基于弦振動的混沌實驗裝置研制

丁格曼 徐頌華 林墁烔 葉文超 劉家豪 謝翠婷

(華南師范大學物理與電信工程學院 廣東 廣州 510006)

混沌現(xiàn)象起源于非線性系統(tǒng)對初始條件的敏感依賴性，是由確定性方程描述的簡單系統(tǒng)出現(xiàn)極為復雜的貌似隨機的無規(guī)則運動現(xiàn)象.本裝置從混沌動力學理論出發(fā)，制作弦振動混沌實驗裝置，利用NI myDAQ數(shù)據(jù)采集卡和虛擬儀器處理系統(tǒng)，可直觀地觀察和研究弦線振動由混沌運動向周期有序運動相互轉(zhuǎn)換的過程，并通過Matlab對實驗結(jié)果進行仿真驗證.

1 實驗原理

1.1 振動源帶動弦線實驗中的混沌現(xiàn)象及理論分析

在弦振動實驗弦線前加上振動源，當弦線和振動源的連接點調(diào)整到接近駐波波節(jié)處時，振動系統(tǒng)會形成混沌現(xiàn)象.這種不穩(wěn)定振蕩正是振動源振動端的非線性振動所引起的，此時振動源振動端處于不規(guī)則周期運動狀態(tài)或混沌狀態(tài)，進而把整個振動系統(tǒng)帶入不穩(wěn)定振動狀態(tài)[1].

如圖1所示，選定弦線固定端點(反射處)為坐標原點x=0，當有阻尼力時，沿x軸反向(即遠離振動源方向)駐波振幅不斷衰減，距離越大衰減越快.實驗中弦線的阻尼小，因此采用弦線作為實驗材料，則形成的弦線駐波方程為[2]

圖1 實驗振動裝置原理圖

(1)

其中弦線長度

(2)

針對振片振動情況進行研究，本實驗中振片受振動儀驅(qū)動力F驅(qū)、振片恢復力F恢和弦線張力T.在上述力的共同作用下進行運動，可得振片的運動狀態(tài)為

(3)

其中m為振片振動時的有效質(zhì)量；F恢=-ky；F驅(qū)=Focosωt；Ty為弦線張力T的橫向分量，即Ty=Tsinθ，θ是振動源與弦線連接處弦線的切線角，如圖2所示.

圖2 弦線張力分解圖

根據(jù)圖2分析可知，xL處弦線張力的分量Ty對振片振動有作用，而Tx分量并沒有作用，因此式(3)中僅含有Ty.切線角θ可通過弦線振動方程來求解，利用式(3)進行分析可知θ滿足[2]

(4)

故式(3)可改寫為

(5)

其中，y為振片縱向位移；k是振片恢復系數(shù)；γ為主要由自身阻尼和弦線張力垂直分量決定的阻尼系數(shù)；T是弦線張力；ω為振片振動圓頻率.上式就是能產(chǎn)生混沌運動的非線性運動方程.

1.2 駐波實驗非線性系統(tǒng)運動的數(shù)值分析及仿真

在LabVIEW中內(nèi)嵌數(shù)值模擬部分，即可將實驗結(jié)果與理論模型進行對比.為了簡化計算又不失規(guī)律性，將式(5)轉(zhuǎn)化成了無量綱標準型[3]

(6)

其中做了變化，令

當系統(tǒng)振動起來后，振動儀的驅(qū)動力頻率與振動系統(tǒng)的固有頻率相同，因此式(6)中取a=1.另外根據(jù)實驗的具體情況，不失一般性地取電磁鐵驅(qū)動力因子d=0.8,弦線張力因子c=1.0，p=0.637.選擇初始條件(X0，Y0)改變β，對式(6)進行數(shù)值模擬研究，從而可得到相圖和波形時域圖，依此來判斷混沌現(xiàn)象的發(fā)生[4].

