基于EEMD 與HAR-RV 模型的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率研究

（上海理工大學(xué) 管理學(xué)院，上海 200093）

0 引言

金融市場(chǎng)中波動(dòng)率的估計(jì)與預(yù)測(cè)問(wèn)題一直以來(lái)都是金融計(jì)量領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。自從已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率（Realized Volatility，RV）概念被提出后，Andersen 等［1］首次提出使用高頻數(shù)據(jù)作為一種全新的波動(dòng)率度量方法。同時(shí)，許多金融學(xué)者在研究中發(fā)現(xiàn)，相較于傳統(tǒng)以日、周、月、年等為采集頻率的低頻數(shù)據(jù)，高頻數(shù)據(jù)能夠持續(xù)反映股票市場(chǎng)的信息，并且在頻率達(dá)到一定水平后，甚至能夠反映連續(xù)的信息。因此，高頻數(shù)據(jù)在降低信息丟失率的同時(shí)，能更有效地反映股票市場(chǎng)中股指價(jià)格波動(dòng)的內(nèi)在規(guī)律。但由于受到技術(shù)水平的限制，對(duì)于高頻數(shù)據(jù)的收集十分困難，大多數(shù)學(xué)者仍使用低頻數(shù)據(jù)進(jìn)行研究。

近年來(lái)，隨著科技和互聯(lián)網(wǎng)的迅猛發(fā)展，有效降低了高頻數(shù)據(jù)的記錄與儲(chǔ)存成本。因此，基于高頻數(shù)據(jù)波動(dòng)率的測(cè)量再次在學(xué)術(shù)界引起了廣泛關(guān)注。隨著已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率理論的逐漸完善，研究者們發(fā)現(xiàn)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率具有尖峰厚尾，且右偏的特征，并且存在長(zhǎng)記憶性，表明有效市場(chǎng)假說(shuō)是失效的。為進(jìn)一步解釋已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的長(zhǎng)記憶性，Andersen 等［2］首先提出了ARFIMA-RV 模型；Corsi［3］通過(guò)進(jìn)一步研究簡(jiǎn)化了模型估計(jì)的復(fù)雜度，提出HAR-RV 模型；Mastro［4］分別用ARCH 族模型和HAR-RV 模型對(duì)SPX、UKX、DAX、NKY 全球4 個(gè)主要的股票指數(shù)預(yù)測(cè)波動(dòng)率及實(shí)際波動(dòng)率進(jìn)行樣本內(nèi)與樣本外的比較，發(fā)現(xiàn)HARRV 模型優(yōu)于ARCH 族模型；Ma 等［5］比較分析了多重分形波動(dòng)率模型和HAR-RV 模型的預(yù)測(cè)效果，發(fā)現(xiàn)HAR-RV模型具有更高的預(yù)測(cè)精度。由于HAR-RV 模型具有較強(qiáng)的可拓展性和明確的經(jīng)濟(jì)含義，因而逐漸成為了預(yù)測(cè)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的基準(zhǔn)模型。

