基于Stewart 平臺的艦船運(yùn)動模擬平臺的軌跡研究

邵云龍，吳建民，嚴(yán)昊

（201620 上海市 上海工程技術(shù)大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院）

0 引言

艦船水上航行時，由于受到海浪的劇烈干擾，從而影響艦船的航行安全[1]，模擬運(yùn)動平臺的運(yùn)用引起了研究人員的廣泛關(guān)注[2]。若按系統(tǒng)結(jié)構(gòu)形式對艦船運(yùn)動模擬平臺進(jìn)行分類，大體可以分為串聯(lián)式和并聯(lián)式。其中，串聯(lián)式的剛度較差、承載能力較小，而并聯(lián)式具有很高的結(jié)構(gòu)緊湊性，并且剛度性很高,承載能力大。此外，并聯(lián)式模擬平臺累積誤差相比串聯(lián)式而言較小，彌補(bǔ)了串聯(lián)式在相關(guān)層面的不足。東北大學(xué)叢愷[3]設(shè)計了一款三自由度船舶模擬平臺，青島黃海學(xué)院的李曉巖[4]等人設(shè)計了一款可進(jìn)行5 個自由度模擬的艦船模擬平臺?，F(xiàn)有船舶模擬器的標(biāo)準(zhǔn)中，沒有明確提出對 Stewart 平臺模擬不同海況下船舶運(yùn)動的相關(guān)技術(shù)要求[5]。本課題采用并聯(lián)Stewart 平臺對在海洋中受到波浪劇烈影響的船舶進(jìn)行仿真研究，并根據(jù)上述進(jìn)行艦船模擬平臺的相關(guān)設(shè)計。

1 艦船運(yùn)動模擬平臺參數(shù)設(shè)計

艦船運(yùn)動模擬平臺采用Stewart 并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行設(shè)計建造。其結(jié)構(gòu)參數(shù)為：上平臺直徑Ra為300 mm，下平臺直徑Rb為400 mm。當(dāng)平臺處于初始位置時，下平臺到上平臺的距離h 為450 mm，各個桿長li均為470 mm。

上平臺相鄰較近的兩個鉸結(jié)點之間的距離為77.4 mm，相鄰較遠(yuǎn)的兩個鉸結(jié)點之間的距離為424.26 mm。上平臺的各個鉸結(jié)點之間的位置關(guān)系如圖1 所示。

下平臺相鄰較近的兩個鉸結(jié)點之間的距離為103.2 mm，相鄰較遠(yuǎn)的兩個鉸結(jié)點之間的距離為565.68 mm。下平臺的各個鉸結(jié)點之間的位置關(guān)系如圖2 所示。

圖1 上平臺的各個鉸結(jié)點之間的位置關(guān)系圖Fig.1 Positional relationship diagram between the hinge points of the upper platform

圖2 下平臺的各個鉸結(jié)點之間的位置關(guān)系圖Fig.2 Position relationship diagram between the hinge points of the lower platform

2 運(yùn)動學(xué)分析

為了更為清晰地描述上平臺的運(yùn)動姿態(tài)，令Bi和bi分別表示運(yùn)動平臺的下鉸點和上鉸點。運(yùn)動平臺上、下鉸點分別位于半徑為Ra，Rb的圓周上。上平臺的原點設(shè)為O1點，建立坐標(biāo)系O1-XYZ。下平臺的坐標(biāo)原點記為O，建立坐標(biāo)系O-XYZ。當(dāng)運(yùn)動平臺處于初始狀態(tài)時，下平臺的坐標(biāo)系Z 軸將穿過O1點。此時，運(yùn)動平臺的初始高度為H，Stewart 平臺運(yùn)動學(xué)模型如圖3 所示。

圖3 Stewart 平臺運(yùn)動學(xué)模型Fig.3 Stewart platform kinematics model

Stewart 平臺在空間進(jìn)行的運(yùn)動太過復(fù)雜，需要一種可以描述空間姿態(tài)的方法，故基于此采用RPY 法對空間姿態(tài)進(jìn)行描述。其中，X，Y，Z 三軸分別為固定坐標(biāo)系的3 個坐標(biāo)軸，α，β，γ則代表繞X，Y，Z 軸分別轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)角。則動坐標(biāo)系的最終姿態(tài)矩陣為

