分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題中運用概述

蘇仕亮

(江蘇省連云港市歡墩中學(xué) 222133)

初中學(xué)生入學(xué)后在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)方面面臨著知識和方法的雙重變化，由于個性與思維在初中階段處于一個高速發(fā)展階段，因此適宜進(jìn)行數(shù)學(xué)思想的啟蒙與教學(xué).分類討論是一種相對簡易、普通而且實用的數(shù)學(xué)思想，對初中學(xué)生而言能夠起到重新審視數(shù)學(xué)問題、分類化解學(xué)習(xí)目標(biāo)并合理進(jìn)行比較研究的思維作用，能幫助學(xué)生將復(fù)雜問題簡化為若干個簡單問題，更容易達(dá)成解題目標(biāo)，因此適宜在課堂上進(jìn)行指導(dǎo)性的教學(xué).

一、分類討論思想的概述

1.分類討論思想在初中數(shù)學(xué)中的意義

分類探討思想方法能把完整的數(shù)學(xué)概念轉(zhuǎn)化為零散的數(shù)學(xué)細(xì)節(jié)，實現(xiàn)可靠的歸納分析.分類探討思想是指根據(jù)數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)是否相同，將其分為不同的類別.素質(zhì)教育的改革與發(fā)展，使初中數(shù)學(xué)教學(xué)體系逐步向素質(zhì)教育過渡，分類探討思想有助于提高學(xué)生數(shù)學(xué)思想的嚴(yán)謹(jǐn)度和數(shù)學(xué)知識的實踐性，幫助學(xué)生對所學(xué)知識進(jìn)行歸納、總結(jié).根據(jù)應(yīng)試教育的要求，運用分類討論法，可以提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力.分類探討思想符合初中生的思維方式.運用分類探討思想，有利于學(xué)生理清思路，提高數(shù)學(xué)思想能力，增強創(chuàng)新意識和實踐能力.

2.分類討論思想在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

分類思想是近年來在數(shù)學(xué)中考中常見于綜合考察題型，一般在一二個分支題后的第三分支題中有所體現(xiàn)，重點考察學(xué)生靈活運用初中數(shù)學(xué)知識的能力.通常此類題型通過強行計算也可以得出正確答案，但應(yīng)用了分類思想后，學(xué)生更容易通過綜合分析化解此類數(shù)學(xué)問題中比較繁復(fù)的計算，因此廣大初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該把分類討論思想作為初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個重點來對待.一般來說，初中數(shù)學(xué)的分類思想容易出現(xiàn)在有理數(shù)和絕對值題型、幾何與函數(shù)相關(guān)題型、對數(shù)與公式題型等等.

3.分類討論思想在初中數(shù)學(xué)中的現(xiàn)狀

當(dāng)前一些初中數(shù)學(xué)教師教學(xué)方法仍然殘留著傳統(tǒng)教學(xué)理念的影響，在分類討論思想的教學(xué)方面生搬硬套書本例題，學(xué)生反而會對分類討論思想產(chǎn)生不正當(dāng)?shù)恼J(rèn)知，認(rèn)為簡單地一分為二就是分類討論，導(dǎo)致學(xué)生對分類討論法并不熱衷，認(rèn)為不如直接計算方便，這對初中學(xué)生的思維發(fā)展非常不利.分類討論思想的目的是激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維，養(yǎng)成獨立、全面分析問題的習(xí)慣，不能簡單地以工具強行向?qū)W生“推銷”.

二、分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的運用策略

1.培養(yǎng)學(xué)生模仿教師分類討論

課堂教學(xué)是培養(yǎng)初中學(xué)生分類討論思想最好的溫床，不僅僅局限于習(xí)題課，在新知教學(xué)中借助溫習(xí)舊知是滲透數(shù)學(xué)思想的重要教學(xué)環(huán)節(jié)，溫故知新，而且能夠幫助學(xué)生對舊知與新知完成橫向比較，并引發(fā)學(xué)生們的思考，在腦海中自動將數(shù)學(xué)知識進(jìn)行分類與對比，餅自動歸集到已掌握知識的體系中，試圖為這些數(shù)學(xué)知識找到合適定位.因此，初中數(shù)學(xué)教師可以將知識進(jìn)行模塊化，對數(shù)學(xué)知識點進(jìn)行科學(xué)分類，并為學(xué)生指出分類標(biāo)準(zhǔn)，例如有理數(shù)與無理數(shù)之間的分類原則和標(biāo)準(zhǔn)，然后就這些分類標(biāo)準(zhǔn)引發(fā)當(dāng)堂探討，使學(xué)生感受到分類的必要性，強化對數(shù)學(xué)知識的分類處理意識，并且模仿教師進(jìn)行主動對數(shù)學(xué)知識歸集整理，研究基本條件對象的劃分標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)一步認(rèn)知與接觸分類討論思想.

2.組織學(xué)生學(xué)生分組討論分類思想

初中學(xué)生對于思想的認(rèn)知是不完整的，因此對于數(shù)學(xué)思想的認(rèn)知傾向于具體的、可執(zhí)行的方法，數(shù)學(xué)教師不要給予糾正初中學(xué)生的這種認(rèn)識，而是應(yīng)該在學(xué)生接觸并將數(shù)學(xué)思想工具化一段時間后，在與學(xué)生們討論對于接觸分類討論思想的經(jīng)驗和認(rèn)識，防止學(xué)生將分類討論思想復(fù)雜化，影響使用數(shù)學(xué)工具的效率.例如絕對值知識是一個應(yīng)用分類討論思想很好的教學(xué)課程，可以組織學(xué)生對三類絕對值進(jìn)行分類討論，在課堂上分組教學(xué)法能夠促使學(xué)生們在思想交互中對分類討論思想的認(rèn)知從碎片化逐漸全面化，及時發(fā)現(xiàn)自己認(rèn)知上的錯誤.

