基于等維新息灰色馬爾科夫的地鐵客流量預(yù)測*

路 倩,王亞飛,楊 玲，白 鑫

(1.首都經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué) 管理工程學(xué)院，北京 100070； 2.北京城市系統(tǒng)工程研究中心，北京 100035)

0 引言

目前，我國地鐵建設(shè)已步入快速發(fā)展階段，較多城市開通了地鐵(包括輕軌)。據(jù)有關(guān)部門統(tǒng)計，2019年國內(nèi)各大城市地鐵建設(shè)總里程約4 600 km，是10 a前地鐵建設(shè)里程的4倍[1]。因舒適性高、運(yùn)載量大、速度快且受天氣影響較小等優(yōu)勢，地鐵成了城市軌道交通網(wǎng)絡(luò)中發(fā)展最為迅速的交通方式[2]。越來越多的人們選擇地鐵作為出行工具，但有限的地鐵車站和站內(nèi)容量與日益增大的客流量相互矛盾，地鐵人群擁擠并采取限時管制措施已成為地鐵車站常態(tài)[3]。而且地鐵車站通常設(shè)于地下空間，與其他交通工具所處的外部空間相比相對狹小，通道、安全出口的設(shè)置有限，如果發(fā)生突發(fā)事件極易發(fā)生擁擠與踩踏，甚至引起人群恐慌從而導(dǎo)致二次事故的形成[4]。因此對地鐵客流量進(jìn)行預(yù)測，掌握一定時期的客流數(shù)量和客流變化規(guī)律，對地鐵站的運(yùn)營管理及保障公共安全具有重要意義。

國內(nèi)外學(xué)者對軌道交通客流預(yù)測已經(jīng)進(jìn)行大量研究，四階段預(yù)測法、灰色模型、回歸模型、SVM支持向量機(jī)等均為應(yīng)用較廣泛的預(yù)測方法[5]。Girish等[6]運(yùn)用深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對地鐵客流進(jìn)行預(yù)測，得出性能優(yōu)于傳統(tǒng)的客流出行需求預(yù)測模型的結(jié)論；Roos等[7]通過改進(jìn)期望最大化算法降維，學(xué)習(xí)動態(tài)貝葉斯參數(shù)和方法進(jìn)行預(yù)測，預(yù)測效果令人滿意，但面對突變客流時預(yù)測效果欠佳；Liu等[8]將改進(jìn)優(yōu)化粒子群算法與最小二乘支持向量機(jī)相結(jié)合，同時加入purning算法進(jìn)行客流預(yù)測，得出此方法預(yù)測小樣本非線性數(shù)據(jù)效果良好；葉紅霞[9]引用非集計模型分析突發(fā)事件下乘客出行行為特征，建立突發(fā)事件情境下的客流分步預(yù)測算法；劉先超等[10]利用Eviews軟件確定時間序列模型參數(shù)，建立較為理想的SARIMA模型，并以青島3號線客流為基礎(chǔ)進(jìn)行驗證；王茁等[11]引用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對軌道交通日客流總量進(jìn)行預(yù)測，預(yù)測計算精度達(dá)到87.3%，但僅適用于軌道交通開通初期的客流預(yù)測；仇建華等[12]以軌道交通突發(fā)客流量為研究對象，引用基于貝葉斯稀疏理論的相關(guān)向量機(jī)模型進(jìn)行預(yù)測，得出模型經(jīng)優(yōu)化后其泛化能力更強(qiáng)，能夠精準(zhǔn)預(yù)測的結(jié)論。

關(guān)于地鐵客流預(yù)測方面，國內(nèi)外學(xué)者所取得的成果較豐富。但是，多數(shù)預(yù)測方法需要大量原始樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行長時間的訓(xùn)練和優(yōu)化處理，得出的結(jié)果才能令人滿意，對于波動數(shù)據(jù)的預(yù)測能力普遍較弱。為解決此問題，本文提出等維新息灰色GM(1,1)模型與馬爾科夫理論相結(jié)合的地鐵客流組合預(yù)測模型，結(jié)合所需樣本少和對波動大的數(shù)據(jù)精準(zhǔn)預(yù)測2種特點，以期為相關(guān)單位了解地鐵客流趨勢和采取管控措施等提供參考。