然而，數(shù)據(jù)中的噪音也會(huì)隨著采樣頻率的提高而增加，從而使高頻金融數(shù)據(jù)的有效性大幅降低。因此，許多學(xué)者開(kāi)始考慮從數(shù)據(jù)降噪的角度提升高頻金融數(shù)據(jù)的有效性。如蘭秋軍等［6］比較分析了傳統(tǒng)濾波方法在金融數(shù)據(jù)降噪過(guò)程中的缺陷，提出了小波分析（WA）方法對(duì)金融數(shù)據(jù)進(jìn)行降噪；高靜等［7］通過(guò)使用小波分析對(duì)上證指數(shù)10 分鐘收盤價(jià)數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證分析后發(fā)現(xiàn)，經(jīng)小波分析處理后的模型可以提高預(yù)測(cè)精度；張維等［8］通過(guò)實(shí)證研究發(fā)現(xiàn)小波分析在處理高頻數(shù)據(jù)方面的有效性，但在進(jìn)行小波分析之前，需要預(yù)先給定小波基、分解尺度以及分解層數(shù)，會(huì)導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)結(jié)果受到人們主觀因素的影響；Huang 等［9］提出一種自適應(yīng)信號(hào)時(shí)頻處理方法，即經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸夥椒ǎ‥MD），特別適用于非線性與非平穩(wěn)信號(hào)處理，但其剛開(kāi)始主要運(yùn)用于工業(yè)降噪領(lǐng)域。隨后，劉海飛等［10］將經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸夥椒ǎ‥MD）引入金融市場(chǎng)數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)中，發(fā)現(xiàn)其相較于小波分析（WA）擬合精度更高、預(yù)測(cè)能力更強(qiáng)。這吸引了越來(lái)越多學(xué)者將EMD 應(yīng)用于金融領(lǐng)域，但EMD 方法存在以下兩點(diǎn)不足：①本征模函數(shù)（IMF）分解時(shí)存在著模態(tài)混疊現(xiàn)象，即一個(gè)本征模函數(shù)（IMF）中或許會(huì)存在不同時(shí)間尺度的特征成分；②分解本征模函數(shù)（IMF）過(guò)程中需要迭代多次，但缺乏一個(gè)停止迭代的標(biāo)準(zhǔn)。為抑制各本征模函數(shù)（IMF）分量之間出現(xiàn)的混頻現(xiàn)象，Wu 等［11］在EMD 分解中運(yùn)用添加零均值的高斯白噪聲進(jìn)行輔助分析，即集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解方法（EEMD）。目前，EEMD 在金融領(lǐng)域也有少量研究［12-15］，這些研究主要是將機(jī)器學(xué)習(xí)和深度學(xué)習(xí)方法與EEMD 相結(jié)合，對(duì)金融資產(chǎn)價(jià)格進(jìn)行分析與預(yù)測(cè)，并取得了不錯(cuò)的效果，但使用機(jī)器學(xué)習(xí)和深度學(xué)習(xí)方法只能考慮短期對(duì)未來(lái)的影響，無(wú)法考慮到金融時(shí)間序列的長(zhǎng)記憶性。

因此，本文將從金融高頻數(shù)據(jù)的角度進(jìn)行降噪處理，從而考察在對(duì)股指波動(dòng)率進(jìn)行預(yù)測(cè)的過(guò)程中，能否通過(guò)集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解方法（EEMD）對(duì)HAR-RV 模型的預(yù)測(cè)效果進(jìn)行優(yōu)化。近年來(lái)，為響應(yīng)中央提出的“去杠桿”號(hào)召，金融機(jī)構(gòu)對(duì)金融收益波動(dòng)率的度量精度要求越來(lái)越苛刻。由于大量時(shí)間區(qū)間內(nèi)股指波動(dòng)率的基數(shù)都較小，使得微小的誤差能夠影響后續(xù)研究的準(zhǔn)確性，因此預(yù)測(cè)精度的提高對(duì)于后續(xù)探索具有重要意義。

1 研究方法

1.1 集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解法

集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解法（EEMD）實(shí)質(zhì)上是對(duì)EMD 方法的改進(jìn)，主要根據(jù)白噪聲均值為零的特性，在原始信號(hào)中加入白噪聲，使得頻率分布趨于均勻，接著仍采用EMD 方法進(jìn)行分解，最終得到的效果是相同的時(shí)間尺度分布在不同的IMF 中。具體分解步驟如下：

（1）將噪聲信號(hào)w(t)加入到原始信號(hào)X(t)，得到信號(hào)X'(t)=X(t)+w(t)。

（2）確定X'(t)的局部極大值和極小值點(diǎn)，并利用三次樣條函數(shù)將局部最大值和最小值的點(diǎn)連接起來(lái)，形成上下包絡(luò)線分別為U1和L1，計(jì)算上下包絡(luò)線的均值m1=。

（3）用X'(t)減去m1，得到新序列h1=X'(t)-m1。判斷h1是否滿足IMF 的兩個(gè)特征：①極值點(diǎn)與過(guò)零點(diǎn)數(shù)目相等或最多相差1 個(gè)；②在任意時(shí)刻，其上下包絡(luò)線均值必須為0。若滿足，則令c1=IMF1=h1，否則重復(fù)步驟（1）-（3），直到滿足上述兩個(gè)特征為止。

（4）用信號(hào)X'(t)減去c1，得到一個(gè)去掉高頻成分的新信號(hào)r1=X'(t)-c1。

（5）對(duì)r1重復(fù)得到c1的過(guò)程，得到第二個(gè)IMF 分量c2，一直反復(fù)進(jìn)行到ri小于預(yù)設(shè)值或?yàn)閱握{(diào)函數(shù)（常量）為止。最終，X'(t)分解得到：

