空間立體幾何中的外接球問(wèn)題

◇ 新疆 蘇倫高娃

球是一種重要幾何體,由于球自身的完美對(duì)稱性,常常與一些簡(jiǎn)單幾何體(如柱、錐、臺(tái))結(jié)合,求外接球的表面積、體積,這是高考考查的重點(diǎn)和難點(diǎn)．這一類問(wèn)題,學(xué)生的得分率較低,大部分學(xué)生都不知道如何下手,歸根結(jié)底在于學(xué)生對(duì)空間問(wèn)題的想象能力、推理能力和計(jì)算能力都有所欠缺．對(duì)此本文來(lái)談?wù)劰P者是如何在教學(xué)過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生解決此類問(wèn)題的．

預(yù)備知識(shí)：

1)球心和截面圓心的連線垂直于截面；

2)球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r滿足：R2＝d2＋r2；

3)圓的直徑所對(duì)的圓周角為直角．

1 正方體或長(zhǎng)方體的外接球

例1 已知各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上的長(zhǎng)方體的三條棱長(zhǎng)分別為1,2,3,則此球的表面積為_(kāi)______．

解析

要求球的表面積,只需求出長(zhǎng)方體外接球的半徑,所以應(yīng)先確定球心的位置,求出球的半徑．

因?yàn)橥饨忧蚯蛐木褪情L(zhǎng)方體體對(duì)角線的中點(diǎn),半徑是長(zhǎng)方體體對(duì)角線長(zhǎng)的一半,即,求得外接球的半徑后,代入球的表面積公式S＝4 πR2,可得球的表面積為14 π．

問(wèn)題：在上題中,以長(zhǎng)方體中任意不共面的四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn),可以構(gòu)成什么樣的幾何體?有哪幾種?它們的外接球是怎樣的?

筆者在這個(gè)環(huán)節(jié)中提前準(zhǔn)備了學(xué)案,給學(xué)生充分的時(shí)間去構(gòu)造空間四面體(如圖1)．

通過(guò)直觀感受和交流討論,學(xué)生能夠順利推出四面體的外接球和長(zhǎng)方體的外接球是同一個(gè)球,從而四面體的外接球問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體的外接球問(wèn)題進(jìn)行求解．

圖1

例2《九章算術(shù)》中,將底面為長(zhǎng)方形且由一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽(yáng)馬；將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑．若三棱錐P-ABC為鱉臑,PA⊥平面ABC,PA＝AB＝2,AC＝4,三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上,則球O的表面積為_(kāi)_______．

解析

本題的求解思想就是將三棱錐P-ABC放入長(zhǎng)方體中,如圖2,三棱錐的外接球就是長(zhǎng)方體的外接球．因?yàn)镻A＝AB＝2,AC＝4,△ABC為直角三角形,所以．設(shè)外接球的半徑為R,由題意得,故球的表面積為20 π．

圖2

特別地,當(dāng)長(zhǎng)方體為正方體時(shí),還可以利用正方體的性質(zhì)求解外接球問(wèn)題．

例3已知三棱錐P-ABC中,PA,PB,PC兩兩垂直,且長(zhǎng)度相等．若點(diǎn)P,A,B,C都在半徑為1的球面上,則球心到平面ABC的距離為_(kāi)_______．

解析

如圖3,因?yàn)镻A,PB,PC兩兩垂直,故正三棱錐P-ABC的外接球就是以PA,PB,PC為棱的正方體的外接球．球心在正方體體對(duì)角線的中點(diǎn)上,根據(jù)正方體的性質(zhì),平面PBC具有很多良好的性質(zhì),如體對(duì)角線PD⊥平面ABC,垂足是PD的一個(gè)三等分點(diǎn),所以球心到平面ABC的距離為半徑的

圖3

2 求與棱柱外接球有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題

例4設(shè)正三棱柱的側(cè)棱垂直于底面,所有棱長(zhǎng)都為a,頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上,則該球的表面積為_(kāi)______．

解析

如圖4所示,P為三棱柱底面中心,O為球心,易知?jiǎng)t球的半徑滿足R2＝AO2＝AP2＋,所以,球的表面積為

圖4

3 求與棱錐外接球有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題

例5已知球O是三棱錐S-ABC的外接球,△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形,SC是球O的一條直徑,SC＝2,則三棱錐S-ABC的體積為_(kāi)_______．

解析

因?yàn)槿忮FS-ABC和三棱錐O-ABC有共同的底面ABC,球心O為SC的中點(diǎn),所以三棱錐S-ABC的高為三棱錐O-ABC高的2倍,即VS-A B C＝2VO-A B C．

如圖5所示,三棱錐O-ABC的棱長(zhǎng)都是1,取等邊△ABC的中心D,點(diǎn)D即為底面ABC外接圓(即截面圓)的圓心,球心O在點(diǎn)D的正上方,則OD⊥平面ABC．因?yàn)榻孛鎴A半徑,因?yàn)榍虻陌霃絉＝OC＝1,則

圖5

所以

從近幾年的高考試題來(lái)看,經(jīng)常出現(xiàn)與外接球有關(guān)的問(wèn)題,本文結(jié)合筆者在教學(xué)過(guò)程中的做法,推廣出與外接球有關(guān)問(wèn)題的具體解法,以便學(xué)生比較容易地掌握球的性質(zhì)及與外接球有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題．