非均勻解析函數(shù)與非均勻調(diào)和函數(shù)的刻畫

鄭允望,俞榮杰,陶繼成

(中國計(jì)量大學(xué) 理學(xué)院,浙江 杭州 310018)

偏微分方程理論廣泛地應(yīng)用于物理、生物[1]、化學(xué)等領(lǐng)域,特別是生物擴(kuò)散模型對非均勻性研究特別重要,但是所用的底空間是均勻的,叢空間又是非均勻的,這給問題的處理帶來了諸多不便[2-3]。為了解決底空間的非均勻性問題,文獻(xiàn)[2]提出了非均勻復(fù)數(shù)域的定義,并且建立了非均勻復(fù)變函數(shù)的解析函數(shù)理論,隨后又在文獻(xiàn)[3]進(jìn)一步建立了非均勻復(fù)變函數(shù)的積分理論,獲得了非均勻Cauchy積分定理和非均勻Cauchy積分公式,非均勻復(fù)變函數(shù)微積分系統(tǒng)基本框架建立了起來。非均勻底空間的微分方程邊值問題理論,積分問題等的解決是進(jìn)一步把非均勻復(fù)變函數(shù)理論應(yīng)用于物理、生物等領(lǐng)域的前提條件。調(diào)和函數(shù)在物理學(xué)中有著重要的應(yīng)用,常常出現(xiàn)在諸如流體力學(xué)、電學(xué)、磁學(xué)等實(shí)際問題中。例如,在xy平面中,均勻薄圓盤上的溫度函數(shù)H(x,y)就經(jīng)常是調(diào)和函數(shù)。但是對于物體表面不等的情況,調(diào)和函數(shù)需要進(jìn)一步推廣到非均勻調(diào)和函數(shù)上才能更好地解決問題。

因此本文研究非均勻底空間微分算子的關(guān)系,建立非均勻調(diào)和函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系,為進(jìn)一步建立調(diào)和函數(shù)的積分理論提供重要的視角。

1 相關(guān)工作

在文獻(xiàn)[2]中,作者們給出了非均勻解析函數(shù)定義以及一些微分刻畫,隨后在文獻(xiàn)[3]中建立了關(guān)于非均勻解析函數(shù)的一些積分理論,并且給出了非均勻解析函數(shù)與非均勻調(diào)和函數(shù)關(guān)系的刻畫。在文獻(xiàn)[4]中,作者們利用高階的非均勻Cauchy積分公式獲得了非均勻Cauchy不等式,建立了關(guān)于非均勻解析函數(shù)的劉維爾定理。考慮到解析函數(shù)、調(diào)和函數(shù)它們之間相互聯(lián)系的重要性,本論文利用一階自變量算子之間的關(guān)系,進(jìn)一步推廣文獻(xiàn)[4-10]中的解析函數(shù)相關(guān)內(nèi)容,給出非均勻調(diào)和函數(shù)微分關(guān)系的刻畫。最后,利用非均勻解析函數(shù)的平均值公式獲得非均勻解析函數(shù)和關(guān)于非均勻調(diào)和函數(shù)的最大模原理,利用關(guān)于非均勻解析函數(shù)的劉維爾定理和非均勻解析函數(shù)與非均勻調(diào)和函數(shù)的關(guān)系,建立關(guān)于非均勻調(diào)和函數(shù)的劉維爾定理。最后將文獻(xiàn)[11]的次調(diào)和函數(shù)推廣到非均勻次調(diào)和函數(shù),并建立非均勻次調(diào)和函數(shù)的性質(zhì)。

2 預(yù)備知識(shí)

下面給出非均勻復(fù)數(shù)、非均勻復(fù)變函數(shù)的一些基本定義及性質(zhì),具體參考文獻(xiàn)[2-3]。

2.1 非均勻復(fù)數(shù)的定義

考慮到復(fù)數(shù)在各個(gè)領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用,我們對復(fù)數(shù)單位作進(jìn)一步推廣,定義非均勻復(fù)數(shù)。

定義集合Ck={z|z=x+jy},x,y∈R,j2=-k,k>0。

在Ck中引入數(shù)乘

z=x+jy,z∈Ck,m∈R,

mz=mx+jmy。

在Ck中引入加法

z1=x1+jy1,z2=x2+jy2,

(z1,z2∈Ck),

z1+z2=(x1+x2)+j(y1+y2)。

在上式數(shù)乘和加法運(yùn)算下,Ck為線性空間,并且在上面的乘法運(yùn)算,Ck還是一個(gè)域,我們稱之為非均勻復(fù)數(shù)域。

2.2 非均勻復(fù)變函數(shù)的定義及性質(zhì)

