF通信中，本文主要對(duì)頻移鍵控(MSK)的聯(lián)合時(shí)間相位同步問(wèn)題進(jìn)行研究[1,10]。顯然，在評(píng)估脈沖噪聲同步算法時(shí)，給出同步算法的性能界限是很有必要的[11]，然而，目前關(guān)于性能界限的分析并不多。有關(guān)高斯噪聲中的頻移鍵控同步已有研究[12]。在SαS噪聲中，同步算法的基本原則如下：接收到的信號(hào)首先經(jīng)過(guò)非線性抑制噪聲預(yù)處理，然后再利用高斯噪聲的同步算法[2,13]。

本文推導(dǎo)了關(guān)于頻移鍵控信號(hào)聯(lián)合時(shí)間相位偏移的克拉美羅下限，設(shè)計(jì)了一種最小化克拉美羅下限的最優(yōu)訓(xùn)練序列，提出一種估計(jì)兩個(gè)同步參數(shù)的實(shí)用算法，并進(jìn)行了相關(guān)仿真。

1 信號(hào)模型

在VLF/LF通信中，MSK信號(hào)被廣泛采用，噪聲服從α均勻穩(wěn)定(SαS)分布[1,10]。同時(shí)，VLF/LF通信信道是頻率衰落信道?；谝阎?xùn)練序列的數(shù)據(jù)輔助同步算法估計(jì)參數(shù)[12]，令d{l}，l=0,…,L-1，T與Ts分別代表MSK傳輸信號(hào)的訓(xùn)練序列，采樣間隔和符號(hào)周期。接收到的訓(xùn)練序列基帶采樣信號(hào)為[8]：

(1)

式(1)中，q(nT)為MSK信號(hào)的相位響應(yīng)，當(dāng)0≤nT

SαS分布有兩個(gè)參數(shù)，特征參數(shù)0<α≤2和數(shù)值參數(shù)γ>0[2]，α越小，存在的脈沖越多。除特殊個(gè)例，SαS分布沒(méi)有顯式概率密度函數(shù)表達(dá)式。但存在顯式性能函數(shù)[2]φ(ω)=e-γα|ω|α。令υ0,R(n)和υ0,I(n)分別為α和γ。接收信號(hào)的SNR為：

(2)

為了方便表示，采用功率標(biāo)準(zhǔn)化接收器模型如下：

(3)

式(3)中，p=[p1,p2]T=[τ,θ]T為同步參數(shù)矩陣，υ(n)=υ0(n)/γ歸一化復(fù)基帶SαS噪聲信號(hào)。

2 同步算法設(shè)計(jì)

2.1 克拉美羅下限分析

本節(jié)將主要討論p估計(jì)的CRLB。令向量r=[rn]T=[r(n)]T，s=[sn]T=[s(n,p)]T，e=r-s=[en]T，其中n=0,…N-1，N為接收信號(hào)的采樣數(shù)目。則用來(lái)估計(jì)p的最大似然函數(shù)可以表示為:

(4)

根據(jù)噪聲模型，en,R和en,I服從特征參數(shù)α數(shù)值參數(shù)為1 的SαS獨(dú)立同分布，f(·)為en,R和en,I的概率密度函數(shù)。

另外，p估計(jì)的費(fèi)舍爾信息矩陣(FIM)I(p)∈2×2為[11]：

(5)

式(5)中，i,j=1,2；g(x)為SαS分布的評(píng)分函數(shù)，表達(dá)式為：

g(x)=-f′(x)/f(x)

(6)

當(dāng)x趨近于無(wú)窮時(shí)，概率密度函數(shù)f(x)服從f(x)～(αCα/2)x-α-1，其中，Cα是由α決定的常數(shù)。期望E[g′(en,R)]為：

(7)

同樣的，可以得到E[g(en,I)]=0，則：

(8)

費(fèi)舍爾信息矩陣可表達(dá)為：

(9)

將式(1)中的MSK信號(hào)表達(dá)式代入式(3)，[τ,θ]T估計(jì)的CRLB為：

CRLB{τ}=[I-1(p)]1,1=

(10)

CRLB{τ}=[I-1(p)]2,2=

(11)

式(10)、式(11)中，κ(α)揭示了參數(shù)α對(duì)CRLB的影響。根據(jù)κ(α)的性質(zhì)，當(dāng)α≥1時(shí)，隨著α的減小，CRLB基本不變；當(dāng)α<1時(shí)，CRLB隨著α的減小迅速減小。同時(shí)，大的采樣數(shù)目N，例如，大的過(guò)采樣頻率，導(dǎo)致更小的CRLB。進(jìn)一步，由于CRLB是TS{dl}的函數(shù)，可以設(shè)計(jì)最優(yōu)的TS最小化CRLB。顯然，最優(yōu)TS應(yīng)該滿足：

(12)

2.2 同步算法流程

本節(jié)提出一種同步參數(shù)向量p=[τ,θ]T的估計(jì)算法。p的估計(jì)值是下面優(yōu)化問(wèn)題的解：

(13)

式(13)中，J(r,p)為成本函數(shù)。最優(yōu)成本函數(shù)可以根據(jù)LLF設(shè)計(jì)，然后可以得到MLE。但是由于LLF沒(méi)有閉式形式，因此很難在SαS中得到MLE。為了設(shè)計(jì)一種實(shí)用算法，本文提出一種閉式極大成本函數(shù)。與基于成本函數(shù)的最優(yōu)LLF相比， 極大成本函數(shù)性能近似最優(yōu)，并且已經(jīng)用來(lái)設(shè)計(jì)SαS噪聲中的自適應(yīng)濾波器和信號(hào)檢測(cè)[4-5]。極大成本函數(shù)可以表示為如下形式：

