含阻挫和各向異性的反鐵磁自旋鏈的鍵算符理論

盧蒙蒙，陳 斌

（上海理工大學(xué) 理學(xué)院，上海 200093）

近幾十年來，低維磁系統(tǒng)是凝聚態(tài)物理中的一個(gè)重要領(lǐng)域。量子漲落在低維上的增強(qiáng)會(huì)導(dǎo)致很多新奇現(xiàn)象，如拉丁格液體行為和自旋皮爾斯相變。由于在銅基材料中發(fā)現(xiàn)了高溫超導(dǎo)性[1]，方格點(diǎn)陣中最近鄰的海森堡反鐵磁體模型引起了理論界的廣泛關(guān)注。對(duì)于一維鐵磁體，Haldane[2]指出，整數(shù)自旋鏈的激發(fā)態(tài)具有有限的能隙，而半整數(shù)自旋鏈?zhǔn)菬o能隙的。半整數(shù)和整數(shù)自旋鏈的不同色散關(guān)系現(xiàn)象已經(jīng)吸引了很多理論和實(shí)驗(yàn)研究者。S=1的自旋鏈?zhǔn)且粋€(gè)簡單的例子（S為自旋），這一點(diǎn)已在S=1的磁性材料Ni（C2H8N2）2NO2（ClO4）中得到證實(shí)[3]。由于自旋軌道耦合，自旋Ni2+離子的各向異性效應(yīng)不能被忽略。單粒子各向異性是高自旋的普遍現(xiàn)象。Sakai等[4]的研究表明，自旋為1/2的鐵磁鏈的量子相變可能是單離子的各向異性引起的。通過平均場(chǎng)計(jì)算[5-6]也觀察到了類似的相變。同時(shí)，Sachdev等[7]在二維量子反鐵磁體中對(duì)自發(fā)二聚化相進(jìn)行了廣泛的研究。對(duì)于阻挫方晶格中的自發(fā)二聚化提出了自旋為1/2的鍵算符表示。此后，Wang等[8]引入了S=1的鍵算符理論方法來研究自旋為1的鐵磁鏈和階梯的磁化。Kumar等[9]應(yīng)用此方法討論了具有二聚化基態(tài)的一般性的反鐵磁鏈。文獻(xiàn)[10?11]使用鍵算符來處理亞鐵磁鏈的二聚化效應(yīng)。本文利用鍵算符的表示方法分別討論了反鐵磁自旋鏈中的單離子各向異性和阻挫。提出了具有阻挫和各向異性的S=1反鐵磁自旋鏈的鍵算符平均場(chǎng)理論方法，得到了零溫極限下的色散關(guān)系和有限溫度下基于阻挫效應(yīng)的能隙、磁化強(qiáng)度、靜態(tài)磁化率和比熱容數(shù)值。通過求解各向異性的參數(shù)討論了阻挫效應(yīng)下的物理性質(zhì)。

1 鍵算符的表示方法

在實(shí)際材料中，阻挫是低維鐵磁材料中普遍存在的現(xiàn)象。阻挫的自旋模型是一個(gè)基本模型，它與自旋皮爾斯材料密切相關(guān)[12]。由于自旋軌道相互作用的存在，S=1的自旋鏈的各向異性效應(yīng)比S=1/2的自旋鏈的各向異性效應(yīng)大得多。因此，考慮了S=1反鐵磁海森堡自旋鏈的各向異性?，F(xiàn)分別考慮阻挫和單離子各向異性對(duì)反鐵磁自旋鏈的影響。哈密頓量

式中：α為阻挫參數(shù)；D為單離子各向異性參數(shù)；為i格點(diǎn)在x，y，z方向的自旋投影；R為各向異性因子，本文忽略不計(jì)；δ為鐵磁鏈結(jié)構(gòu)常數(shù)，在考慮阻挫的情況下，近似格點(diǎn)之間的距離相等，δ=0。

通過構(gòu)造出自旋單態(tài)[13]，得到S=1的反鐵磁自旋鏈的鍵算符

式中，tz，d，u是二聚體的耦合量子數(shù)。

式（2）中基態(tài)z方向上是玻色凝聚的，即為對(duì)算符取觀測(cè)平均值。將鍵算符表示的升降算符代入哈密頓量，可以得到

式中，μ為依賴溫度的化學(xué)勢(shì)。

式中：γk為鐵磁鏈的結(jié)構(gòu)因子；C為常數(shù)。

然后得到格點(diǎn)的平均能量

式中，N為鐵磁鏈的格點(diǎn)總數(shù)。

同時(shí)得到參數(shù)的自恰方程組為

其中，β=1/(kBT)，kB=1，kB為玻爾茲曼常數(shù)，T為系統(tǒng)溫度。

2 阻挫效應(yīng)下的熱力學(xué)性質(zhì)