非均勻復(fù)變函數(shù)的定義,類似于復(fù)變函數(shù)的定義,形式上和數(shù)學(xué)分析中的函數(shù)定義相同,此時(shí)自變量和函數(shù)的取值均為新定義的非均勻復(fù)數(shù)。在定義函數(shù)之前,根據(jù)復(fù)平面點(diǎn)集的幾個(gè)基本概念,我們給出非均勻復(fù)函數(shù)模的定義、三角表示和指數(shù)表示的定義。

設(shè)Ck是非均勻復(fù)數(shù)域,我們在Ck上定義非均勻模|z|k。

容易證明這樣定義的模、三角不等式成立。并且有以下的三角表示和指數(shù)表示:

定義2.1由|z-z0|k<ρ所確定的非均勻平面點(diǎn)集(簡稱點(diǎn)集),就是以z0為圓心,以ρ為半徑的非均勻圓,稱為點(diǎn)z0的ρ-鄰域。

注2.2考慮點(diǎn)集E,同樣也有聚點(diǎn)(即極限點(diǎn))、孤立點(diǎn)、外點(diǎn)、內(nèi)點(diǎn)、閉集、開集、邊界點(diǎn)、邊界的概念,且與復(fù)變平面定義相同,在此不一一贅述。

定義2.3設(shè)f為從Ck到Ck的映射,則稱f為Ck上的非均勻復(fù)函數(shù)。

定義2.4設(shè)函數(shù)w=f(z)在點(diǎn)z0的鄰域內(nèi)或者包含z0區(qū)域D時(shí)有定義,考慮比值

這時(shí)稱非均勻復(fù)函數(shù)f(z)于點(diǎn)z0可導(dǎo)。

定義2.5若非均勻復(fù)函數(shù)w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)可微,則稱f(z)為區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù),或稱f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析。非均勻復(fù)函數(shù)在某點(diǎn)解析,是指在該點(diǎn)的某一個(gè)鄰域內(nèi)是解析的;函數(shù)在某個(gè)閉域解析,是指在包含該閉域的某區(qū)域內(nèi)解析。

定理2.6[2]設(shè)f(z)=u(x,y)+jv(x,y)在區(qū)域D內(nèi)解析,則:

1)偏微分ux、uy、vx、vy在區(qū)域D內(nèi)連續(xù);

2)u(x,y)、v(x,y)在區(qū)域D內(nèi)滿足非均勻C.-R.方程。

其中非均勻C.-R.方程為

這也是f(z)在區(qū)域D內(nèi)可微的充要條件。

2.3 非均勻復(fù)變函數(shù)的積分

定義2.7設(shè)非均勻復(fù)數(shù)域Zk上的有向曲線C:z=z(t),(α≤t≤β)。

以a=z(α)為起點(diǎn),b=z(β)為終點(diǎn),f(z)沿C有定義,順著C從a到b的方向在C上取分點(diǎn)a=z0,z1,…,zn-1,zn=b,這樣可以將曲線C劃分為n個(gè)弧段,在從zt-1到zt的每一個(gè)弧段上任取一點(diǎn)ξt,那么

定理2.8[3]若f(z)=u(x,y)+jv(x,y)沿曲線C連續(xù),則該函數(shù)沿曲線C可積,且

定理2.9[3]設(shè)有非均勻復(fù)數(shù)域Ck上的光滑曲線Cj:

z=z(t)=x(t)+jy(t),(α≤t≤β)。

z′(t)在[α,β]上連續(xù)且有不為零導(dǎo)數(shù)z′(t)=x′(t)+jy′(t),f(z)沿C連續(xù),令f[z(t)]=u[x(t),y(t)]+jv[x(t),y(t)]=u(t)+jv(t),則

定理2.11[3]設(shè)f(z)在z平面上的單連通區(qū)域D內(nèi)解析,則

定義的F(z)在D內(nèi)解析,且F′(z)=f(z)。其中,z0為Ck上的固定點(diǎn)。

3 非均勻復(fù)解析函數(shù)的刻畫

得

所以

(1)

(2)

定理3.1設(shè)f(z)=u(x,y)+jv(x,y),若u(x,y)、v(x,y)在區(qū)域D上可微,則

因此我們定義非均勻偏微分算子

證明:由二元實(shí)函數(shù)可微定義可得

由式(1)、(2),得

df=du+jdv

由

定理3.2設(shè)u(x,y)、v(x,y)在區(qū)域D上可微,則f(z)=u(x,y)+jv(x,y)在D內(nèi)解析的充要條件是

證明:由定理2.6[2],我們僅需驗(yàn)證u(x,y)、v(x,y)滿足非均勻C.-R.方程。由定義

可推出

推論3.3設(shè)u(x,y)和v(x,y)在點(diǎn)z0=x0+jy0可微,則

f(z)=u(x,y)+jv(x,y)在z=z0可微的充要條件是

4 非均勻調(diào)和函數(shù)與非均勻共軛解析函數(shù)的關(guān)系

文獻(xiàn)[3]已經(jīng)給出了非均勻調(diào)和函數(shù)與非均勻共軛解析函數(shù)的關(guān)系,利用前面的導(dǎo)數(shù)關(guān)系進(jìn)一步討論它們之間的聯(lián)系。

