應(yīng)用KPK力學方法研究落體的運動

皇甫泉生，嚴非男，顧錚

（上海理工大學 理學院，上海 200093）

自從牛頓揭示了力是改變物體運動狀態(tài)原因的本質(zhì)之后，人類對自然的認識發(fā)生了一大飛躍，引領(lǐng)力學走上了正確的道路，取得了輝煌的成就，牛頓關(guān)于力的三大定律成為了經(jīng)典力學的基本定律。但是物理學的各分支沿著各自的道路發(fā)展，使經(jīng)典物理學的各分支學科之間缺乏基本的相似性和類比。德國卡爾斯魯厄物理課程[1-2]（KPK）開發(fā)者全面梳理了經(jīng)典物理學中的知識體系，在力學中引入了動量流強度的概念，將物體之間的相互作用看成是動量的流動，而動量流強度就是經(jīng)典力學體系中的力，構(gòu)建了與經(jīng)典力學等價[2]的卡爾斯魯厄物理課程的力學體系，使力學與電學有了基本的相似性，可以進行廣泛的類比[3-4]。類比的思想方法在教與學和創(chuàng)新中起到的啟示作用是非常積極的，而KPK物理課程在這方面的優(yōu)勢是毋容置疑的，常言說“他山之石，可以攻玉”，如果希望將這一新的力學體系運用于我們的教學中，需要我們深入學習和研究KPK物理課程，充分地進行探索實踐、消化吸收、掌握KPK的力學體系。落體是生活中較常見的運動物體，這里不妨通過用KPK力學方法來解決落體中的一些問題，作為運用KPK力學體系的一次探索實踐。

1 卡爾斯魯厄物理課程的力學體系

卡爾斯魯厄物理課程（KPK）的開發(fā)者全面地審視了經(jīng)典物理學，仔細地梳理其中的物理量，將描述物體運動狀態(tài)的物理量分成與總質(zhì)量成正比的廣延量和與總質(zhì)量無關(guān)的強度量，并在其中選擇與能量密切相關(guān)的廣延量動量和強度量速度作為力學分支的中心物理量[5]，分別與電學分支中的廣延量電荷量和強度量電勢進行類比，并將物體之間的相互作用看成是因為有動量在它們之間流動的結(jié)果。在電學中單位時間內(nèi)流過某一截面的電荷量定義為電流強度I=dq/dt。式中：q表示電荷；t表示時間。同樣，在KPK中把單位時間內(nèi)流過某一截面的動量定義為動量流強度Ip=dp/dt。式中，p表示動量。對照牛頓第二定律，物體所受合力F=dp/dt?？梢奒PK中動量流強度就是經(jīng)典力學中物體之間的相互作用力[6]。如果有兩個物體發(fā)生了碰撞、滑動摩擦等相互作用，每個物體的動量都會發(fā)生變化，并且其中一個物體的動量增加量一定等于另一個物體動量的減少量，可以認為動量從一個物體流出并流入了另一個物體。在KPK的力學體系中認為動量守恒定律是力學的基本定律，動量可以在物體之間流動，但總量保持不變，即從一個物體表面流入物體的動量流強度必定等于該物體的動量變化率。將其推廣到物體系，就意味著我們可以在空間任取一物體系閉合曲面，單位時間內(nèi)流入該物體系曲面的動量，必定等于該物體系曲面所包圍的空間區(qū)域內(nèi)物體的動量的單位時間增量，可見動量守恒定律就是動量的連續(xù)性方程：dp/dt，也就是牛頓第二定律。因此在KPK中解動力學問題是先對研究對象進行動量流分析：動量流入、流出的途徑有那些？大小是多少？方向向哪里？然后根據(jù)動量連續(xù)性列方程求解。需要注意的是動量是矢量，動量流也是矢量，動量的連續(xù)性方程是矢量方程。

燈籠被用來營造喜慶的氛圍，節(jié)假日隨處可見懸掛的紅燈籠。對于如圖1所示懸掛燈籠的系統(tǒng)，學過物理的人都知道，這是一個平衡系統(tǒng)，在教學中至少會提到有4個力。它們分別是：通過引力場作用在吊燈和地球之間的一對相互作用力，為萬有引力；以及通過懸繩作用在吊燈和支架之間的一對相互作用力，它們是彈力。每一對力都遵循牛頓第三定律，而作用在燈籠上的兩個力構(gòu)成了一對平衡力，這4個力的大小都相等，但名稱并不相同。

