基于滑模變結(jié)構(gòu)的小型渦扇發(fā)動機加速控制

鄭里鷲，田 鈞，龍 飛，王根輝

（中國特種飛行器研究所，荊門448035）

作為一種具有強魯棒性和強抗干擾能力的非線性控制方法，國內(nèi)外許多學(xué)者將滑模變結(jié)構(gòu)控制方法應(yīng)用于航空發(fā)動機控制系統(tǒng)設(shè)計中[1-4]。文獻[5]提出了一種基于滑模控制和新型切換邏輯的多輸入多輸出方案，實現(xiàn)輸出約束條件下的航空發(fā)動機設(shè)定點跟蹤；文獻[6]將滑?？刂朴糜跇朔Q和發(fā)動機故障的飛行模式，通過高保真飛行模擬驗證，該控制器在發(fā)動機故障、有界外部干擾和存在不確定的慣性矩陣的情況下具有良好的性能；文獻[7]針對航空發(fā)動機不確定性分布式控制系統(tǒng)設(shè)計了具有魯棒性能的自適應(yīng)滑模控制器；文獻[8]基于區(qū)域極點配置的混合范數(shù)綜合法計算滑模控制器參數(shù)，設(shè)計了渦扇發(fā)動機滑模參數(shù)限制調(diào)節(jié)器；文獻[9]提出一種自適應(yīng)全局快速非奇異終端滑模控制方法，具有較強的魯棒性和快速響應(yīng)能力；文獻[10]提出一種基于人工蜂群算法的新型非線性滑?？刂破髟O(shè)計方法，使閉環(huán)系統(tǒng)具有良好的動態(tài)性能。上述文獻大多將滑?？刂平Y(jié)合其他非線性控制方法應(yīng)用于航空發(fā)動機穩(wěn)態(tài)控制以及限制保護控制中，目前基于滑模變結(jié)構(gòu)的航空發(fā)動機過渡態(tài)控制的研究較少。

1 相關(guān)理論

1.1 廣義Gronwall-Bellman 引理

引用Gronwall-Bellman 引理對狀態(tài)變量范數(shù)的收斂速度進行研究，通過系統(tǒng)反饋矩陣的設(shè)計來對狀態(tài)變量范數(shù)的邊界特性進行調(diào)節(jié)，使得閉環(huán)系統(tǒng)獲得期望的動態(tài)響應(yīng)性能。為便于分析，引入廣義Gronwall-Bellman 引理[11]。

引理1當t∈I=［a，b］時，ρ（t）、z（t）和w（t）非負連續(xù)，如果存在c＞0，n＞1 且為整數(shù)，當：

如果有：

則有：

1.2 冪次趨近律

本文控制系統(tǒng)趨近運動采用冪次趨近律進行設(shè)計，在此對該趨近律進行簡要介紹。冪次趨近律如下：

式中：η＞0；1＞α＞0；s（0）=s0。文獻[12]給出在趨近運動階段s 滿足：

式中：

當系統(tǒng)采用冪次趨近律時，通過選取適當?shù)摩呛挺?可使系統(tǒng)能在有限的時間t0平滑地進入滑動模態(tài)，能有效地消除抖振。

2 發(fā)動機非線性模型

控制對象DGEN380 發(fā)動機非線性模型來自文獻[13]，該文獻在線性模型基礎(chǔ)上，引入一般非線性項f（Δx），對基準線性模型進行修正，拓寬模型工作范圍，該模型如下：

3 加速控制律設(shè)計

當航空發(fā)動機在設(shè)計進口條件下從穩(wěn)態(tài)點a 切換到設(shè)定點b 時；從該發(fā)動機的部件級穩(wěn)態(tài)模型可求得穩(wěn)態(tài)點a 對應(yīng)的狀態(tài)變量的穩(wěn)態(tài)值xa=［n1，a；n2，a］，以及穩(wěn)態(tài)點b 對應(yīng)的狀態(tài)變量的穩(wěn)態(tài)值xb=［n1，b；n2，b］。轉(zhuǎn)速切換指令d：n1從n1，a變化到n1，b由階躍輸入給定，n2從n2，a變化到n2，b由階躍輸入給定。引入誤差變量ε，對于非線性模型（8）有：