若將上平臺鉸點在體坐標(biāo)系中的坐標(biāo)寫成齊次坐標(biāo)，其形式可表示為

當(dāng)上平臺進(jìn)行姿態(tài)變換后，可利用RPY 變換方程將上鉸點在靜坐標(biāo)系中的坐標(biāo)用矩陣F 表示

若將下平臺鉸結(jié)點在靜坐標(biāo)系中的坐標(biāo)寫成齊次坐標(biāo)，其形式可表示為

2.1 運(yùn)動學(xué)反解

2.1.1 桿長伸縮量分析

利用運(yùn)動結(jié)束后的上、下鉸點之間的距離減去初始的桿長就可以得到相應(yīng)桿的伸縮量，即：

式中：Δli，l0，li——液壓缸的伸縮量、液壓缸的初始長度值以及液壓缸此時的長度值。

2.1.2 速度變化分析

我們可以用構(gòu)建速度矢量圖的方法來更加直觀地研究速度變化分析。如圖4 所示，li表示驅(qū)動桿的長度，RAi可以表示驅(qū)動桿上鉸結(jié)點在體坐標(biāo)系中矢量。RBi可以表示驅(qū)動桿下鉸結(jié)點在靜坐標(biāo)系中的矢量，動坐標(biāo)系中的原點矢量用R表示。另外，用RBi來表示驅(qū)動桿上鉸結(jié)點在靜坐標(biāo)系中的矢量。

圖4 速度矢量圖Fig.4 Speed vector

則，Stewart 平臺的速度反解為

式中：v——各個支桿的伸縮速度，v=[v1v2v3v4v5v6]T；J——輸入速度對運(yùn)動平臺位姿速度的一階影響系數(shù)矩陣

式中：RBi——上平臺鉸結(jié)點Bi相對于體坐標(biāo)系原點的位矢；ei——第i 個支桿的單位向量。

2.2 運(yùn)動學(xué)正解

已知Stewart 平臺的6 個電動缸的伸縮量，以此來求解上平臺位姿。這種運(yùn)算過程被稱為Stewart 平臺的運(yùn)動學(xué)正解。在實際研究過程中，上平臺位姿不易測量，然而又需要監(jiān)控機(jī)構(gòu)的運(yùn)行位置以保證機(jī)構(gòu)的安全運(yùn)行，因此，對Stewart平臺進(jìn)行運(yùn)動學(xué)正解是十分必要的。

解方程，可以求出上平臺任意時刻的位姿。

將g（q）在初始位置進(jìn)行泰勒級數(shù)展開，取得其線性部分，得

若要令Δqj=qj-q0j，則式（9）可寫成

若將式（10）看為以Δqi為未知數(shù)的線性方程，那么系數(shù)矩陣J 為

在此計算過程，由于將正解的初始值設(shè)為運(yùn)動平臺處于初始位置的狀態(tài)，并且每一步都有解析的形式，保證了算法的收斂性、計算速度以及運(yùn)算效率。

3 機(jī)構(gòu)的仿真

3.1 MATLAB 運(yùn)動學(xué)仿真

將仿真得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行離散，并將其導(dǎo)入到MATLAB 中已編制好的六自由度平臺的運(yùn)動學(xué)反解的程序中，得到各液壓缸的位置變化參數(shù)，并繪制成圖，如圖5 所示。

圖5 桿長變化曲線Fig.5 Variation curve of rod length

3.2 ADAMS 機(jī)構(gòu)仿真

建立Stewart 運(yùn)動平臺的三維模型是進(jìn)行ADAMS 運(yùn)動仿真的基礎(chǔ)步驟，但由于ADAMS自帶的建模工具三維造型能力略顯不足，因此采用SolidWorks 進(jìn)行三維建模、ADAMS 運(yùn)動仿真，充分發(fā)揮兩款軟件各自的優(yōu)點，提高工作效率。