1 組合預(yù)測模型的構(gòu)建

1.1 灰色GM(1,1)建模過程

設(shè)X(0)為由n個數(shù)據(jù)組成的非負(fù)原始數(shù)據(jù)序列，X(0)={x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(k),…,x(0)(n)}。

在進(jìn)行預(yù)測之前需要對數(shù)據(jù)序列進(jìn)行檢驗處理，確定是否滿足建立灰色預(yù)測模型的條件。通常用數(shù)列的級比σ(0)(k)(k=1,2,…,n)的大小與所屬區(qū)間的對應(yīng)程度來檢驗是否符合建模要求，如式(1)所示：

(1)

式中：n為數(shù)據(jù)個數(shù)。

1)對原始數(shù)列進(jìn)行一階累加生成，弱化數(shù)據(jù)的波動性和隨機(jī)性，形成新的數(shù)據(jù)序列X(1)(k)={x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n)}。其中x(1)(k)計算如式(2)所示：

(2)

式中：i為原始數(shù)據(jù)序列的位數(shù)；k為新數(shù)據(jù)數(shù)列的位數(shù)。

2)新生成序列近似服從指數(shù)規(guī)律，對其建立預(yù)測模型，如式(3)所示：

(3)

式中：a為模型的發(fā)展系數(shù)，反映X(1)以及X(0)的變化趨勢；u為模型的灰作用量，反映數(shù)據(jù)之間的變化關(guān)系。

3)引入數(shù)據(jù)矩陣B,Yn,運(yùn)用最小二乘估計一階線性微分方程的待估參數(shù)a,u，如式(4)所示：

(4)

(5)

5)累減還原得式(6)：

(6)

1.2 等維新息灰色GM(1,1)模型預(yù)測原理

等維新息灰色GM(1,1)模型是將原始數(shù)據(jù)序列經(jīng)過灰色預(yù)測得到1個預(yù)測值x(0)(n+1)，將得到的預(yù)測值加入原始數(shù)據(jù)序列最后，摘除原始數(shù)據(jù)序列的第1個數(shù)值x(0)(1)，總體保持?jǐn)?shù)據(jù)序列{x(0)(2),x(0)(3),…,x(0)(n+1)}的數(shù)據(jù)個數(shù)不變，運(yùn)用組成的新數(shù)據(jù)序列進(jìn)行GM(1,1)模型，得出預(yù)測值的下一個值。如此不斷地加入新數(shù)據(jù)，刪除舊數(shù)據(jù)，直到完成預(yù)測目標(biāo)為止[13]。等維新息灰色預(yù)測模型流程如圖1所示。

圖1 預(yù)測流程Fig.1 Prediction flow chart

一般來說，在等維新息灰色GM(1,1)預(yù)測模型中，原始數(shù)據(jù)序列的數(shù)據(jù)個數(shù)不能少于4[14]。在實際建模過程中，也需要考量模型的精度和實現(xiàn)效果來確定原始數(shù)據(jù)的使用個數(shù)，并非所有的原始數(shù)據(jù)均使用效果最好。

1.3 模型精度檢驗

1)后驗差比值檢驗

殘差序列如式(7)所示：

(7)

殘差序列均值計算如式(8)所示：

(8)

相對誤差計算如式(9)所示：

(9)

平均相對誤差計算如式(10)所示：

(10)

方差比計算如式(11)所示：

(11)

2)小概率誤差檢驗

小概率誤差計算如式(12)所示：

(12)

一般情況下，將模型精度劃分為4個等級，具體各指標(biāo)見表1[15]，表1中3個精度指標(biāo)若有1個不滿足當(dāng)前精度等級即視為預(yù)測精度未達(dá)到當(dāng)前等級。

表1 模型精度等級劃分Table 1 Classification of model accuracy

1.4 馬爾科夫模型修正過程

當(dāng)建立的模型精度經(jīng)檢驗不合格時，需要考慮對原模型進(jìn)行修正，從而提高預(yù)測精度。馬爾科夫模型根據(jù)狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移概率描述過程的變化狀態(tài)[16]。模型步驟如下：

1)狀態(tài)劃分

根據(jù)馬爾科夫鏈，按照等概率原則將數(shù)據(jù)序列分成若干狀態(tài)，任一狀態(tài)區(qū)間可表示為：Em∈[E1m,E2m]，其中，E1m和E2m為狀態(tài)E的上下限。狀態(tài)劃分?jǐn)?shù)量與實際值和預(yù)測值的相對誤差范圍以及樣本的數(shù)量有較大關(guān)系。為提高對波動數(shù)據(jù)修正的有效性，并提高客流預(yù)測精度，本文將狀態(tài)劃分為3個。

