淺談高考改革背景下數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

廖志文倩

摘要：隨著新課改的深入與發(fā)展，數(shù)形結(jié)合已經(jīng)成為推動數(shù)學(xué)發(fā)展的重要途徑，數(shù)形結(jié)合是一種研究性學(xué)習(xí)，是學(xué)理方法的重要理論。數(shù)形結(jié)合不僅能精確地解決抽象的數(shù)學(xué)問題，使其簡化，而且在解決高中數(shù)學(xué)中具有重要意義。數(shù)形結(jié)合不僅能使學(xué)生有效地理解知識，提高數(shù)學(xué)成績，拓寬解題思路，還能促進(jìn)高中數(shù)學(xué)教育的快速發(fā)展。本論文對高中數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用進(jìn)行分析與研究，探索促進(jìn)高中數(shù)學(xué)發(fā)展的新途徑。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);數(shù)形結(jié)合;解題

引言

數(shù)形結(jié)合有助于消隱和判斷問題的解決。利用數(shù)與圖的結(jié)合，可直觀地看到數(shù)與圖的各種關(guān)系，便于定量分析，使解題思路更清晰。所以，采用數(shù)形結(jié)合的方法來解決問題，可以方便快捷地得到最終答案。

一、數(shù)形結(jié)合在集合問題中的應(yīng)用

對于集合問題，其數(shù)值組合的思想方法與集合的應(yīng)用是一個集合問題，即使是簡單的數(shù)組，如果每個集合很簡單，答案就是計(jì)算范圍，如果先計(jì)算重積分，就會出現(xiàn)這個范圍，有可能發(fā)生重疊，反之，則有可能回答計(jì)算錯誤而無法計(jì)算根。然而，如果使用數(shù)形結(jié)合，計(jì)算就會比較簡單。在這些操作中，venn圖是最常見的。

二、數(shù)形結(jié)合在代數(shù)類題目中的應(yīng)用

2.1函數(shù)解題。

函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中非常重要。尋找合適的解決這類問題的思路對最終的結(jié)果是至關(guān)重要的。函數(shù)本身的三要素是定義域、范圍和對應(yīng)律，它們決定一個函數(shù)的所有性質(zhì)。這樣就可以根據(jù)因變量的變化趨勢創(chuàng)建坐標(biāo)系的圖像。三個主要的函數(shù)元素和它們的圖象，都和數(shù)學(xué)中的兩個基本素?cái)?shù)完全一致。所以數(shù)形結(jié)合思想是應(yīng)用最為廣泛的函數(shù)問題。此外，即使在普通的高考中，數(shù)形結(jié)合也是一個比較容易思考的問題概念，使用頻率也比較高。

第一，在判斷函數(shù)的單調(diào)性問題中，可以通過線追蹤一眼看到圖象的過渡，即能立即看到增減區(qū)間。反比例函數(shù)的各種變體就是一個典型的例子，它把常數(shù)從原函數(shù)中分離出來，最終排除分子中的未知項(xiàng)。然后，通過前后、上下平行來創(chuàng)建一個圖像。這樣的組合方式比用代數(shù)來證明單調(diào)性要快。

第二，在段函數(shù)問題中，由于段函數(shù)信息量很大，很難掌握函數(shù)的性質(zhì)。在這個時候，通過對函數(shù)圖像進(jìn)行分段，使問題本身得到了適當(dāng)?shù)暮喕兊酶庇^。若這是一個關(guān)于眾數(shù)的填空問題，數(shù)形組合的作用就更大了。利用一幅函數(shù)圖像，一般能識別出最有價(jià)值的函數(shù)段，避免了用代數(shù)方式討論多種情形的麻煩和時間。對于學(xué)生來說，求方程根的個數(shù)是個難題。方程和函數(shù)的關(guān)系在數(shù)學(xué)中非常接近，很自然地就能把方程根的個數(shù)，也就是函數(shù)的像的交點(diǎn)數(shù)，這也是數(shù)形結(jié)合的重要體現(xiàn)。把等號的兩個部分轉(zhuǎn)換為基本函數(shù)，創(chuàng)建每個函數(shù)的圖像，觀察交點(diǎn)，給出答案。用這種難解方程的根數(shù)，大大提高了計(jì)算效率，證明了數(shù)形結(jié)合的復(fù)雜性。數(shù)形結(jié)合思維方法在函數(shù)問題中的應(yīng)用函數(shù)復(fù)雜，線性函數(shù)的計(jì)算不是高中數(shù)學(xué)的二次函數(shù)計(jì)算比較復(fù)雜，所以各種方法不僅是分析法，列表法，而是更為直接的，而且，它帶來了計(jì)算量的諸多變化。特別是在尋找域、眾數(shù)、零點(diǎn)時，要考慮很多東西，根據(jù)情況來商量。此時需要突破傳統(tǒng)的解法，將數(shù)形結(jié)合起來。