式中：Δxd=xb-xa，ε（0）=Δxd，下標d 表示轉(zhuǎn)速切換指令。從而有：

3.1 滑動模態(tài)設(shè)計

為了實現(xiàn)ε→0，設(shè)計滑模函數(shù)：

式中：G=［g，1］，令GB=1，為使滑動模態(tài)不喪失其物理概念，設(shè)計補償算法設(shè)計為

式中：z 為補償器狀態(tài)；G 和K 為待求系數(shù)矩陣。對于非線性模型：

當系統(tǒng)處于滑動模態(tài)時，由s=0，s˙=0 可求得等效控制律Δueq為

將式（14）代入式（10）可得：

取備選Lyapunov 函數(shù)：

根據(jù)Lyapunov 定理，如果存在正常數(shù)h3使得：

則系統(tǒng)（15）在ε=0 處指數(shù)穩(wěn)定。對式（17）進行分析，針對εT（MT+M）ε，可設(shè)計等效控制律Δueq參數(shù)的LMI（linear matrix inequality）約束如下：

則有：

針對2εTg（ε）有：

針對‖ξ‖2有：

結(jié)合式（21）～式（23）有：

將式（20）、式（24）代入式（17）可以得到：

式中：ψ=‖（I-BG）F‖2，如果存在：

則存在正常數(shù)h3=2（θ1-ψ‖ε‖2-2ψ‖Δxd‖2）滿足式（18）的約束條件。

由上述分析可以得到，當M 滿足式（19）時，如果ε 滿足如下約束條件：

則系統(tǒng)（15）在ε=0 處指數(shù)穩(wěn)定。同時可以得到式（27）的約束是滑動模態(tài)吸引區(qū)的估計，當系統(tǒng)由趨近運動階段進入滑模運動階段，即t=t0時，如果狀態(tài)變量Δx（t0）在式（27）的約束區(qū)域內(nèi)，則滑模運動指數(shù)穩(wěn)定。

3.2 趨近運動設(shè)計

利用趨近律對趨近運動進行設(shè)計，并基于廣義Gronwall-Bellman 引理對狀態(tài)偏差量范數(shù)‖ε（t）‖2進行分析。取趨近律：

可以得到：

結(jié)合式（13）可以得到：

在趨近運動階段，系統(tǒng)運動滿足z=s-Gε 的限制，可以得到控制律為

將控制律（31）代入式（15）可以得到，在趨近運動階段，即t∈［0，t0］：

當系統(tǒng)趨近律采取上文所述冪次趨近律時，式（32）的解s（t）滿足：

對于非線性狀態(tài)方程常常需要分析其解的邊界。根據(jù)Wazewski 給出的估計式[14]，‖eMt‖2滿足

結(jié)合式（33）、式（34）可以得到‖ε（t）‖2滿足：

由式（35）可以看出‖ε（t）‖2與e-θt和有關(guān)， 可通過對趨近律的設(shè)計實現(xiàn)對‖ε（t）‖2邊界的調(diào)節(jié)。對于當系統(tǒng)采用冪次趨近律s˙=-η·sgn（s）時：

設(shè)計指數(shù)趨近律參數(shù)η≥θ，從而可以得到：

可以得到：

山西省忻州市大棚種植的經(jīng)作物主要是黃瓜、甜瓜、芹菜等。為了擴大云天化品牌在忻州市場的知名度，讓農(nóng)民感性認識云天化系列復(fù)合肥，積攢老百姓的口碑，特做此試驗示范。

將式（38）代入式（35）可以得到‖ε（t）‖2滿足：

在t∈［0，t0］，分別取n=2，z（t）=‖ε（t）eθt‖2，ρ（τ）=2ψ‖Δxd‖2，c=φ，w（τ）=ψe-θτ，根據(jù)引理1，如果系統(tǒng)趨近運動階段初始條件滿足關(guān)系式（2），則z（t）=‖ε（t）eθt‖2滿足關(guān)系式（3）的約束關(guān)系。下面對系統(tǒng)趨近運動初始條件進行討論。