3.掌握學(xué)生的學(xué)情并及時加以指導(dǎo)

教師應(yīng)對學(xué)生應(yīng)用分類討論思想的學(xué)情進(jìn)行及時掌握，發(fā)現(xiàn)哪些學(xué)生路線正確，哪些學(xué)生對分類討論思想的理解有誤區(qū)，哪些學(xué)生拒絕接受分類討論思想，等等.一般情況下教師在當(dāng)堂教學(xué)中并不一定能夠及時掌握所有學(xué)生的學(xué)情，通常情況下都是通過課后作業(yè)來進(jìn)行梳理，但不全面，因為有些學(xué)生分類討論問題的時候并不一定是本著思想指導(dǎo)，教師還要綜合考慮預(yù)留作業(yè)考察知識的全面性，教師通過循序漸進(jìn)的復(fù)雜習(xí)題進(jìn)行掌握和排查，逐步摸清學(xué)生是否真正理解了分類討論思想的基本原則，通過增設(shè)數(shù)學(xué)實踐讓學(xué)生對分類原則進(jìn)行科學(xué)化，做到有的放矢.

三、分類討論思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用實例

1.分類討論思想在初中幾何中的應(yīng)用

初中幾何以圖形知識為主，通常在圖形關(guān)系之間存在分類討論的空間.例如圓與直線之間距離與半徑之間的數(shù)量關(guān)系，在什么條件下相交，什么條件下相切，什么條件下相離，這就是分類討論思想在判斷先決條件方面的實踐應(yīng)用.再例如當(dāng)某種條件成立時，圖形出現(xiàn)某種情況，而另一種特殊條件成立時，圖形變化為某種情況，此類分類討論在高中函數(shù)、方程中是家常便飯，因此在初中階段為學(xué)生培養(yǎng)分類討論思想對學(xué)生日后的影響十分有意義.

2.分類討論思想在初中在代數(shù)中的應(yīng)用

初中代數(shù)知識通常對學(xué)生注重進(jìn)行邏輯考察和訓(xùn)練，主要培養(yǎng)的是數(shù)學(xué)思想中的推理思想，而幾何與代數(shù)的問題轉(zhuǎn)化又屬于轉(zhuǎn)化思想，如果在一堂課中貫穿了多種數(shù)學(xué)思想，學(xué)生們就會產(chǎn)生迷惑，因此要有意識地強調(diào)代數(shù)問題解法的多重性，將解代數(shù)問題植入分類討論思想.應(yīng)用兩分法探討線性不等式中是一個比較容易應(yīng)用分類討論思想的題型設(shè)計，通常此類題型設(shè)計采用多種選擇的形式，讓學(xué)生判斷哪一種方案最優(yōu)，一般在考試中都以實例應(yīng)用題看，例如某個公司以固定預(yù)算購買A、B兩種產(chǎn)品，這兩種產(chǎn)品各購買多少是最經(jīng)濟性的方案，諸如此類問題就應(yīng)該分兩步用分類討論思想進(jìn)行驗證，避免出現(xiàn)選項產(chǎn)生遺漏、不完善等現(xiàn)象.

3.分類討論思想在初中生活題中的應(yīng)用

當(dāng)前初中數(shù)學(xué)貫徹生活教育，在貼近生活的題型中考察學(xué)生的邏輯能力和理解能力，融入一些社會生產(chǎn)生活知識，幫助學(xué)生提前完成公民教育.這些生產(chǎn)生活知識中較為常見的是融合了統(tǒng)計學(xué)、方案優(yōu)選等實踐案例，最適合初中數(shù)學(xué)教師在其中穿插分類討論教育.例如社會生產(chǎn)的實踐課題往往采用此類命題：某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品10噸，自主銷售每噸利潤1000元，如果加工成初級產(chǎn)品每噸利潤2000元，由于人力資源有限，只能采取兩種產(chǎn)品同時銷售的辦法，必須在4天之內(nèi)清倉，問采用什么配比方案能夠利潤最大化？這種問題只有分類討論的方式最適合摸清兩種銷售方式的利潤總量，然后才能從經(jīng)濟角度進(jìn)行銷售方案的配比與設(shè)計，學(xué)生們在模擬社會實踐的環(huán)境下鍛煉分類討論能力，這種題型對學(xué)生的綜合思維能力也大有裨益，近年來是初中數(shù)學(xué)命題的熱門點，因此教師有必要設(shè)計此種題型培養(yǎng)學(xué)生的分類討論思想，將社會實踐活動滲透到數(shù)學(xué)教學(xué).

一般來說，初中學(xué)生在教師有目的地指導(dǎo)下，都能夠比較清晰地掌握分類討論思想，也會形成一個應(yīng)用分類討論思想的標(biāo)準(zhǔn)，讓學(xué)生在初中數(shù)學(xué)階段應(yīng)對復(fù)雜性考題時能夠注意運用、熟練掌握分類討論思想，對學(xué)生日后學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)大有幫助.為達(dá)到教學(xué)目標(biāo)，教師需要客觀地幫助學(xué)生講解和指導(dǎo)分類討論思想的應(yīng)用場合，不要為了教學(xué)目標(biāo)而使學(xué)生刻意去運用指導(dǎo)思想，導(dǎo)致學(xué)生解題時面臨過多壓力，或者過度依賴分類討論思想，要注意數(shù)學(xué)問題的特殊性，雖然數(shù)學(xué)問題一題多解是常態(tài)化的，但應(yīng)該應(yīng)該立足于審題的基礎(chǔ)上，客觀評價和選擇最優(yōu)解決辦法.