主動(dòng)電磁軸承-剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)加速響應(yīng)的魯棒性

鞏 磊 楊 智 祝長(zhǎng)生

主動(dòng)電磁軸承-剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)加速響應(yīng)的魯棒性

鞏 磊1楊 智2祝長(zhǎng)生1

（1. 浙江大學(xué)電氣工程學(xué)院 杭州 310027 2. 中國(guó)船舶重工集團(tuán)第704研究所 上海 200031）

0 引言

主動(dòng)電磁軸承（Active Magnetic Bearing, AMB）具有無(wú)摩擦、適合高速運(yùn)行以及使用壽命長(zhǎng)等優(yōu)點(diǎn)，因此廣泛應(yīng)用于高速電機(jī)、渦輪分子泵、壓縮機(jī)、飛輪儲(chǔ)能等高速旋轉(zhuǎn)機(jī)械[1-3]。在高速旋轉(zhuǎn)機(jī)械中，旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)子是其核心。由于轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)過(guò)程中產(chǎn)生的振動(dòng)會(huì)對(duì)整個(gè)系統(tǒng)產(chǎn)生嚴(yán)重影響，因此要盡最大可能地控制轉(zhuǎn)子振動(dòng)。對(duì)于AMB-剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，轉(zhuǎn)子的工作轉(zhuǎn)速都會(huì)大于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的一階和二階剛體臨界轉(zhuǎn)速，在剛體臨界轉(zhuǎn)速區(qū)轉(zhuǎn)子會(huì)出現(xiàn)明顯的振動(dòng)，所以如何保證轉(zhuǎn)子系統(tǒng)安全平穩(wěn)地越過(guò)剛體臨界轉(zhuǎn)速就成為一個(gè)重點(diǎn)的研究?jī)?nèi)容。

傳統(tǒng)軸承（滾動(dòng)軸承及滑動(dòng)軸承）支承的剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在加速通過(guò)剛體臨界轉(zhuǎn)速區(qū)時(shí)，轉(zhuǎn)子的最大振動(dòng)隨加速度的增大而減小[4]。王美令等分析了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的不平衡瞬態(tài)響應(yīng)，并得知加速過(guò)剛體臨界轉(zhuǎn)速區(qū)可有效降低瞬態(tài)響應(yīng)的幅值[5]。白保東等通過(guò)有限元法計(jì)算了電磁屏蔽槽楔對(duì)高頻電磁場(chǎng)的屏蔽效能以及軸承電流短路環(huán)的工作原理[6]，通過(guò)減小電流波動(dòng)可抑制轉(zhuǎn)子振動(dòng)。為了減小剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在剛體臨界轉(zhuǎn)速區(qū)的振動(dòng)，R. Boris等研究了參數(shù)優(yōu)化和相位控制方法[7]。J. Sena等研究了混合磁軸承鼓風(fēng)機(jī)的剛性模態(tài)振動(dòng)控制[8]。S. Wang等針對(duì)轉(zhuǎn)子以恒定加速度通過(guò)臨界轉(zhuǎn)速時(shí)產(chǎn)生的最大振動(dòng)幅值超過(guò)間隙引起摩擦的問(wèn)題，采用相位調(diào)制的方法來(lái)控制臨界加速度[9-10]。然而，由于電磁軸承支承的剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的剛體模態(tài)特征與傳統(tǒng)軸承支承下剛體轉(zhuǎn)子的剛體模態(tài)特征有所不同，所以這些研究成果并不一定適用于AMB-剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中。

