玻色子體系的Bogoliubov變換*

白伊秀，胡 潔

（首都師范大學(xué)物理系，北京 100048）

0 引 言

在量子力學(xué)中［1］，算符在不同表象中有不同的表現(xiàn)形式.當(dāng)用矩陣表示算符時(shí)，如果取本征矢為基矢時(shí)，此算符矩陣為對(duì)角矩陣，當(dāng)算符處于自身表象時(shí)，很多問(wèn)題處理起來(lái)比較方便，如分析準(zhǔn)粒子能譜、計(jì)算單分量玻色超流體系中的衰變率等［2-3］.因此，需要將研究體系中的算符對(duì)角化到本征態(tài)下，對(duì)角化算符的過(guò)程稱(chēng)為幺正變換.在冷原子體系中，當(dāng)研究低能物理中的玻色-愛(ài)因斯坦凝聚［4-6］、超流［4］和巴丁-庫(kù)柏-徐瑞弗（Bardeen-Cooper-Schrieffer，BCS）超導(dǎo)態(tài)［7-9］時(shí)，需要做 Bogoliubov變換［10-12］，使其從粒子數(shù)表象變成準(zhǔn)粒子表象，而B(niǎo)ogoliubov變換的本質(zhì)就是對(duì)角化平均場(chǎng)近似下的體系哈密頓量.進(jìn)行Bogoliubov變換時(shí)需要考慮體系中的粒子是玻色子還是費(fèi)米子，如果體系中的粒子為費(fèi)米子，則哈密頓量的對(duì)角化按正常的幺正變換進(jìn)行操作，但是若為玻色子，則不能做哈密頓量的幺正變換，即量子力學(xué)中的幺正變換只適用于費(fèi)米子體系，而不適用于玻色子體系，其根本原因在于幺正變換是一個(gè)三角變換(sin2θ+cos2θ=1)，滿足反對(duì)易關(guān)系，而玻色子對(duì)角化是雙曲變換(cosh2θsinh2θ=1)，需滿足對(duì)易關(guān)系，因此，不能直接用幺正變換，通?？梢赃x擇代數(shù)方法，在滿足玻色子對(duì)易關(guān)系的條件下對(duì)角化哈密頓量，但是由于計(jì)算的復(fù)雜性，代數(shù)方法不利于推廣到高維哈密頓量體系，因此，本文研究如何在玻色子體系中通過(guò)矩陣變換實(shí)現(xiàn)Bogoliubov變換.

1 費(fèi)米子體系Bogoliubov變換

在研究玻色子體系之前，首先考慮一個(gè)自旋1/2、相互作用為接觸勢(shì)能的費(fèi)米子體系，其二次量子化之后的哈密頓量為［13-15］

在Nambu表象中用矩陣表示此哈密頓量為

2 玻色子體系Bogoliubov變換

為了研究玻色子體系如何做Bogoliubov變換從而得到超流，考慮自旋為0、相互作用為接觸勢(shì)能的玻色子體系，其二次量子化之后的哈密頓量為［14］

在Nambu表象下得

需要通過(guò)做Bogoliubov變換尋找本征表象，并且在本征表象下，哈密頓量矩陣是對(duì)角的.首先，按照費(fèi)米子對(duì)角化的方式，嘗試玻色子體系是否可以實(shí)現(xiàn)Bogoliubov變換，從而對(duì)角化玻色子哈密頓量.假設(shè)玻色子準(zhǔn)粒子算符為k，變換矩陣為，則準(zhǔn)粒子表象下的算符及哈密頓量與粒子數(shù)表象下的算符及哈密頓量的關(guān)系為準(zhǔn)粒子算符需滿足玻色子對(duì)易關(guān)系，即.但通過(guò)計(jì) 算式（26）可 知，，即用幺正變換來(lái)對(duì)角化無(wú)法滿足玻色子對(duì)易關(guān)系.因此，通過(guò)幺正變換對(duì)玻色子體系做Bogoliubov變換的方法是不正確的.

通?？梢杂么鷶?shù)的方法，假設(shè)變換矩陣是普適的，在滿足玻色子準(zhǔn)粒子對(duì)易關(guān)系的情況下計(jì)算出每個(gè)矩陣元，但是當(dāng)考慮高維玻色子體系時(shí)，如討論自旋為1的玻色子時(shí)，需要對(duì)角化的是6×6的矩陣，若用代數(shù)方法對(duì)角化哈密頓量存在計(jì)算的復(fù)雜性.因此，需要找到可行的哈密頓量矩陣對(duì)角化方法，來(lái)實(shí)現(xiàn)Bogoliubov變換.本文構(gòu)造如何對(duì)玻色子體系做矩陣變換來(lái)實(shí)現(xiàn)Bogoliubov變換.

Ek,α對(duì)應(yīng)的本征態(tài)為2，代表2個(gè)不同的本征態(tài)，而本征態(tài)的歸一化關(guān)系為：

按照此歸一化條件計(jì)算出本征態(tài)為

通過(guò)此變換矩陣不僅得到正確的超流能譜，還滿足玻色子對(duì)易關(guān)系，并且對(duì)角化體系的哈密頓量.此方法還可以推廣到高維體系，只需在Bk的偶數(shù)行乘以-1，得到新的哈密頓量′，再解′的久期方程，計(jì)算本征態(tài)時(shí)，本征值為正的本征態(tài)滿足式（29）的歸一化關(guān)系，本征值為負(fù)的本征態(tài)滿足式（30）的歸一化關(guān)系.

3 結(jié) 論

量子力學(xué)中幺正變換對(duì)角化哈密頓量得到的變換矩陣滿足反對(duì)易關(guān)系，因此，適用于費(fèi)米子體系.然而玻色子滿足對(duì)易關(guān)系，幺正變換已不再適用.因此，本文研究了玻色子體系哈密頓量的對(duì)角化問(wèn)題，為了滿足對(duì)易關(guān)系，需要將哈密頓量的偶數(shù)行乘以-1，再計(jì)算久期方程，本征態(tài)的歸一化條件也因本征值的正負(fù)不同而不同，最后將得到的本征態(tài)組成變換矩陣，而這個(gè)變換矩陣即可完成玻色子體系的Bogoliubov變換.需要說(shuō)明的是，得到此變換矩陣的方法可以推廣到高維體系，從而解決代數(shù)方法計(jì)算的復(fù)雜性.