由于IMF 分量是由高頻到低頻依次排列，所以一定存在著第i個(gè)分量，使得噪音都集中在前i-1 個(gè)分量里，而有用信息則集中在第i～n個(gè)分量里。因此，對(duì)ci進(jìn)行均值為零的T 檢驗(yàn)，直至ci的均值顯著異于零，將c1～ci-1加總作為原序列的高頻部分，將ci～cn加總作為原序列的低頻部分，rn作為原序列的趨勢(shì)部分，對(duì)分解后的信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)。

1.2 HAR-RV 模型

HAR-RV 模型是在市場(chǎng)異質(zhì)性假說(shuō)基礎(chǔ)上提出的，該假說(shuō)主要描述了不同市場(chǎng)參與者對(duì)金融市場(chǎng)造成的不同方面的影響。例如，根據(jù)信息的不對(duì)稱性，可將市場(chǎng)中的交易者分為噪音交易者、正反饋交易者和知情交易者，正是由于這3 類交易者對(duì)相同信息的反應(yīng)與預(yù)測(cè)不同，才使得股價(jià)在基本面范圍內(nèi)波動(dòng)。若異質(zhì)交易者數(shù)量增加，不同交易者對(duì)信息反應(yīng)的差別也會(huì)增大，導(dǎo)致價(jià)格的波動(dòng)率增大。因此，Corsi［3］提出了HAR-RV 模型，假設(shè)未來(lái)的日實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率與短期、中期、長(zhǎng)期的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率之間存在關(guān)系。

在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利的金融環(huán)境中，金融資產(chǎn)的對(duì)數(shù)收益率Rt,i服從一個(gè)特殊的半鞅過(guò)程。因此，某金融資產(chǎn)的日內(nèi)高頻對(duì)數(shù)收益率為：

第t 個(gè)交易日的日收益率可表示為：

由于高頻采樣數(shù)據(jù)下的收益率平方和是已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的無(wú)偏估計(jì)，因此第t個(gè)交易日的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率可表示為：

分別用日、周、月的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率代表短期、中期、長(zhǎng)期3 個(gè)不同的時(shí)間尺度，則得到HAR-RV 模型如下：

2 實(shí)證研究

2.1 數(shù)據(jù)來(lái)源及說(shuō)明

滬深300 指數(shù)作為反映滬深兩個(gè)股票市場(chǎng)運(yùn)行情況的跨市場(chǎng)指數(shù)，自推出以來(lái)運(yùn)行穩(wěn)定，為指數(shù)化投資和指數(shù)衍生產(chǎn)品創(chuàng)新提供了基礎(chǔ)條件。因此，本文選擇滬深300 指數(shù)作為研究對(duì)象，觀測(cè)窗口設(shè)定為2016 年1 月11日-2020 年1 月17 日，共計(jì)981 個(gè)交易日，采樣頻率為5min，選取每個(gè)交易日9：30-11：30 及13：00-15：00 的交易數(shù)據(jù)，每天共48 個(gè)交易數(shù)據(jù)。

2.2 滬深300 綜合指數(shù)EEMD 分解

本文根據(jù)上述方法分別計(jì)算出日已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率（RVt）、周已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率（RVWt）、月已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率（RVMt），運(yùn)用MATLAB 軟件設(shè)置EEMD 的噪聲添加次數(shù)為100，加入高斯白噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差設(shè)為0.2，分別對(duì)上述3 種股指波動(dòng)率進(jìn)行集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解，得到處理結(jié)果如圖1-圖3 所示。

Fig.1 Decomposition of daily realized volatility圖1 日已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率分解

Fig.2 Decomposition of weekly realized volatility圖2 周已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率分解

Fig.3 Decomposition of monthly realized volatility圖3 月已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率分解

從圖1-圖3 可知，對(duì)日、周、月已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率進(jìn)行EEMD 處理后，均得到8 個(gè)IMF（由高頻到低頻排列）和1個(gè)殘余項(xiàng)，同時(shí)也可看出相較于長(zhǎng)期的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率，短期已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率呈現(xiàn)出較為劇烈的震蕩。3 個(gè)不同時(shí)間尺度的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率在2018 年2-3 月波動(dòng)較大，主要由于2018 年2 月初，美股大幅下跌，海外投資者資金大幅流出，國(guó)內(nèi)機(jī)構(gòu)出于風(fēng)險(xiǎn)控制被動(dòng)跟隨減倉(cāng)導(dǎo)致的。