目前，在AMB-剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中，大多數(shù)研究以考慮不平衡激勵(lì)時(shí)的穩(wěn)態(tài)振動(dòng)為主。B. Shafai等提出了自適應(yīng)力平衡控制方法來(lái)削弱位移信號(hào)中的同頻擾動(dòng)[11]。R. Herzog等采用窄帶陷波器實(shí)現(xiàn)了定轉(zhuǎn)速下的振動(dòng)控制[12]。Jiang Kejian等依據(jù)采集的不平衡質(zhì)量位置生成相應(yīng)的控制信號(hào)，對(duì)轉(zhuǎn)子不平衡進(jìn)行實(shí)時(shí)補(bǔ)償[13]。Yu Jie等提出了一種擾動(dòng)抑制方法識(shí)別其幅值和相位，降低了自傳感AMB-剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)[14]。然而，AMB-剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性能明顯受到所采用的控制策略的影響，如PID[15-16]、自適應(yīng)滑?？刂破鱗17]和魯棒控制器[18]等已被成熟應(yīng)用于AMB-剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的控制中，但其穿過(guò)剛體臨界轉(zhuǎn)速區(qū)時(shí)的加速特性卻很少被研究。Mao Chuan等發(fā)現(xiàn)在帶有不平衡補(bǔ)償控制的AMB-剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中，轉(zhuǎn)子通過(guò)剛體臨界轉(zhuǎn)速區(qū)的最大振動(dòng)隨著轉(zhuǎn)子運(yùn)行加速度的增大而增大，與傳統(tǒng)轉(zhuǎn)子穿過(guò)臨界轉(zhuǎn)速的加速特性明顯不同[19]。在AMB-剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中，轉(zhuǎn)子加速度如何影響轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穿過(guò)剛體臨界轉(zhuǎn)速區(qū)時(shí)的振動(dòng)，至今仍沒(méi)有一個(gè)統(tǒng)一的結(jié)論。

1 AMB-剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在加速運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的動(dòng)力學(xué)模型

圖1 AMB-剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

圖2 轉(zhuǎn)子不平衡示意圖

利用轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)理論[20]，考慮轉(zhuǎn)子不平衡和轉(zhuǎn)子加速度的影響，可以得到AMBs-剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在加速運(yùn)行過(guò)程中的微分方程為

用矩陣表示為

其中，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的廣義質(zhì)量矩陣和陀螺矩陣分別為

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的力臂系數(shù)矩陣和系統(tǒng)所受廣義不平衡向量分別為

A和B端徑向AMB在和方向上產(chǎn)生的電磁力向量為

差分驅(qū)動(dòng)模式下AMB線(xiàn)性化電磁力可表示為

其中

2 AMB-剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的控制策略

2.1 PD及PID控制

首先研究AMB-剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行下的PID參數(shù)選取范圍，其次研究定參數(shù)PID參數(shù)控制下的系統(tǒng)加速特性。

當(dāng)采用PD控制，且各通道控制參數(shù)均相同時(shí)，控制電流可表示為

因此，PD控制下的各方向電磁力為

可得PD控制條件下，AMB-剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為

當(dāng)采用PID控制，且各通道控制參數(shù)均相同時(shí)，控制電流可表示為

式（4）的微分方程數(shù)學(xué)模型為

在數(shù)字控制系統(tǒng)中，采用PID控制器作為系統(tǒng)的數(shù)字控制器，用向后差分變換可離散化為

式中，為采樣周期。

可得PID數(shù)字控制器的差分方程為

式中，c()為第時(shí)刻的控制器輸出；b()為第時(shí)刻的位移信號(hào)；為采樣序號(hào)，=1, 2, 3,…。

由式（11）可以看出，以單自由度為例，、及三個(gè)參數(shù)對(duì)控制電流都會(huì)產(chǎn)生影響，進(jìn)而影響到AMB-剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的靜動(dòng)態(tài)特性和穩(wěn)定性。因此，基于變參數(shù)PID控制的AMB-剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在剛體臨界轉(zhuǎn)速區(qū)的加速特性是不同的，有必要探究這些參數(shù)對(duì)加速特性的影響。

AMB-剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)被控對(duì)象可表示為

結(jié)合（8）可以得到PID控制下的AMB-剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為

因此，得到系統(tǒng)的特征方程為

表1列出了PID控制器轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的勞斯表。

由勞斯判據(jù)可知，系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為

表1 PID控制下系統(tǒng)的勞斯表

Tab.1 Routh array of the system with PID control

根據(jù)式（15）中不等式關(guān)系，可得到使AMB-剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定的PID參數(shù)選取范圍。圖3給出了PID穩(wěn)定控制的參數(shù)選取范圍，除了需要滿(mǎn)足穩(wěn)定性條件，還需滿(mǎn)足靜動(dòng)態(tài)響應(yīng)要求以適應(yīng)實(shí)際工況。

圖3 PID參數(shù)選取范圍

式（14）的解有兩種形式，即三個(gè)負(fù)實(shí)極點(diǎn)1、2、3和一個(gè)負(fù)實(shí)極點(diǎn)與一對(duì)復(fù)共軛極點(diǎn)量，為阻尼比。因此，式（14）的解可分解為以下兩種形式，有