設(shè)非均勻復(fù)函數(shù)f(z)=u+jv在區(qū)域D內(nèi)解析,非均勻C.-R.方程為

兩等式兩邊分別對x、y求偏導(dǎo),得

因在區(qū)域D內(nèi)解析的非均勻復(fù)函數(shù)具有任意階導(dǎo)數(shù),所以在區(qū)域D內(nèi)f(z)的實(shí)部u與虛部v都有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。由數(shù)學(xué)分析知識(shí):因vxy、vyx在D內(nèi)連續(xù),他們必相等,故在區(qū)域D內(nèi)有

同理:

定義4.1[3]若二元實(shí)函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且滿足非均勻Laplace方程Δf=0,則稱f(x,y)為區(qū)域D內(nèi)的非均勻調(diào)和函數(shù)。

定理4.2若二元實(shí)函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)二階連續(xù)可微,且滿足

則f(x,y)為D內(nèi)的非均勻調(diào)和函數(shù)。

證明:

定義4.3[3]在區(qū)域D內(nèi)滿足非均勻C.-R.方程

的兩個(gè)非均勻調(diào)和函數(shù)u、v中,v稱為u在區(qū)域D的非均勻共軛調(diào)和函數(shù)。

注4.4由定理2.6[2]和上面的分析,我們發(fā)現(xiàn):非均勻復(fù)函數(shù)f(z)=u+jv在區(qū)域D內(nèi)解析,則u(x,y)、v(x,y)都是非均勻的調(diào)和函數(shù),且v(x,y)是u(x,y)的非均勻共軛調(diào)和函數(shù)。易知,若u(x,y)、v(x,y)互為非均勻共軛調(diào)和函數(shù),則它們必是常數(shù)。

定理4.5[3]設(shè)u(x,y)是單連通區(qū)域D內(nèi)的非均勻調(diào)和函數(shù),則一定存在u(x,y)的非均勻共軛調(diào)和函數(shù)v(x,y),即存在非均勻解析函數(shù)f(z)=u+jv。

5 非均勻平均值定理與非均勻極值原理

引理5.1(非均勻解析函數(shù)平均值定理) 若非均勻復(fù)函數(shù)f(z)在非均勻圓|ξ-z0|k

即f(z)在非均勻圓心z0的值等于它在非均勻圓周上的值的算術(shù)平均數(shù)。

定理5.2若非均勻復(fù)函數(shù)u(z)在非均勻圓|ξ-z0|k

(3)

即u(z)在非均勻圓心z0的值等于它在非均勻圓周上的值的算術(shù)平均數(shù)。

證明:存在u(z)的非均勻共軛調(diào)和函數(shù)v(z),由定理4.5[3]:u(z)+jv(z)=f(z)在|ξ-z0|k

u(z0)+jv(z0)=f(z0)=

即

比較兩端的實(shí)部,并令r→R,即可得式(3)。

特別地,當(dāng)z0=0時(shí)有公式

下面利用非均勻平均值定理討論非均勻極值原理。

引理5.3(非均勻最大模定理) 若非均勻復(fù)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析,且不為常數(shù),則|f(z)|k在D內(nèi)任意一點(diǎn)都不能達(dá)到最大值。

設(shè)M<+∞,因f(z)為非常數(shù),所以0

G1={z∈D:|f(z)|k=M},
G2={z∈D:|f(z)|k

顯然G2是開集,現(xiàn)證G1是開集。設(shè)z0∈G1,則|f(z0)|k=M。因z0∈D,?U(z0;δ)?D,由引理5.1知:當(dāng)0

從而有

定理5.4設(shè)u(z)在單連通區(qū)域D內(nèi)是非均勻調(diào)和函數(shù),且不恒等于常數(shù),則u(z)在D的內(nèi)點(diǎn)處不能達(dá)到最值。

證明:用反證法證最大值的情況。設(shè)u(z)在單連通區(qū)域D內(nèi)某點(diǎn)z0取到最大值,在單連通區(qū)域D內(nèi)作與u(z)共軛的調(diào)和函數(shù)v(z),并記ef(z),則ef(z)在D內(nèi)單值解析,且其模|ef(z)|k=eu(z)。此時(shí),f(z)在點(diǎn)z0與u(z)一同達(dá)到最大值,與引理5.3矛盾,所以該定理最大值的情況得證。同理可證最小值的情況。