圖1 懸掛的燈籠Fig. 1 Hanging lanterns

當我們把動量想象成與水一樣是可以流動的物質(zhì)，而力實際上就是動量流，那么這個懸掛燈籠的系統(tǒng)就會這樣來描述了：動量從地球流出，經(jīng)過引力場流入燈籠，再從燈籠流出，經(jīng)過懸繩流入支架然后流回到地球。這里相當于一個閉合回路，在其中流動的是動量，沒有任何地方有動量的累積，因此各處的動量流強度都相等，每個物體的動量不變，燈籠系統(tǒng)保持靜止狀態(tài)。這樣的描述簡潔明了，也不會對回路中“各處的動量流強度都相等”產(chǎn)生異議。反觀在牛頓力學中，引入了4個力而名稱各不相同，相當于把同一水流中4處不同位置的水用了4個不同的名字來命名，不僅是沒有必要的，反而還增添了麻煩：為了消除“名稱不同的力但是大小相同”的困惑，還要用一個定律來確定其中的每一對作用力與反作用力相等。

在KPK力學體系中力就是動量流強度，力的作用遵循動量連續(xù)性方程，那么容易得到，在經(jīng)歷了一段時間的積累，流入某個閉合曲面動量必定等于該閉合曲面動量的增量。動量在流動時也會攜帶著能量一起流動，從而起到傳遞能量的作用，因此動量被稱為能量載體[7-8]，它所傳遞的能量E為：式中：r表示運動物體的位置；v則是該物體的運動速度?？梢妱恿苛鞯目臻g積累效應(yīng)就是能量流。把單位時間內(nèi)流過某一截面的能量定義為能量流強度IE=dE/dt，而動量在攜帶著能量所形成的能量流強度為：IE=dE/dt=v·dp/dt=v·Ip=v·F，可見動量在流動過程中傳遞的能量流強度就是我們熟悉的功率。

2 對落體運動速度的計算

對于我們生活中常見落體，在中學階段只考慮重力的作用，在大學階段還要考慮空氣的摩擦阻力作用。設(shè)有一質(zhì)量為m的小球由靜止開始下落，如果我們要確定它的速度隨時間變化的規(guī)律，在經(jīng)典力學中，解題的順序通常是先對研究對象進行受力分析，然后根據(jù)牛頓定律列方程求解[9]。在KPK中力就是動量流，解題的方法是先分析對象的動量流，然后根據(jù)動量的連續(xù)性列方程求解。

取向下為動量正方向，對小球進行動量流分析：因小球處于重力場內(nèi)，因此有動量流強度FG=mg從地球經(jīng)重力場流入小球[10]，式中，g為重力加速度。小球因為運動與空氣發(fā)生摩擦，會有動量的流失。一般認為因空氣摩擦而引起小球的動量流失與速度成正比（即摩擦阻力與速度成正比），設(shè)比例系數(shù)為k，因此有動量流強度Fm=kv從小球流出進入空氣，如圖2所示。

圖2 落體的動量流圖Fig. 2 Momentum flow diagram of a falling body

根據(jù)動量連續(xù)性可確定：流入小球的總動量流強度等于小球的動量變化率，即：mg-kv=

當t→∞時，解得收尾速度：

可見一個在空氣中下落的物體，盡管從重力場流入物體的動量流強度是恒定的，使物體的動量穩(wěn)定地增加。但由于物體與空氣之間存在著摩擦，導致動量的流失，流失的動量流強度隨著物體運動速度的增加而變大。一旦流入物體的動量流強度等于流出物體的動量流強度，小球的動量將不再變化，達到一個穩(wěn)定的速度，此時物體的速度稱為收尾速度（也稱極限速度）。收尾速度的大小與k有關(guān)，而k主要取決于物體的外形和自重。例如毛毛細雨飄飄然潤物無聲，收尾速度不到1 m/s，而暴雨則擲地有聲，雨滴最大直徑5.5 mm左右，最大收尾速度可以達到8～9 m/s。

如果沒有空氣的摩擦，就不會有動量從物體流出進入空氣，但始終有動量從地球經(jīng)重力場流入物體，因此物體就不會有收尾速度。月球上沒有大氣，因此所有物體都以同樣的加速度墜落，一片羽毛與一塊石頭只要從同一高度出發(fā)，就會以同樣速度落向月面。在地球上，如果我們把羽毛與小塊石頭放入抽成真空的玻璃管中，同樣能觀察到這一現(xiàn)象。

3 對跳傘員的速率分析

高空跳傘是一項體育運動，跳傘員可以通過操縱變換出各種表演花樣，令人賞心悅目。撇開各種操縱因素，高空跳傘員相當于有水平初速度為v的落體，跳傘員動量變化的途徑只有兩個：由重力場流入的動量和因為摩擦而流失的動量。但是因為跳傘員從飛機上跳出時有水平速度，因此牽涉到兩維運動，情況變得相對復(fù)雜，且一般飛機飛行速度都大于跳傘員的第一收尾速度（沒有開傘時的收尾速度約50 m/s）時,則跳傘員的速率變化將更加豐富，值得探討。