針對(duì)式（16）和式（17），其單位階躍響應(yīng)分別為

圖4為AMB-剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)廣義根軌跡。較小時(shí)，阻尼比也較小，系統(tǒng)超調(diào)量很大導(dǎo)致共軛極點(diǎn)在不穩(wěn)定的右半平面。隨著和逐漸增大，極點(diǎn)進(jìn)入左半平面，并遠(yuǎn)離虛軸。越大，系統(tǒng)調(diào)節(jié)時(shí)間越短。同理，隨著增大，系統(tǒng)穩(wěn)定范圍內(nèi)阻尼比逐漸減小，即系統(tǒng)調(diào)節(jié)時(shí)間增大。的增大導(dǎo)致逐漸增大，極點(diǎn)逐漸遠(yuǎn)離虛軸。

圖4 阻尼比z 與主導(dǎo)極點(diǎn)的關(guān)系

2.2 固定PID參數(shù)控制下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的加速特性

通過(guò)理論推導(dǎo)，可以得到頻域下PID控制器的AMB廣義剛度表達(dá)式為

振動(dòng)理論中彈簧阻尼特性支承的廣義剛度[15]為

式中，e和e分別為彈簧阻尼特性的剛度和阻尼。要使得PID控制的AMB等效于一般彈簧阻尼支承，則需滿(mǎn)足

由圖2可知，幾何中心軌跡滿(mǎn)足

其中

得到式（23）的通解

式中，1和2為不為零的實(shí)數(shù)；i為虛數(shù)單位；為復(fù)數(shù)集。

其中

圖5 振幅r和的關(guān)系

如果轉(zhuǎn)子系統(tǒng)恒定運(yùn)行在剛體臨界轉(zhuǎn)速下，其振動(dòng)幅值可以達(dá)到理論計(jì)算的最大值。但當(dāng)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)以較大的加速度穿過(guò)其剛體臨界轉(zhuǎn)速區(qū)時(shí)，轉(zhuǎn)子會(huì)沒(méi)有足夠的時(shí)間達(dá)到理論最大振幅值，即轉(zhuǎn)子振幅逼近理論最大值的過(guò)程中，轉(zhuǎn)速已經(jīng)超過(guò)了剛體臨界轉(zhuǎn)速區(qū)，這樣就可能導(dǎo)致轉(zhuǎn)子振幅不一定會(huì)達(dá)到最大值。特別是，穿過(guò)剛體臨界轉(zhuǎn)速區(qū)的加速度越大，轉(zhuǎn)子在剛體臨界轉(zhuǎn)速區(qū)的實(shí)際振幅逼近理論最大值的程度越低，與理論最大值的差距越大。

圖6 AMB-剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)魯棒控制系統(tǒng)原理框圖

參考輸入和干擾分別到輸出的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

考慮到絕對(duì)誤差D的頻域增益有界且小于()，根據(jù)最小增益定理，可知AMB-剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定的充要條件為

靈敏度函數(shù)()體現(xiàn)了系統(tǒng)的抗擾能力。為了提高系統(tǒng)對(duì)外界干擾的抑制能力，引入衡量干擾大小的標(biāo)量＞0，同時(shí)需設(shè)計(jì)控制器()，使AMB-剛性轉(zhuǎn)子閉環(huán)系統(tǒng)滿(mǎn)足

根據(jù)分析可知，頻域整形圖如圖7所示。

圖7 頻域整形圖

2()是為了描述不確定性而引入系統(tǒng)的一個(gè)線(xiàn)性加權(quán)。則輸入到的閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣為

根據(jù)上述理論分析，可知靈敏度加權(quán)函數(shù)1需具備低通濾波器特性；補(bǔ)靈敏度加權(quán)函數(shù)3需具備高通濾波器特性；線(xiàn)性加權(quán)函數(shù)2用來(lái)降低控制器的階次，故分別選取為

AMB-剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)加權(quán)函數(shù)的選擇并無(wú)特定規(guī)律可循，經(jīng)過(guò)多次比較和分析，最終選擇的三組加權(quán)函數(shù)分別為