令：

則有：

從而可以得到：

由上式可以得到‖ε（t）‖2滿足如下邊界特性：

由式（44）進行變換可得：

可以得到：

綜上述可得，當系統(tǒng)初始條件φ=‖Δxd‖2+‖B‖2滿足式（40）時，式（46）成立，即趨近運動階段狀態(tài)變量范數(shù)邊界滿足式 （27）的約束，從而可以得到，在滑模運動階段，‖ε（t）‖2處于滑模態(tài)吸引區(qū)內(nèi)，由此可得滑模到達后滑模運動指數(shù)穩(wěn)定，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定且能及時地跟蹤轉(zhuǎn)速切換指令。同時可以得到，在趨近運動階段，在冪次趨近律的作用下，如果系統(tǒng)初始條件滿足式（40）的約束，則‖ε（t）‖2滿足式（46）的邊界約束，可通過對趨近律參數(shù)的選取來調(diào)節(jié)狀態(tài)變量二范數(shù)軌跡。

4 仿真結(jié)果與分析

對上述設(shè)計的滑?？刂坡蛇M行仿真。在本文中取k=2，利用Matlab 中的Yalmip 工具箱求解式（19），得到G=［2.2657，1］，K=［-0.5521，05796］，θ=1.8096，取冪次趨近律參數(shù)η=2，α=5/7。

仿真1：系統(tǒng)由油門桿位置50%切換到60%時，對應(yīng)穩(wěn)態(tài)點狀態(tài)變量x=［n1；n2］由該發(fā)動機的部件級穩(wěn)態(tài)模型得到， 轉(zhuǎn)速切換指令由階躍輸入給定，其中Δxd＝［0.01129；0.01398］。由式（6）可求得滑模到達時間t0=0.6954，可得到φ+2‖Δxd‖2＝0.0729≤0.3905，可得初始條件滿足式（40）的約束，結(jié)果如圖1 所示。

圖1 仿真1 的系統(tǒng)轉(zhuǎn)速指令跟蹤響應(yīng)：狀態(tài)、滑函數(shù)和控制輸入Fig.1 System speed command tracking response of simulation 1：status，sliding function and control input

仿真2：油門桿位置從50%切換到70%時，其中Δxd＝［0.03617；0.04608］，滑模到達時間為t0=0.9727，得到φ+2‖Δxd‖2＝0.2402≤0.3905，仿真結(jié)果如圖2所示。

圖2 仿真2 的系統(tǒng)轉(zhuǎn)速指令跟蹤響應(yīng)：狀態(tài)、滑函數(shù)和控制輸入Fig.2 System speed command tracking response of simulation 2：status，sliding function and control input

仿真3： 油門桿位置從50%切換到80%時，Δxd＝［0.0431；0.0553］，滑模到達時間為t0=1.0234，可以得到φ+2‖Δxd‖2＝0.2880≤0.3905，仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 仿真3 的系統(tǒng)轉(zhuǎn)速指令跟蹤響應(yīng)：狀態(tài)、滑函數(shù)和控制輸入Fig.3 System speed command tracking response of simulation 3：status，sliding function and control input

由圖1、圖2 和圖3 可以看出，在仿真過程中，對于給定轉(zhuǎn)速切換指令，閉環(huán)系統(tǒng)能快速跟蹤給定轉(zhuǎn)速，幾乎沒有穩(wěn)態(tài)誤差，在滑動模態(tài)階段不存在抖振現(xiàn)象。

5 結(jié)語

以DGEN380 發(fā)動機為研究對象， 設(shè)計了小型渦扇發(fā)動機加速滑模控制律，在滑?？刂破鲄?shù)的設(shè)計中引入廣義Gronwall-Bellman 引理， 給出了跟蹤誤差范數(shù)的理論約束公式，在一定轉(zhuǎn)速切換指令下可通過控制律參數(shù)的選取對跟蹤誤差范數(shù)邊界進行調(diào)節(jié)，保證了閉環(huán)控制系統(tǒng)指數(shù)收斂于新平衡狀態(tài)。對上述加速控制律進行仿真，仿真結(jié)果表明：閉環(huán)系統(tǒng)能及時地跟蹤轉(zhuǎn)速切換指令且系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)特性良好，幾乎沒有穩(wěn)態(tài)誤差，具有良好的動態(tài)品質(zhì)，實現(xiàn)了簡單的加速控制，為小型渦扇發(fā)動機過渡態(tài)控制律的分析與設(shè)計提供了一種有效思路。