跳傘員由于運動，與空氣發(fā)生摩擦而流失的動量的狀況比較復(fù)雜，參照文獻[11]，可以認為流失的動量流強度與速度的平方成正比，又因為牽涉到兩維運動，所以動量流強度需要用矢量表示。這樣，從重力場流入跳傘員的動量流為：FG=mg。式中，g為重力加速度矢量。因為空氣摩擦而流失的動量流為：Ip,out=kvv（Ip,out=kv2ev）。式中，ev表示運動方向的單位矢量，如圖3所示。

圖3 跳傘員的動量流圖Fig. 3 Momentum flow diagram of a parachutist

根據(jù)動量連續(xù)性可確定：流入跳傘員的總動量流強度等于跳傘員的動量變化率，即

寫成分量式（取飛機水平前進方向為x軸正方向，取向下為y軸正方向）：

由式（2）和式（3）所組成的方程組是有交叉項的一階非線性齊次微分方程組，與用牛頓力學解題得到的方程組完全一樣，數(shù)學上沒有解析解。因此，文獻[12]用計算機逐點計算描繪出速率與時間曲線，發(fā)現(xiàn)跳傘員在達到第一收尾速度之前會出現(xiàn)一個極小速率，但在文獻[12]中并沒有對這一現(xiàn)象進行更深層次的分析解釋，因為用牛頓力學的原理難以對這一結(jié)果作出簡單明了的解釋，這里KPK力學體系可以有所作為。

圖4 跳傘員的能流變化曲線Fig. 4 Energy flow curve of the parachutist

圖5 跳傘員的速率變化曲線Fig. 5 Rate curve of the parachutist

由于動量流是矢量，而流入與流出的動量又不在同一個方向，分量中又存在交叉項，因此僅利用動量流難以說出所以然來。但動量是能量載體，動量流動時攜帶著能量，而能量流可以用來確定速率的變化。這樣，動量流結(jié)合能量流，可以對這一現(xiàn)象作出簡單明了的解釋。由重力場流入跳傘員的能量流強度為IE,in=v·FG=mgvy，而由摩擦流出跳傘員的能量流強度為kv3。如果飛機飛行速率大于跳傘員的第一收尾速度，那么跳傘員出艙后，流失的能量流強度就大于流入的能量流強度，因此跳傘員的速率在下降，一直到流入與流出的能量流強度相等。即：mgvy=kv3時，跳傘員的速率將達到一個極小值。盡管此時能量流維持平衡，但動量流并沒有平衡（力沒有平衡），在水平方向只有動量的流出而沒有動量的流入。因此，盡管速率v沒有變化，但是水平方向速度分量vx在減小而豎直方向的速度分量vy在增大，所以很快就會使能量流失去平衡，出現(xiàn)mgvy＞kv3的狀況，即流入的能量流強度大于流出的能量流強度。因而，跳傘員的速率將會增加，直到水平方向速率為零，能量流再次取得平衡，mgv=kv3，同時動量流也取得平衡，mg=kv2，如圖4所示，跳傘員才會達到第一收尾速度（約50 m/s）。可見在第一收尾速率之前會出現(xiàn)一個極小速率，此后跳傘員打開降落傘，而空氣對降落傘的阻力非常大，意味著流出的動量流大幅增加，而流入的動量流卻沒有變化。因此，跳傘員的速率快速下降，流出的動量隨著快速減少，直到能量流再次取得平衡而達到第二收尾速度（約4 m/s）為止，跳傘運動員跳出艙后直到落地的速率變化情況如圖5所示。跳傘員以大約4 m/s較小的收尾速度飄向地面，這相當于從1 m高的窗臺跳到地面的狀況，大大降低了跳傘員從高空跳下落地時從身體流出的動量流，使跳傘員能安全落地。

4 結(jié)束語

把物體之間的相互作用看成是動量的流動，為力學現(xiàn)象的解釋開辟了新的思路，也為力學問題的解決提供了新的方法。由于動量的流動可以與日常生活中熟悉的水流進行類比，這樣一個系統(tǒng)的動量保持不變的條件就顯而易見了；用動量流方法解力學問題不再進行受力分析，而是對系統(tǒng)進行動量流分析，物理圖像更簡潔；利用動量的連續(xù)性所列的方程方法，更貼近生活經(jīng)驗。以上例子說明卡爾斯魯厄物理教程的力學體系簡化了靜力學系統(tǒng)的描述，用于解決動力學問題不但沒有障礙，而且更有獨到之處。