圖1～4分別是在不考慮單粒子各項(xiàng)異性因子的情況下，考慮不同阻挫對(duì)激發(fā)譜、自由能、比熱容和靜態(tài)磁化率的影響。通過求解含有參數(shù)的自恰方程，得到了相應(yīng)零溫極限下的參數(shù)值。能譜的最小值在k=π處，得到能隙為0.7。這個(gè)數(shù)值下的系統(tǒng)與Haldane猜想下的系統(tǒng)是一致[14]。隨著阻挫的增加，系統(tǒng)的能隙逐漸減小，在阻挫α=1.39時(shí)，能隙減小到0，這意味著相變可能由阻挫引起，相變臨界點(diǎn)與Kato，Yamamoto，Hagiwara的數(shù)值結(jié)果是一致的[15-17]。采用不同的阻挫參數(shù)計(jì)算了自由能，如圖2所示，隨著溫度的升高，自由能逐漸減小，同時(shí)，阻挫值越大，自由能相對(duì)越小。分析了不同阻挫下靜態(tài)磁化率與溫度的關(guān)系，當(dāng)溫度升高時(shí)，較小的阻挫值對(duì)應(yīng)的靜態(tài)磁化率增長比較慢，而在高溫區(qū)域，靜態(tài)磁化率增長相對(duì)比較快，阻挫越大，靜態(tài)磁化率越大。在低溫下，阻挫對(duì)磁化率的影響比較明顯。研究發(fā)現(xiàn)，比熱容在溫度區(qū)域[0.1，0.5]呈線性增長，阻挫越大，比熱容增長的速度越快。這表明S=1的反鐵磁海森堡鏈在阻挫效應(yīng)影響下會(huì)發(fā)生量子相變，這一現(xiàn)象已經(jīng)在鎳的含阻挫的鐵磁系統(tǒng)中經(jīng)實(shí)驗(yàn)證實(shí)[17]。

圖1 D=0，α取值為1.0，1.1，1.2，1.39時(shí)的能譜圖像Fig. 1 Energy spectrums with different bond alternation parameters α=1.0, 1.1, 1.2, 1.3, 1.39 at zero temperature,while D=0

圖2 D=0，α取值為1.0，1.1，1.2，1.39時(shí)的自由能圖像Fig. 2 Free energy diagrams with different bond alternation parameters α = 1.0, 1.1, 1.2, 1.3, 1.39 at finite temperature,while D=0

圖3 D=0，α取值為1.0，1.1，1.2，1.39時(shí)的比熱容圖像Fig. 3 Specific heat capacity diagrams with different bond alternation parameters α=1.0, 1.1, 1.2, 1.3, 1.39 at finite temperature, while D=0

圖4 D=0，α取值為1.0，1.1，1.2，1.39時(shí)磁化率圖像Fig. 4 Uniform static susceptibility diagrams with different bond alternation parameters α = 1.0, 1.1, 1.2, 1.3, 1.39 at finite temperature, while D=0

3 各向異性影響下的熱力學(xué)性質(zhì)

圖5 α=1，D取值為0，?0.1，?0.2，?0.3，?0.35時(shí)的能譜圖像Fig. 5 Energy spectrums with different anisotropy parameters D = 0, ?0.1, ?0.2, ?0.3, ?0.35 at zero temperature, while α=1

圖5～8分別是在不考慮阻挫影響的情況下，不同的各項(xiàng)異性因子對(duì)低能激發(fā)譜、自由能、比熱容和靜態(tài)磁化率的影響。通過求解含有各向異性參數(shù)的自洽方程，得到的能譜如圖5所示，當(dāng)各向異性存在時(shí)，能譜較低。這個(gè)結(jié)果與阻挫效應(yīng)的影響相比，能譜色散關(guān)系的變化很小。在D=?0.35時(shí)，系統(tǒng)能隙消失，這意味著各向異性也可以誘導(dǎo)量子相變。通過其他的數(shù)值方法，在D=?0.29也得到了這種相變[18-19]。同時(shí)得到各種熱力學(xué)性質(zhì)圖像。當(dāng)溫度升高時(shí)，自由能降低得更快。各向異性較大的情況下，自由能相對(duì)較小，這個(gè)趨勢(shì)與阻挫效應(yīng)是相反的。在區(qū)域[0, 0.2]的靜態(tài)磁化率幾乎趨近于0。溫度升高，靜態(tài)磁化率趨于指數(shù)增長，各向異性越大，靜態(tài)磁化率越大。同時(shí)從各向異性下比熱容與溫度的關(guān)系也可以看出，各向異性越大，比熱容越大。在溫度區(qū)域[0.1, 0.5]，比熱容與溫度呈線性增長。同時(shí)，鍵算符的各向異性量子相變與密度矩陣重整化群方法也很吻合[18]。

圖6 α=1，D取值為0，?0.1，?0.2，?0.3，?0.35時(shí)的自由能圖像Fig. 6 Free energy diagrams with different anisotropy parameters D = 0, ?0.1, ?0.2, ?0.3, ?0.35 at finite temperature, while α=1

圖7α=1，D取值為0，?0.1，?0.2，?0.3，?0.35時(shí)的比熱容圖像Fig. 7 Specific heat capacity diagrams with different anisotropy parameters D = 0, ?0.1, ?0.2, ?0.3, ?0.35 at finite temperature, while α=1

圖8 α=1，D取值為0，?0.1，?0.2，?0.3，?0.35時(shí)的能磁化率圖像Fig. 8 Uniform static susceptibility diagrams with different anisotropy parameters D = 0, ?0.1, ?0.2, ?0.3, ?0.35 at finite temperature, while α=1

4 結(jié)束語

通過鍵算符平均場(chǎng)近似的方法，討論了阻挫和各向異性對(duì)S=1反鐵磁海森堡鏈的影響。分析了阻挫和單粒子各向異性因子與能譜、自由能、靜態(tài)磁化率和比熱容的關(guān)系。阻挫效應(yīng)引起的量子相變發(fā)生在 α=1.39處。通過求解各向異性的自洽方程，計(jì)算了系統(tǒng)的物理量。該系統(tǒng)能隙消失發(fā)生在D=?0.35處，這些結(jié)果與反鐵磁自旋鏈上各向異性相變點(diǎn)D=?0.29的結(jié)果都是相一致的。因此，鍵算符方法也可以定性地描述阻挫和各向異性對(duì)S=1反鐵磁海森堡鏈的影響。