為驗(yàn)證選取的1()和3()滿(mǎn)足加權(quán)函數(shù)的理論設(shè)計(jì)條件，繪制了相應(yīng)的Bode圖，如圖8所示。通過(guò)Bode圖可看出，1()和3()分別具有低通和高通特性，與理論設(shè)計(jì)一致，且1()的截止頻率W1小于3()的截止頻率W3。

圖8 加權(quán)函數(shù)W1(s)和W3(s)的Bode圖

3 仿真結(jié)果及分析

3.1 PID控制下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的加速特性

首先，驗(yàn)證定參數(shù)PID控制下AMB-剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)過(guò)臨界時(shí)的加速特性。仿真和實(shí)驗(yàn)中，AMB-剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的各項(xiàng)參數(shù)見(jiàn)表2。

表2 AMB-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的各項(xiàng)參數(shù)

Tab.2 Parameters of AMB-rotor system

圖9為PID參數(shù)分別為9 000，10 000和0.4時(shí)，轉(zhuǎn)子分別以2Hz/s、5Hz/s、10Hz/s以及50Hz/s的加速度加速運(yùn)行時(shí)AMB-剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)A端和方向上的位移響應(yīng)曲線(xiàn)。由圖9可以看出，轉(zhuǎn)子加速運(yùn)行過(guò)程中，由于轉(zhuǎn)子平動(dòng)與錐動(dòng)模態(tài)的影響，轉(zhuǎn)子要經(jīng)歷平動(dòng)和錐動(dòng)兩個(gè)剛體臨界轉(zhuǎn)速，不同加速度下的加速特性有所差別，一階及二階剛體臨界轉(zhuǎn)速分別與轉(zhuǎn)子的平動(dòng)和錐動(dòng)固有頻率相對(duì)應(yīng)。圖10為定參數(shù)PID控制時(shí)，不同加速度下轉(zhuǎn)子在剛體臨界轉(zhuǎn)速處的位移響應(yīng)。可以看出，隨著轉(zhuǎn)子加速度的增大，其穿過(guò)剛體臨界轉(zhuǎn)速處的位移振幅逐漸減小，剛體臨界轉(zhuǎn)速逐漸增大，與傳統(tǒng)軸承在剛體臨界轉(zhuǎn)速處的加速特性一致。

圖9 不同加速度下轉(zhuǎn)子的位移響應(yīng)三維圖

圖10 不同加速度下轉(zhuǎn)子在剛體臨界轉(zhuǎn)速處的位移響應(yīng)

然而，PID參數(shù)不同時(shí)轉(zhuǎn)子在剛體臨界轉(zhuǎn)速處的加速特性卻有所差別。圖11為=1.0、1.5和2.0時(shí)，轉(zhuǎn)子穿過(guò)剛體臨界轉(zhuǎn)速時(shí)A端方向位移振幅的包絡(luò)線(xiàn)。由圖11b局部放大圖可以看出，當(dāng)不變時(shí)，以=1.0為例，隨著加速度的增大，轉(zhuǎn)子在臨界轉(zhuǎn)速處的最大位移振幅逐漸減小，臨界轉(zhuǎn)速稍有增大。參數(shù)對(duì)系統(tǒng)的加速特性主要有兩方面的影響：一方面，隨著增大，臨界轉(zhuǎn)速處的加速特性差異逐漸減小，僅是最大位移振幅稍有減小；另一方面，轉(zhuǎn)子二階剛體臨界轉(zhuǎn)速不再明顯，即錐動(dòng)固有頻率的影響削弱，只保留第一階平動(dòng)固有頻率。

圖11 D不同時(shí)轉(zhuǎn)子A端x方向的加速位移響應(yīng)曲線(xiàn)

圖12給出了從7 000增大到9 000時(shí)轉(zhuǎn)子A端方向位移振幅的包絡(luò)線(xiàn)。由圖12b局部放大圖可以看出，參數(shù)對(duì)系統(tǒng)的加速特性的影響也主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面：一方面，隨著參數(shù)的增大，轉(zhuǎn)子的剛體臨界轉(zhuǎn)速明顯增大，因?yàn)橛绊懼鳤MB的電流剛度矩陣i，所以臨界轉(zhuǎn)速會(huì)隨著的增大而增大；另一方面，隨著參數(shù)的增大，轉(zhuǎn)子的最大位移振幅也相應(yīng)地增大。

參數(shù)在穩(wěn)定范圍內(nèi)大幅度變化對(duì)系統(tǒng)的加速特性的影響很小，過(guò)臨界時(shí)最大位移振幅也基本保持不變，所以此處不再展開(kāi)說(shuō)明。