根據(jù)系統(tǒng)參數(shù)a,b,c,d,p,q和初始條件(X0，Y0)的不同情況，利用Matlab對式(6)進行數(shù)值模擬研究，得到振動系統(tǒng)的相圖和時域圖，由此判斷系統(tǒng)的振動狀態(tài).

根據(jù)實驗的具體情況，不失一般性地取(b,c,d)=(0.3,1.0,0.5),對β在(0，1)范圍內(nèi)，不同數(shù)值進行數(shù)值模擬(X0，Y0)=(0.01，0.05)，得到相圖和時域圖如圖3所示.結(jié)果表明：

(1)β處在(0.22,0.77)范圍時，系統(tǒng)振動接近穩(wěn)定狀態(tài)；β處在(0.18,0.21)或(0.78,0.81)范圍時，系統(tǒng)振動接近混沌狀態(tài).

(2)系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)時，時域圖接近于正弦波，相圖呈現(xiàn)出單個圓形的形狀.

(3)系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)時，時域圖呈現(xiàn)表面不規(guī)律，實際有規(guī)律可循的波形，相圖出現(xiàn)帶“雙吸引子”的雙圓形狀.

(a) β=0.4時，系統(tǒng)時域圖與相圖

(b) β=0.2時，系統(tǒng)時域圖與相圖

2 混沌實驗裝置設(shè)計

混沌實驗裝置主要包括非線性振動平臺、電子裝置與電路系統(tǒng)、數(shù)據(jù)采集處理系統(tǒng)3部分.

2.1 非線性振動平臺

如圖4所示，非線性振動平臺主要包括振動源,金屬薄片,弦線,駐波顯示屏,彈簧測力計,電渦流傳感器,尺子等.FD-SWE-Ⅱ弦線上駐波實驗儀提供可調(diào)節(jié)式振源.在振動儀前端延伸固定一個具有較好彈性和小阻尼力的薄金屬振片，在金屬薄片的一側(cè)設(shè)置一個電渦流傳感器探頭，在振片內(nèi)部產(chǎn)生電渦流，完成振幅非接觸測量的電信號實時轉(zhuǎn)換.薄片的另一端連接弦線穿過一個駐波顯示屏(中間帶有一小孔的平面板)，可控制機械波的反射位置并對駐波波節(jié)的位置進行測量.穿過小孔再連接一個彈簧測力計，彈簧測力計固定一個螺旋管穿過木板用螺絲固定，能方便控制弦線張力的大小和連續(xù)變化.當條件滿足混沌振動時，振片與弦線連接處就會進入混沌振動，從而實現(xiàn)直觀和定量測量.

A-振動源;B-金屬薄片;C-弦線;D-駐波顯示屏;E-彈簧測力計;F-電渦流傳感器;G-尺子

圖4 非線性振動平臺實驗裝置圖

2.2 電子裝置和電路系統(tǒng)

裝置的電子電路部分包括直流穩(wěn)壓電源、電渦

流傳感器、NI myDAQ數(shù)據(jù)采集卡等.直流穩(wěn)壓電源負責輸送-24 V電壓供數(shù)據(jù)采集器使用.弦線振幅的變化由振動源前端金屬振片反映，隨后將轉(zhuǎn)換成的電信號輸出到數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)中.采集的信號數(shù)據(jù)經(jīng)過A/D轉(zhuǎn)換，再送入計算機進行處理.具體實現(xiàn)過程為：

(1)將電渦流傳感器靠近振動中的銅線.

(2)電渦流傳感器感應(yīng)到銅線振動后，輸出電信號給數(shù)據(jù)采集器電路.

(3)數(shù)據(jù)采集器將電信號經(jīng)過處理后產(chǎn)生模擬信號，傳遞到LabVIEW數(shù)據(jù)采集卡NI myDAQ中進行處理.

(4)NI myDAQ數(shù)據(jù)采集卡將模擬信號轉(zhuǎn)化為數(shù)字信號，經(jīng)過放大濾波后傳輸?shù)接嬎銠C.