為了進(jìn)一步對(duì)波動(dòng)中的噪聲進(jìn)行處理，分別對(duì)3 個(gè)不同時(shí)間尺度已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的IMF 分量進(jìn)行零均值檢驗(yàn)，結(jié)果如表1-表3 所示。

Table 1 The zero mean test of IMFs of daily realized volatility表1 日已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的IMF 零均值檢驗(yàn)

由表1 可知，IMF1～I(xiàn)MF5 在5% 的顯著性水平上都是不顯著的，而IMF6 在5% 的顯著性水平上均拒絕均值為零的原假設(shè)。由于只要出現(xiàn)一個(gè)IMF 拒絕原假設(shè)，則剩余的IMF 分量均被看作低頻信號(hào)。因此，將IMF1～I(xiàn)MF5 加總得到高頻部分信號(hào)HIMF_D，IMF6～I(xiàn)MF8 加總得到低頻部分信號(hào)LIMF_D。

Table 2 The zero mean test of IMFs of weekly realized volatility表2 周已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的IMF 零均值檢驗(yàn)

由表2 可知，IMF1～I(xiàn)MF4 在5% 的顯著性水平上都是不顯著的，而IMF5～I(xiàn)MF8 在5% 的顯著性水平上均拒絕均值為零的原假設(shè)。因此，將IMF1～I(xiàn)MF4 加總得到高頻部分信號(hào) HIMF_W，IMF5～I(xiàn)MF8 加總得到低頻部分信號(hào)LIMF_W 。

Table 3 The zero mean test of IMFs of monthly realized volatility表3 月已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的IMF 零均值檢驗(yàn)

由表3 可知，在5% 的顯著性水平上，IMF1～I(xiàn)MF4 是不顯著的，IMF5～I(xiàn)MF8 是顯著的。因此，將IMF1～I(xiàn)MF4 加總得到高頻部分信號(hào)HIMF_M，IMF5～I(xiàn)MF8 加總得到低頻部分信號(hào)LIMF_M。

最后，將各個(gè)時(shí)間尺度的殘余值加上低頻部分信號(hào)，得到各個(gè)時(shí)間尺度降噪后的波動(dòng)率RV1、RVW1、RVM1。

2.3 滬深300 綜合指數(shù)預(yù)測(cè)

在降噪之后，本文分別用降噪前的數(shù)據(jù)與降噪后的數(shù)據(jù)建立HAR-RV 模型進(jìn)行比較。首先，對(duì)降噪前后的各時(shí)間尺度已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率進(jìn)行單位根檢驗(yàn)，避免出現(xiàn)偽回歸現(xiàn)象。

降噪前后各時(shí)間尺度已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的單位根檢驗(yàn)結(jié)果如表4 所示，每個(gè)變量都在5% 的顯著性水平下拒絕原假設(shè)，滿足平穩(wěn)性檢驗(yàn)。因此，降噪前后各時(shí)間尺度的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率均為平穩(wěn)的時(shí)間序列。

Table 4 Unit root test表4 單位根檢驗(yàn)

利用Python 分別將降噪前與EEMD 降噪后的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率數(shù)據(jù)按4∶1 的比例分為訓(xùn)練集和測(cè)試集，建立異質(zhì)自回歸模型進(jìn)行回歸估計(jì)，分別記為HAR-RV1 和HARRV2，得到兩個(gè)模型的測(cè)試集預(yù)測(cè)結(jié)果如圖4 所示（彩圖掃OSID 碼可見(jiàn)）。

Fig.4 Comparison of prediction results before and after EEMD noise reduction圖4 EEMD 降噪前后預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比

如圖4 所示，降噪前已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率構(gòu)建HAR-RV1 模型預(yù)測(cè)值與真實(shí)值的趨勢(shì)是一致的，其擬合優(yōu)度為0.432 3，而經(jīng)EEMD 降噪后構(gòu)建的HAR-RV2 模型在反映股票市場(chǎng)實(shí)際序列變動(dòng)趨勢(shì)方面效果不佳。這是由于在股票市場(chǎng)交易活動(dòng)中，投資者受市場(chǎng)情緒影響較大，而高頻部分信號(hào)雖然包含了大量噪聲，但同時(shí)也反映了市場(chǎng)中隨機(jī)擾動(dòng)對(duì)信號(hào)產(chǎn)生的影響，因此不能完全忽略高頻部分信號(hào)中包含的有效信息。