(14)

根據(jù)文獻(xiàn)[5],極大成本函數(shù)為非凸的，因此可以采用全局搜索方法對(duì)優(yōu)化問(wèn)題式(13)進(jìn)行求解。本文選用一種典型的全局搜索方法—分支定界法[15]，向量p的搜索空間首先被分為多個(gè)子空間，對(duì)每一個(gè)子空間，如果包含全局最優(yōu)解，則將該子空間繼續(xù)分割，否則，直接刪掉該子空間。分支定界法的關(guān)鍵在于在子空間中找到成本函數(shù)J(r,p)的邊界。

已知向量p的搜索空間為矩形區(qū)域，因此，將搜索空間分為小的矩形區(qū)域，小矩形的每個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)向量p。下面介紹在子矩形區(qū)域中推導(dǎo)基于下邊界的Lipschitz常數(shù)的定理。

令p1和p2代表一組子矩形區(qū)域的對(duì)角，則基于J(r,p)下邊界的Lipschitz常數(shù)滿足

(15)

其中Lipschitz常數(shù)C為:

(16)

證明：令

(17)

在p1和p2為對(duì)角的子矩形區(qū)域中，基于Jn,R(r,p)下邊界的Lipschitz常數(shù)滿足[15]：

(18)

式(18)中，Cn,R為對(duì)應(yīng)的Lipschitz常數(shù)，等于‖?Jn,R(r,p)/?p‖的上確界[15]。

(19)

其中,

(20)

在VLF/LF通信方案中，脈沖噪聲的幅度通常要比傳輸信號(hào)的幅度大[9-10]。由此，可得：

(21)

最后，可得Cn,R為:

(22)

同樣，可得基于J(r,p)下界的Lipschitz常數(shù)

(23)

綜上所述，可得基于J(r,p)下邊界的Lipschitz常數(shù)如式(18)所示。

通過(guò)上述分支定界法，提出的同步算法圖1所示。

圖1 同步算法流程圖Fig.1 The flow chart of synchronization algorithm

1) 復(fù)雜度。對(duì)于本文提出的算法，算法復(fù)雜度主要由算法流程和迭代次數(shù)決定。在算法流程圖中，復(fù)雜度主要來(lái)自于極大成本函數(shù)J(r,p)的計(jì)算。J(r,p)在步驟21中需要計(jì)算8次。根據(jù)式(6)，J(r,p)的計(jì)算需要4N次加法，2N次乘法和2N次對(duì)數(shù)運(yùn)算。同時(shí)，仿真表明算法流程的多次迭代能夠保證所提算法收斂。

3 仿真驗(yàn)證

在仿真中采用了點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的VLF/LF通信系統(tǒng)，該系統(tǒng)包含了MSK信號(hào)和SαS噪聲。設(shè)置TS中的符號(hào)數(shù)為L(zhǎng)=20，時(shí)偏τTs和載波相位偏移θ分別落在區(qū)間[0,Ts)和[0,2π)。給出在信噪比η下的同步性能。另外，根據(jù)式(12)設(shè)計(jì)了最小化CRLB的最優(yōu)TS。算法1中的結(jié)束點(diǎn)設(shè)置為ε=0.001。

在SαS噪聲中，已有的同步算法包括基于高斯的非線性預(yù)處理同步方法[2,9]。由于剪切的使用，可以較好處理非線性問(wèn)題[2,13]，被稱為基于剪切的同步算法。根據(jù)文獻(xiàn)[12]，當(dāng)存在高斯噪聲時(shí)，基于高斯的同步算法能夠得到：

(24)

圖2對(duì)基于剪切的算法和本文算法的CRLB估計(jì)點(diǎn)進(jìn)行了比較。其中參數(shù)α和過(guò)采樣率Ts/T分別設(shè)置為1.5和10。從圖2可以看出，與基于剪切的算法相比，本文所提算法具有更好的性能，接近CRLB。主要原因是極大成本函數(shù)在SαS噪聲中具有近似最優(yōu)的性能。

圖2 基于CRLB算法和基于剪切算法的θ(左)和τ(右)的估計(jì)性能比較Fig.2 Comparison of estimated performance (left) and (right) based on CRLB algorithm and shearing algorithm

圖3展示了在不同估計(jì)誤差Δη和Δα下θ和τ的估計(jì)點(diǎn)。能夠看出，根據(jù)前面ECF方法估計(jì)得到的η和α設(shè)置的估計(jì)誤差Δη和Δα對(duì)所提方法基本沒(méi)影響。

圖3 不同估計(jì)誤差Δη和Δα下θ和τ的θ(左)和τ(右)的估計(jì)Fig.3 Estimates (left) and (right) of the lower sums of different estimation errors

4 結(jié)論

本文提出顯式極大代價(jià)函數(shù)和全局最優(yōu)的實(shí)際同步參數(shù)估計(jì)算法。該算法得到了時(shí)間和載波相位偏移聯(lián)合估計(jì)的CRLB，并設(shè)計(jì)了最優(yōu)TS使得CRLB最小。仿真結(jié)果表明，所提方法性能基本接近CRLB，仿真結(jié)果也證明該方法對(duì)由信噪比和噪聲參數(shù)引起的估計(jì)誤差魯棒。