推論5.5

2)沿著邊界C常有u(z)≤M,即如有u(z)非常數(shù),則u(z)在D內(nèi)不能達(dá)到最大值M,只能在邊界上達(dá)到。

定理5.6若在整個(gè)平面上的非均勻調(diào)和函數(shù)u(z)有界,則u(z)恒為常數(shù)。

證明:由文獻(xiàn)[4]的非均勻劉維爾定理知有界非均勻整函數(shù)f(z)必為常數(shù),因?yàn)閡(z)是在整個(gè)非均勻復(fù)平面上的非均勻調(diào)和函數(shù),由文獻(xiàn)[3],存在一個(gè)復(fù)函數(shù)f(z)=u+jv,使得它在整個(gè)平面上解析。因?yàn)镽ef(z)≤M,不妨記F(z)=ef(z),則F(z)為非均勻整函數(shù),又因?yàn)樵诜蔷鶆驈?fù)平面上|F(z)|k=eRef(z)≤eM,故有界。由非均勻劉維爾定理可得F(z)是常數(shù),所以u(z)也是常數(shù),定理5.6得證。

6 非均勻次調(diào)和函數(shù)定義及其性質(zhì)

本節(jié)將文獻(xiàn)[11]中的次調(diào)和函數(shù)定義及性質(zhì)推廣到非均勻次調(diào)和的情況,首先我們給出非均勻次調(diào)和函數(shù)的定義。

定義6.1設(shè)D是非均勻復(fù)數(shù)域Ck中的區(qū)域,若在區(qū)域D上的實(shí)值函數(shù)u(z):D→R∪{-∞}(u?-∞)滿足

1)u(z)上半連續(xù);

由定義6.1我們可以知道每一個(gè)非均勻調(diào)和函數(shù)必定是非均勻次調(diào)和函數(shù),所以非均勻次調(diào)和函數(shù)是比非均勻調(diào)和函數(shù)更為廣泛的一類非均勻函數(shù)。

下面利用文獻(xiàn)[11]的證明思想給出非均勻次調(diào)和函數(shù)的相關(guān)證明。

(4)

又因u和g分別是非均勻次調(diào)和函數(shù)和非均勻調(diào)和函數(shù),所以有

于是有

u1(z0)=u(z0)-g(z0)≤

即

這與式(4)矛盾,所以在G內(nèi)有u(z)≤h(z)成立。

所以u是D上的非均勻次調(diào)和函數(shù),得證。

下面我們利用和文獻(xiàn)[11]類似的證明過程獲得非均勻次調(diào)和函數(shù)的性質(zhì)。

性質(zhì)6.3設(shè)u是D上的非均勻次調(diào)和函數(shù),θ是實(shí)數(shù)域上的增凸函數(shù),則θ(u(z))也是D上的非均勻次調(diào)和函數(shù)。

又因θ是遞增凸函數(shù),所以

因而θ(u(z))也是非均勻次調(diào)和函數(shù)。

性質(zhì)6.4設(shè)u是D上的次非均勻調(diào)和函數(shù),對?m≥0,m·u也是D上的非均勻次調(diào)和函數(shù)。

又因m≥0,所以

因而m·u也是非均勻次調(diào)和函數(shù)。

性質(zhì)6.5設(shè)u1和u2是區(qū)域D上的非均勻次調(diào)和函數(shù),對任意的λ1≥0,λ2≥0,λ1u1(z)+λ2u2(z)也是C上的非均勻次調(diào)和函數(shù)。

于是有

u(z0)=λ1u1(z0)+λ2u2(z0)≤

因而λ1u1(z)+λ2u2(z)也是非均勻次調(diào)和函數(shù)。

例6.6設(shè)f(z)=u(x,y)+jv(x,y)在區(qū)域D內(nèi)非均勻解析,則eλ1u+λ2v為D內(nèi)的非均勻次調(diào)和函數(shù),其中λ1,λ2≥0。

證明:由文獻(xiàn)[3],u、v是D內(nèi)的非均勻調(diào)和函數(shù),由非均勻平均值公式可知u、v也是非均勻次調(diào)和函數(shù),再由性質(zhì)6.3和6.5,結(jié)論成立。

7 結(jié) 論

本文利用非均勻復(fù)數(shù)域空間微分算子的關(guān)系建立了調(diào)和方程的微分刻畫,建立了非均勻調(diào)和函數(shù)與非均勻次調(diào)和函數(shù)的關(guān)系,獲得了關(guān)于非均勻調(diào)和函數(shù)的劉維爾定理。本工作為進(jìn)一步研究偏微分方程邊值問題、積分核理論提供重要的理論基礎(chǔ)。論文后續(xù)可以進(jìn)一步研究非均勻解析函數(shù)的奇異積分理論,也可以研究Mobius群問題,例如:可以嘗試將有關(guān)Mobius群交比方面的結(jié)論推廣到非均勻解析函數(shù)。