小波分析作為“數(shù)學(xué)顯微鏡”，能夠在時(shí)域上對(duì)高頻成分采用逐步精細(xì)的取樣步長(zhǎng)，可滿足分析數(shù)據(jù)信號(hào)任何細(xì)節(jié)的要求，因此小波分析在具有強(qiáng)噪音背景下的微弱數(shù)據(jù)信號(hào)分析中得到了廣泛應(yīng)用［16］?？紤]到高頻金融數(shù)據(jù)經(jīng)EEMD 分解后得到的高頻部分信號(hào)分量符合強(qiáng)噪音背景下的微弱數(shù)據(jù)信號(hào)這一特征，因此本文將使用小波分析（WA）方法，進(jìn)一步對(duì)采用EEMD 方法降噪后得到的高頻部分信號(hào)進(jìn)行有效信號(hào)提取。

根據(jù)蘭秋軍等［6］的分析，由于收益率數(shù)據(jù)具有奇異點(diǎn)密度大的特點(diǎn)，所以選取db2～db4 和sym2～sym4 的小波函數(shù)分解，同時(shí)尺度小于4 比較恰當(dāng)。因此，本文經(jīng)比較分析后，選擇尺度為3 的小波分解函數(shù)sym4 對(duì)EEMD 處理后的高頻部分信號(hào)進(jìn)行分解并單支重構(gòu)，最后將小波重構(gòu)數(shù)據(jù)與EEMD 降噪后的低頻部分信號(hào)和殘余值加總起來(lái)，得到重構(gòu)好的日、周、月已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率分別為RV2、RVW2、RVM2，并分別對(duì)其進(jìn)行單位根檢驗(yàn)。在其均通過(guò)單位根檢驗(yàn)后，構(gòu)建HAR-RV3 模型，得到的預(yù)測(cè)結(jié)果如圖5 所示（彩圖掃OSID 碼可見(jiàn)）。

Fig.5 Prediction results of HAR-RV3 model圖5 HAR-RV3 模型預(yù)測(cè)結(jié)果

由圖5 可知，HAR-RV3 模型真實(shí)值與預(yù)測(cè)值擬合較好，且滿足股票市場(chǎng)實(shí)際序列變動(dòng)趨勢(shì)，因此效果優(yōu)于HAR-RV1 和HAR-RV2 模型。為更直觀地比較HARRV1 和HAR-RV3 兩個(gè)模型的預(yù)測(cè)效果，本文繪制兩個(gè)模型的多指標(biāo)評(píng)估結(jié)果如表5 所示。

由表5 可以看出，使用EEMD+小波分析方法降噪后的HAR-RV3 模型預(yù)測(cè)準(zhǔn)確度有了較大程度提高，其中均方誤差（MSE）下降了93.92%，均方根誤差（RMSE）下降了75.35%，平均絕對(duì)誤差（MAE）下降了76.94%。由此可以發(fā)現(xiàn)，采用EEMD 與小波分析相結(jié)合的降噪方法對(duì)于波動(dòng)率模型預(yù)測(cè)具有明顯的改進(jìn)效果。

Table 5 Model effect evaluation表5 模型效果評(píng)估

3 結(jié)語(yǔ)

本文在HAR-RV 模型基礎(chǔ)上，將自然科學(xué)領(lǐng)域的信號(hào)處理方法，即集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解方法（EEMD）和小波分析方法引入到已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率預(yù)測(cè)中，比較了未降噪的HARRV 模型、經(jīng)EEMD 降噪的HAR-RV 模型以及經(jīng)EEMD+小波降噪的HAR-RV 模型預(yù)測(cè)效果，結(jié)果表明，經(jīng)EEMD+小波降噪的HAR-RV 模型預(yù)測(cè)效果最佳。這對(duì)于在保證波動(dòng)率走勢(shì)的情況下，降低高頻數(shù)據(jù)中噪音對(duì)波動(dòng)率估計(jì)的影響具有重要價(jià)值，為金融高頻數(shù)據(jù)處理提供了一種有效的降噪方法。在未來(lái)的研究中，還可對(duì)EEMD+小波降噪后的高頻數(shù)據(jù)進(jìn)行跳躍檢測(cè)，探究各類事件對(duì)跳躍風(fēng)險(xiǎn)的影響。