將由SolidWorks 得到的裝配體以Parasolid 格式導(dǎo)出，并將其導(dǎo)入到ADAMS 中，導(dǎo)入成功后，對各個零部件重命名、賦予材質(zhì)及其他特性。此外，根據(jù)各個零部件不同的運(yùn)動情況賦予其相應(yīng)的約束。其中，下平臺與大地通過固定副連接在一起，上、下平臺與上、下平臺虎克鉸支座通過固定副相連，上、下虎克鉸通過十字架與活塞桿和缸體進(jìn)行萬向節(jié)副的連接，活塞桿和缸體間可以以圓柱副相連?；钊麠U與缸體間需要添加移動副。圖6 為Stewart 平臺的虛擬樣機(jī)。

圖6 Stewart 平臺的虛擬樣機(jī)Fig.6 Virtual prototype of Stewart platform

為了對艦船模擬平臺進(jìn)行理論分析和實驗分析，可以假設(shè)艦船在不規(guī)則的波浪中運(yùn)動時，可視為一系列規(guī)則正/余弦運(yùn)動響應(yīng)的疊加，設(shè)該艦船模擬平臺的位姿參數(shù)為（Px，Py，Pz，α，β，γ）的正/余弦運(yùn)動規(guī)律為

Px=50sin（0.06πt）Py=50sin（0.03πt）Pz=70sin（0.02πt）α=0.14sin（0.03πt）β=0.14sin（0.04πt）γ=0.24sin（0.60πt）

上平臺中心點位置及速度變化如圖7、圖8所示。

圖7 上平臺中心點位置變化Fig.7 Change of center position of upper platform

圖8 上平臺中心點速度變化Fig.8 Speed change of center point of upper platform

則可以得到任意液壓缸的位移及速度變化，如圖9、圖10 所示。

將上述6 個液壓缸的位移變化曲線離散成坐標(biāo)，然后制成樣條曲線。并將其作為驅(qū)動，可以得到符合上平臺目標(biāo)函數(shù)的軌跡，有效加快了模擬平臺的設(shè)計和建立的速度。

圖9 任意液壓缸的位移變化Fig.9 Displacement change of any hydraulic cylinder

圖10 任意液壓缸的速度變化Fig.10 Speed change of any hydraulic cylinder

3.3 ADAMS 機(jī)構(gòu)控制仿真

PID 控制已經(jīng)成為應(yīng)用最為廣泛的控制方法，其主要組成部分有比例單元P、積分單元I和微分單元 D，具有穩(wěn)定性好、調(diào)整方便等優(yōu)點?；诖瞬捎媒?jīng)典的PID 控制方法對虛擬樣機(jī)進(jìn)行控制仿真，利用ADAMS 中提供的控制模塊搭建PID 控制系統(tǒng)。在ADAMS 中搭建PID 控制系統(tǒng)的過程中，需要設(shè)置輸入環(huán)節(jié)、PID 控制相關(guān)參數(shù)、比較環(huán)節(jié)等，以完成相關(guān)的控制指令。如圖11 所示。

仿真結(jié)束后，可以得到任意液壓缸的位移、速度變化分別如圖12、圖13 所示。

由仿真曲線可以看出，PID 控制系統(tǒng)能顯著降低液壓缸的位移變化，在PID 控制情況下，響應(yīng)幅值較開環(huán)時有大幅度的降低，仿真結(jié)果證明了所設(shè)計的PID 控制系統(tǒng)對于振動的抑制有明顯效果。

圖11 在ADAMS 中建立控制系統(tǒng)的相關(guān)環(huán)節(jié)Fig.11 Relevant links for establishing a control system in ADAMS

圖12 PID 控制下的任意液壓缸的位移變化Fig.12 Displacement change of any hydraulic cylinder under PID control

圖13 PID 控制下的任意液壓缸的速度變化Fig.13 Speed change of any hydraulic cylinder under PID control

4 結(jié)論

仿真結(jié)果表明該艦船運(yùn)動模擬平臺設(shè)計的正確性，并且表明此PID 控制系統(tǒng)可以對振動進(jìn)行有效的抑制。研究結(jié)果為后續(xù)的減震方法研究提供了新的思路，具有一定的實際意義。