2)計算概率，確定狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣

(13)

狀態(tài)概率組成的k步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣如式(14)所示：

(14)

式中：R(k)為由狀態(tài)概率組成的k步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。

若V(0)為初始狀態(tài)Ei的初始向量，則經(jīng)過k步轉(zhuǎn)移之后，狀態(tài)向量V(k)如式(15)所示：

V(k)=V(0)×R(k)

(15)

在實際應(yīng)用中，一般只需考察1步轉(zhuǎn)移概率矩陣R。

3)計算預(yù)測值

馬爾科夫運(yùn)行過程無后效性，假設(shè)預(yù)測對象處于Ek狀態(tài)(k=1,2,…,m)，則只需了解狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣第k行的概率即可，如果在某一行中第i列的轉(zhuǎn)移概率值最大，那么可以認(rèn)為下一時刻預(yù)測對象由Ek狀態(tài)轉(zhuǎn)向Ei狀態(tài)的可能性最大[17]。當(dāng)矩陣中第k行有2個或者2個以上概率相同時，如果第k行為第1行或最后1行，則取靠兩邊的列；如果為中間行，則取靠中間的列[18]。

4)計算修正后的預(yù)測值

預(yù)測對象下一步所處狀態(tài)Ej,其區(qū)間值為[E1j,E2j]，則通過模型預(yù)測值的修正公式如式(16)所示：

(16)

2 實例分析

本文以北京軌道線網(wǎng)日均客運(yùn)量為研究對象，選取2009—2018年全網(wǎng)日均客流量作為原始數(shù)據(jù)序列，數(shù)據(jù)見表2。

表2 2009—2018年北京軌道線網(wǎng)日均客運(yùn)量分布Table 2 Distribution of average daily passenger flow in Beijing rail transit network from 2009 to 2018

2.1 北京地鐵客流量灰色GM(1,1)預(yù)測

2.2 客流量等維新息灰色GM(1,1)預(yù)測

灰色GM(1,1)模型和等維新息灰色GM(1,1)模型的預(yù)測結(jié)果見表3。

表3 灰色GM(1,1)模型和等維新息灰色GM(1,1)模型的預(yù)測結(jié)果Table 3 Prediction results of grey GM(1,1) model and equal dimension and new information grey GM(1,1) model 萬人·次

以上2種預(yù)測模型精度對比結(jié)果見表4。

表4 2種模型的預(yù)測精度對比Table 4 Comparison on prediction accuracies of two models

2.3 預(yù)測結(jié)果馬爾可夫模型修正

將由等維新息灰色GM(1,1)預(yù)測的獲取相對誤差值劃分為3種狀態(tài)，分別記為E1=(0.14%,2.17%)，E2=(-1.90%,0.14%)，E3=(-3.43%,-1.90%)。從以上狀態(tài)分類中可獲得2013—2018年統(tǒng)計范圍的狀態(tài)轉(zhuǎn)移情況，見表5。

表5 狀態(tài)劃分情況Table 5 Status division

由表5可知，E1共出現(xiàn)了3次，E2共出現(xiàn)了2次，E3共出現(xiàn)了1次。根據(jù)式(13)～(14)，1步轉(zhuǎn)移矩陣根據(jù)原始狀態(tài)樣本數(shù)和轉(zhuǎn)移的樣本數(shù)的比值為：

多步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣R(k)=(R)k。

當(dāng)預(yù)測值相對誤差較小時，不需要利用馬爾科夫模型修正(一般小于1%)，故2013年、2017年的預(yù)測值不需要修正。以2014年的預(yù)測值修正為例，計算經(jīng)過灰色等維新息馬爾科夫模型修正后的預(yù)測值，2014年度的預(yù)測誤差處于狀態(tài)E1，按照上述狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率，下一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移位置為E3，則根據(jù)式(16)，修正后的預(yù)測值為：