圖12 P不同時(shí)轉(zhuǎn)子A端x方向的加速位移響應(yīng)曲線(xiàn)

根據(jù)以上仿真可以得到結(jié)論，PID參數(shù)不同時(shí)，AMBs-剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)過(guò)臨界的加速特性是不同的。

圖14 轉(zhuǎn)子的加速響應(yīng)曲線(xiàn)

4 實(shí)驗(yàn)研究

實(shí)驗(yàn)是在如圖15所示額定功率為75kW、額定轉(zhuǎn)速為24 000r/min的AMB高速電機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)上進(jìn)行的。AMB轉(zhuǎn)子系統(tǒng)主要由dSPACE控制平臺(tái)、上位機(jī)、功放、測(cè)速模塊及電渦流位移傳感器等組成。由于轉(zhuǎn)子在0～10 000r/min轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)振動(dòng)比較明顯，所以這里主要給出在這個(gè)區(qū)間的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

圖15 AMB高速電機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

4.1 PID控制下的實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

圖16為不同加速度情況下AMB高速電機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)加速運(yùn)行過(guò)程中的振動(dòng)響應(yīng)曲線(xiàn)。PID控制器參數(shù)固定不變，轉(zhuǎn)子加速度分別選取10(r/min)/s、50(r/min)/s、300(r/min)/s、500(r/min)/s。

可以看出，隨著加速度增大，轉(zhuǎn)子在臨界轉(zhuǎn)速處的最大振幅逐漸減小。平動(dòng)振幅由0.070mm依次減小到0.054mm，錐動(dòng)振幅由0.053mm減小到0.042mm。

圖17為轉(zhuǎn)子以50(r/min)/s旋轉(zhuǎn)時(shí)，參數(shù)改變時(shí)磁懸浮高速電機(jī)轉(zhuǎn)子的加速特性曲線(xiàn)，參數(shù)分別為5 200和8 000?？梢钥闯觯S著增大，轉(zhuǎn)子的平動(dòng)和錐動(dòng)幅值均增大，且臨界轉(zhuǎn)速也逐漸增大。

圖17 P參數(shù)不同時(shí)轉(zhuǎn)子加速響應(yīng)曲線(xiàn)

圖18為轉(zhuǎn)子以50(r/min)/s旋轉(zhuǎn)時(shí)，參數(shù)改變時(shí)磁懸浮高速電機(jī)轉(zhuǎn)子的加速特性曲線(xiàn)，參數(shù)分別為6.5和8。可以看出，隨著增大，轉(zhuǎn)子平動(dòng)幅值減小，且錐動(dòng)不再明顯。

圖18 D參數(shù)不同時(shí)轉(zhuǎn)子加速響應(yīng)曲線(xiàn)

圖20 PID和控制下轉(zhuǎn)子在剛體臨界轉(zhuǎn)速區(qū)加速特性

5 結(jié)論

1）固定參數(shù)PID控制條件下，AMB-剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)加速特性與傳統(tǒng)軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的加速特性相似，也就是說(shuō)，增大加速度可以降低轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穿過(guò)臨界轉(zhuǎn)速區(qū)的振動(dòng)幅值。但如果PID參數(shù)發(fā)生變化，其加速特性也可能會(huì)發(fā)生相應(yīng)的改變。因此，AMB-剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穿過(guò)臨界轉(zhuǎn)速的加速特性依賴(lài)于PID參數(shù)。

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Acceleration Responses Robustness of Active Magnetic Bearings-Rigid Rotor System

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（1. College of Electrical Engineering Zhejiang University Hangzhou 310027 China 2. No. 704 Research Institute China Shipbuilding Industry Corporation Shanghai 200031 China）

TM351

10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.191001

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（11632015）和國(guó)家重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃（2018YF0905500）資助。

2019-08-06

2019-11-12

鞏 磊 男，1993年生，博士研究生，研究方向?yàn)楦咚俎D(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)主動(dòng)控制。E-mail: gong_lei@zju.edu.cn

祝長(zhǎng)生 男，1963年生，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)檗D(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)、高速電機(jī)及飛輪儲(chǔ)能等。E-mail: zhu_zhang@zju.edu.cn（通信作者）

（編輯 崔文靜）