2.2求解等式、絕對值、不等式。

方程式題的絕對值是高中數(shù)學(xué)中的一個難點(diǎn)。當(dāng)一個函數(shù)或方程式出現(xiàn)絕對值時，情況就很難理解了。常用的方法是對絕對值內(nèi)部部分進(jìn)行分類討論。不過，對于一些問題，您可以橫向移動絕對值來創(chuàng)建一個絕對值圖像，然后將圖像折疊到x軸下面，然后解決它。隱式化地去除了絕對值，從而達(dá)到簡化數(shù)值連接復(fù)雜性的目的。三角形也是一個復(fù)雜多變的題型，其計(jì)算難度不大，但是計(jì)算量大，很多同學(xué)在解決相關(guān)問題的過程中遇到了很多困難。要重視教學(xué)指導(dǎo)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合回答有關(guān)題型。本文主要應(yīng)用于三角函數(shù)的單位圓的求法，為三角函數(shù)設(shè)計(jì)求三角函數(shù)域，解三角不等式，求單調(diào)區(qū)間，討論諸如方程實(shí)根數(shù)和比較大小等問題，有效地縮短了可理解問題的思維回路，同時進(jìn)一步擴(kuò)展思維回路。將其放置在以不等式所代表的數(shù)軸上，能更直觀地畫出數(shù)字關(guān)系系統(tǒng)，更快地解決問題。簡單易行，計(jì)算量增加了，但是精度卻沒有提高。

隨著新課程標(biāo)準(zhǔn)對課業(yè)的要求，高中數(shù)學(xué)更傾向于進(jìn)一步考慮知識的多變性、嚴(yán)肅性和豐富性，注重培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性和發(fā)散思維。將數(shù)與數(shù)相聯(lián)系，運(yùn)用于高中數(shù)學(xué)問題的求解，有助于學(xué)生理解和解決各種問題。

2.3數(shù)形結(jié)合在幾何中的應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合的思想在代數(shù)問題上的應(yīng)用十分廣泛，但數(shù)形結(jié)合的作用并不局限于此它還是解決幾何問題的好幫手。不同于代數(shù)，幾何題的條件是直覺的圖形，在回答問題的時候，他們根據(jù)一些定理進(jìn)行推理，給出答案。對于復(fù)雜的圖形，條件本身是混雜的，不可能立刻找到方向。此種情況下，通常的數(shù)形結(jié)合方法是建立坐標(biāo)系，把每個頂點(diǎn)都賦予坐標(biāo)，把線段轉(zhuǎn)換成矢量，圖中各元素的位置關(guān)系用數(shù)量關(guān)系表示。矢量坐標(biāo)計(jì)算起來比較簡單，它提供了一個求解坐標(biāo)的快捷方式。因此，在求線段長度時，可轉(zhuǎn)換為一個求向量的調(diào)制器，在這種情況下，通?？赏ㄟ^矢量的量積變換來求解。對于動點(diǎn)問題，通過設(shè)置未知量，可將其它圖元表示為未知量。此外，從位置關(guān)系導(dǎo)出了數(shù)量關(guān)系、排列方程和不等式。在解決了未知之后，引入了需要的要素并解決了整個問題。數(shù)形結(jié)合思維法應(yīng)用于解析幾何，數(shù)形結(jié)合的思想方法經(jīng)常被用來解決幾何問題，所以一些抽象、復(fù)雜的方法，本能地簡化問題。高學(xué)數(shù)學(xué)中包括幾何在內(nèi)的各種形式都是單純的平面幾何，但更為復(fù)雜和混亂的是三維幾何學(xué)，圓柱、圓錐、三角柱，以及其他各種固體和球。解題過程中，遇到過這樣的問題，老師借用一幅圖來描述表達(dá)式的數(shù)形關(guān)系，并用數(shù)形結(jié)合的思想來解幾何，尤其是立體幾何，不僅是在頭腦中想象出不同角度圖形的最笨拙的方法，而且在解決問題時也是非常不利的。

2.4數(shù)形結(jié)合幾種題型的差異

上述幾種主要問題都是數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用。但如果將它們進(jìn)行比較，你會發(fā)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合在代數(shù)問題上更多的應(yīng)用，而且函數(shù)本身也有對應(yīng)的圖像，所以很容易連接到數(shù)形結(jié)合。其中方程、不等式、絕對值與函數(shù)關(guān)系密切，數(shù)形結(jié)合是一種通用的數(shù)學(xué)思想。有關(guān)幾何問題的方法還比較局限于圖象本身，真正需要運(yùn)算的形式組合數(shù)的情況很少，有時以輔助數(shù)的形式進(jìn)行節(jié)奏處理。所以在使用數(shù)形結(jié)合時，只能根據(jù)實(shí)際情況選擇，具體分析，找出正確的方法，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合。

結(jié)語

綜上所述，數(shù)形結(jié)合在解題中無疑是必不可少的。它是一種重要的數(shù)學(xué)思想，在許多問題中都有體現(xiàn)。身為高中生，要了解、學(xué)習(xí)、掌握這種方法。數(shù)形化的優(yōu)點(diǎn)不僅能提高解題效率和答卷率，而且能激發(fā)數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)數(shù)學(xué)背景。孩子們不但最終會得到正確的答案，而且還會通過提高分析問題的能力和找到最好的解決方法來激發(fā)對數(shù)學(xué)的興趣。

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