同理，其他年份的預(yù)測值，可用馬爾科夫修正其他年份的客流量預(yù)測值，修正結(jié)果見表6。

表6 馬爾科夫修正結(jié)果Table 6 Results of Markov correction

圖2 3種模型預(yù)測結(jié)果曲線Fig.2 Curves for prediction results of three models

3種模型的相對誤差對比圖如圖3所示。其中,ε1為灰色GM(1,1)模型進(jìn)行預(yù)測后與原始數(shù)據(jù)的相對誤差；ε2為等維新息灰色GM(1,1)模型進(jìn)行預(yù)測后與原始數(shù)據(jù)的相對誤差；ε3為等維新息灰色馬爾科夫模型預(yù)測后與原始數(shù)據(jù)的相對誤差。對比3種模型的相對誤差，整體來看等維新息灰色馬爾科夫模型表現(xiàn)更好，誤差更小。

圖3 3種模型相對誤差值對比Fig.3 Comparison on relative error values of three models

運(yùn)用等維新息灰色GM(1，1)模型對2019—2021年3 a北京地鐵的全網(wǎng)日均客運(yùn)量進(jìn)行預(yù)測。首先預(yù)測2019年北京地鐵的全網(wǎng)日均客運(yùn)量，根據(jù)馬爾科夫模型的預(yù)測經(jīng)驗，選擇距預(yù)測年份最近的3 a作為預(yù)測基礎(chǔ)年份，根據(jù)各年份的狀態(tài)及轉(zhuǎn)移步數(shù)，得到北京地鐵的全網(wǎng)日均客運(yùn)量的累積轉(zhuǎn)移概率見表7，2016年、2017年和2018年3 a向2019年轉(zhuǎn)變的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率相加，得到的最大數(shù)值是1.56%，處在E1(0.14%,2.17%)的范圍內(nèi)，所以未來1 a最有可能存在于狀態(tài)E1。根據(jù)同樣的方法計算未來2,3 a的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率，從而得出當(dāng)年的客流量值。

表7 2019年北京地鐵的全網(wǎng)日均客運(yùn)量狀態(tài)預(yù)測Table 7 Prediction on status of average daily passenger flow in whole network of Beijing Subway in 2019

表8 2019—2021年全網(wǎng)日均客運(yùn)量預(yù)測值Table 8 Prediction values of average daily passenger flow in whole network from 2019 to 2021 萬人·次

由北京市軌道交通指揮中心提供的數(shù)據(jù)可知2019年日均客運(yùn)量為1 085.58萬人次，可以看出等維新息灰色馬爾科夫預(yù)測值與實際值更為接近，正常情況下未來北京地鐵的全網(wǎng)日均客運(yùn)量仍然會呈現(xiàn)逐年增長的態(tài)勢，可以根據(jù)預(yù)測值來采取管控措施或進(jìn)行資源設(shè)備的合理配置，使地鐵利用率實現(xiàn)最大化。

3 結(jié)論

1)為精準(zhǔn)預(yù)測地鐵客流量，了解地鐵客流的變化趨勢，采用等維新息灰色馬爾科夫模型，對比灰色GM(1，1)、等維新息灰色GM(1，1)2種模型，相對誤差值、后驗差比值和小概率誤差精度的表現(xiàn)均有提高，可以看出等維新息灰色馬爾科夫預(yù)測模型在地鐵客流量預(yù)測方面表現(xiàn)優(yōu)越，對比其他2種方法，預(yù)測精度表現(xiàn)為Ⅰ級(優(yōu))。

2)提出的模型結(jié)合使用樣本數(shù)量少的灰色模型和處理波動數(shù)據(jù)序列能力優(yōu)異的馬爾科夫模型2種模型的特點，運(yùn)用小樣本預(yù)測地鐵全網(wǎng)日均客運(yùn)量，預(yù)測精度更高，預(yù)測曲線具有波動性，更加符合我國歷年來全網(wǎng)日均客運(yùn)量的變化特點。

3)運(yùn)用新模型預(yù)測3 a的客運(yùn)量，發(fā)現(xiàn)未來的客運(yùn)量趨勢仍持續(xù)走高，需要提前采取管控措施應(yīng)對未來的客流增長趨勢，以便保障乘客通行安全和地鐵高效運(yùn)營。

4)等維新息灰色馬爾科夫模型的預(yù)測精度相對其他2種模型預(yù)測精度更高，但波動較大的時間節(jié)點仍存在較大誤差，下一步將考慮對這些誤差較大的時間節(jié)點預(yù)測值進(jìn)行再處理，以達(dá)到更加精準(zhǔn)的效果。