2.3 數(shù)據(jù)采集處理系統(tǒng)

利用LabVIEW軟件平臺，開發(fā)數(shù)據(jù)采集與處理的虛擬儀器，在此虛擬儀器中完成對實驗參數(shù)的輸入、實驗數(shù)據(jù)采集、實驗數(shù)據(jù)處理、實驗結(jié)果實時展示等功能.其主要程序設(shè)計框圖如圖5所示.

圖5 LabVIEW程序設(shè)計框圖

3 實驗觀察及數(shù)據(jù)記錄處理

3.1 實驗操作

實驗前，先調(diào)節(jié)駐波振動上弦線位置，使其與實驗平臺保持水平，調(diào)節(jié)彈簧測力計示數(shù)以改變弦線張力，接通駐波振動儀；再打開電子裝置控制開關(guān)，此時輸出端與數(shù)據(jù)采集卡端口連接，數(shù)據(jù)采集卡另一端口接地，USB端口與電腦連接，隨后啟動LabVIEW軟件相關(guān)程序及MALATB仿真程序，輸入相關(guān)參數(shù)后即可開始實驗[5].

以固定頻率改變拉力為例，實驗操作主要為：

(2)繼續(xù)微調(diào)駐波屏位置，觀察此時顯示弦線狀態(tài)的相圖和時域圖,當相圖出現(xiàn)帶“吸引子”雙圓時，記錄此時振動狀態(tài)及駐波顯示屏的位置L.

(3)繼續(xù)移動駐波顯示屏位置，當弦線連接端處于波腹位置附近時，觀察時域圖與相圖，當相圖出現(xiàn)單圓時，記錄此時振動狀態(tài)及駐波顯示屏的位置L′.

(5)改變拉力大小T，重復以上步驟.

固定拉力大小T不變，改變頻率，觀察相應(yīng)時域圖與相圖，方法類似故不在此詳述.

3.2 實驗數(shù)據(jù)記錄

通過上述操作，即固定頻率改變拉力，數(shù)據(jù)記錄如表1所示.

表1 固定頻率f,改變拉力T實驗數(shù)據(jù)記錄表

3.3 實驗結(jié)果與觀察

實驗過程中，虛擬儀器界面可實時顯示駐波顯示振片處的振動狀態(tài)時域圖及相圖，其中固定頻率改變拉力過程中，可觀察隨著β值的改變，弦振動狀態(tài)從混沌狀態(tài)到穩(wěn)定狀態(tài)的改變過程，如圖6所示.

(a) f=128 Hz,T=1.20 N,β=0.20,時域圖及相圖

(b) f=128 Hz,T=1.20 N,β=0.56,時域圖及相圖

(c) f=128 Hz,T=1.40 N,β=0.18,時域圖及相圖

(d) f=128 Hz,T=1.40 N,β=0.48,時域圖及相圖

4 結(jié)論

本實驗根據(jù)弦線非線性振動理論，結(jié)合硬件及軟件設(shè)計兩方面，構(gòu)建了一套學習和分析該系統(tǒng)中混沌現(xiàn)象的方案，能直觀地觀察和定量研究該系統(tǒng)由混沌運動向周期有序運動相互轉(zhuǎn)換的過程.當弦線和連接點調(diào)整到接近駐波波腹處，弦線處于穩(wěn)定的振動狀態(tài)，而調(diào)節(jié)到接近駐波波節(jié)處時，振動系統(tǒng)處于不穩(wěn)定運動狀態(tài).實驗中β值在(0.18，0.21)或(0.78，0.81)范圍時形成了混沌現(xiàn)象，此時系統(tǒng)的運動過程對初值的依賴性十分敏感.實驗裝置混沌現(xiàn)象的理論模型和實測數(shù)據(jù)及實時觀察的混沌現(xiàn)象比較吻合.