見微而知著 小題大世界
———對高中數(shù)學(xué)橢圓離心率問題的探究和拓展

◇ 江蘇 石懷榮

高考中橢圓題常作為壓軸題,且分值較高．為實(shí)現(xiàn)“新課標(biāo)”對提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要求,教師在實(shí)際教學(xué)中,常通過對一道題目的多角度分析來解決若干相似的問題．本文剖析了一個(gè)經(jīng)典橢圓離心率問題的求解過程,點(diǎn)評優(yōu)劣,多元思考各種數(shù)學(xué)思想,以達(dá)殊途同歸之效．

例已知F1,F2是橢圓的左、右兩焦點(diǎn),P為橢圓上一點(diǎn),若則橢圓離心率的取值范圍為________．

方法1多數(shù)同學(xué)遇到這個(gè)題目首先想到的是幾何方法,數(shù)形結(jié)合,利用極限(極端)情況來求范圍．首先證明當(dāng)P在y軸上時(shí),∠F1PF2＝θ取最大值．

設(shè)|PF1|＝s,|PF2|＝t,橢圓中s＋t＝2a,|F1F2|＝2c,又

點(diǎn)評

當(dāng)該題是選擇題或填空題時(shí),宜考慮使用極限概念求解,不需要證明,但是極限兩端要厘清．

方法2利用隱形圓構(gòu)造齊次不等式．|F1F2|＝2c為定值,定弦對應(yīng)角為定值,說明為隱形圓．設(shè)△F1PF2外接圓半徑為R,在∠F1PF2中,由正弦定理得,得,易知外接圓圓心在y軸上,由橢圓的對稱性,考慮外接圓在x軸上方,易求得外接圓方程,可知點(diǎn)P既在圓C上,又在橢圓上,說明圓C和橢圓有公共點(diǎn),可知,又因?yàn)?,),所e∈01以離心率的范圍是

點(diǎn)評

隱形圓問題是最近幾年高考的熱點(diǎn),其本質(zhì)就是求軌跡,軌跡通常是一個(gè)圓或圓的一部分．學(xué)生熟練掌握利用隱形圓解題方法后,可以直接用正弦定理求外接圓的半徑．

方法1利用焦半徑公式、勾股定理．設(shè)點(diǎn)P(x0,y0),由勾股定理得|P F1|2＋|P F2|2＝|F1F2|2,代入焦點(diǎn)半徑公式(a＋e x0)2＋(a－x0)2＝4c2,所以．由橢圓的有界性－a≤x0＜a,又因?yàn)閑∈(0,1),所以離心率的范圍是

點(diǎn)評

利用直角三角形的性質(zhì)和x0的取值范圍解題,簡單明了．

方法2利用向量．設(shè)點(diǎn)0,即(－c－x0,－y0)(c－x0,－y0)＝0,得c2,又因?yàn)?消去x0,得,由橢圓的有界性0≤y20≤b2,又因?yàn)閑∈(0,1),所以離心率的范圍是

點(diǎn)評

向量是幾何和代數(shù)溝通的橋梁,是研究數(shù)學(xué)非常重要的工具,很多難題巧用向量便可迎刃而解．

以上兩種方法是角度為直角時(shí)的特殊做法,能迅速解題,所以我們平時(shí)注重訓(xùn)練通式通法通解的同時(shí),也要注意到特殊的解法,這反而是快速解題的關(guān)鍵,也是數(shù)學(xué)的魅力所在．一題多解可以鍛煉學(xué)生思維的靈活性、發(fā)散性、創(chuàng)新性．教師絕不能讓學(xué)生拘泥于通法通解,像做八股文一樣做數(shù)學(xué)題,那樣只會(huì)禁錮學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的靈感．