指標(biāo)權(quán)重算法對(duì)Fisher最優(yōu)分割在水庫(kù)汛期分期中的影響研究

虞 慧，劉星根，吳曉彬，王永文，王 姣，彭圣軍

(1．江西省水利科學(xué)研究院，南昌 330029；2．江西省水工程安全工程技術(shù)中心，南昌 330029；3．中國(guó)科學(xué)院南京地理與湖泊研究所，南京 210008；4．中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京 100049；5．南昌工程學(xué)院，南昌 330099)

0 引 言

水庫(kù)是人類利用水資源的重要方式，具有灌溉、防洪、供水、發(fā)電、航運(yùn)等功能。截至2019年8月底，江西省已注冊(cè)登記水庫(kù)大壩共10 672 座，其中大型30 座，中型258 座，小(Ⅰ)型1 468 座，小(Ⅱ)型8 921 座。由于流域降雨和徑流的季節(jié)性變化，流域的水資源供需矛盾越來(lái)越顯著，水庫(kù)管理面臨著越來(lái)越突出的防洪和興利的矛盾。水庫(kù)汛期分期針對(duì)兩者的矛盾，以期在不增加防洪風(fēng)險(xiǎn)的前提下[1]，緩解旱澇急轉(zhuǎn)的風(fēng)險(xiǎn)，最大化地利用汛后期的洪水資源。汛期分期的方法從定性分析、定量計(jì)算方法，逐步發(fā)展至精細(xì)化定量的新方法上。高波等[2]和談亞琦[3]通過引入系統(tǒng)聚類方法，在分析水庫(kù)多個(gè)影響因子的基礎(chǔ)上，構(gòu)建模糊相似矩陣進(jìn)行水庫(kù)汛期分期；劉攀等[4,5]通過采用基于超定量取樣的概率變點(diǎn)分期模型的變點(diǎn)分析方法對(duì)隔河巖水庫(kù)進(jìn)行分期分析；陳守煜等[6,7]和莫崇勛等[8]采用統(tǒng)計(jì)多指標(biāo)下隸屬于汛期的隸屬度的模糊集分析法進(jìn)行分析；謝飛和王文圣[9]采用基于聯(lián)系度的概念進(jìn)行集對(duì)分析法分析。劉克琳等[10]采用對(duì)有序樣本進(jìn)行分類的Fisher最優(yōu)分割法進(jìn)行分割，取得了較好的效果。每種方法均有其固有的特性和適用性，系統(tǒng)聚類法具有較強(qiáng)的理論意義，但無(wú)法給出最優(yōu)的結(jié)果；變點(diǎn)分析法需要進(jìn)行數(shù)學(xué)假定，具有一定的主觀性；模糊集分析法采用單個(gè)指標(biāo)進(jìn)行分析，具有一定的局限性；集對(duì)分析在指標(biāo)閾值確定上存在主觀性。

Fisher最優(yōu)分割在汛期分期研究中應(yīng)用廣泛[10-12]，如汾河張家莊水庫(kù)、海河密云水庫(kù)、渭河石頭河水庫(kù)、黃河太平水庫(kù)、珠江澄碧河水庫(kù)等的研究結(jié)果均表明該方法的分期結(jié)果能較好地反映水庫(kù)流域的氣象水文背景和暴雨徑流特征，為水庫(kù)優(yōu)化運(yùn)行管理、提高水庫(kù)運(yùn)行效益提供科學(xué)依據(jù)[10,13-16]。Fisher最優(yōu)分割法考慮了降雨、徑流等多指標(biāo)的綜合作用和時(shí)序性，確定最優(yōu)分類數(shù)及時(shí)段[15]。許多研究者提出了Fisher最優(yōu)分割中指標(biāo)權(quán)重的確定方法，以期減少指標(biāo)權(quán)重的主觀性及其對(duì)分割結(jié)果的影響[13-16]，比如相關(guān)系數(shù)法、主成分分析法、模糊層次分析法等。然而，不同方法確定的指標(biāo)權(quán)重可能存在一定差異，這種差異對(duì)Fisher最優(yōu)分割結(jié)果的影響尚未充分探討。為進(jìn)一步理清指標(biāo)權(quán)重對(duì)Fisher最優(yōu)分割結(jié)果的影響，本文以七一水庫(kù)為例，比較分析了主成分分析法、變異系數(shù)法、熵權(quán)法等三種方法在確定指標(biāo)權(quán)重的差異，并在此基礎(chǔ)之上分析了指標(biāo)權(quán)重差異對(duì)Fisher最優(yōu)分割結(jié)果的影響，以期為今后汛期分期研究和實(shí)踐提供參考。

1 方法理論

1.1 Fisher最優(yōu)分割

1.1.1 基本原理

Fisher最優(yōu)分割是針對(duì)有序樣品進(jìn)行最優(yōu)化分段的一種數(shù)學(xué)聚類方法[17]。它根據(jù)樣本段內(nèi)差異最小、樣本分段之間差異最大的原則劃分樣本最優(yōu)分段，采用離差平方和量化樣本內(nèi)部、樣本分段之間的差異[10,13]。

1.1.2 計(jì)算步驟

Fisher最優(yōu)分割在水庫(kù)汛期分期中的一般步驟為[10]：

(1)選取指標(biāo)。對(duì)水庫(kù)所處流域的水文、氣象資料進(jìn)行分析，根據(jù)需求綜合分析并篩選出能反映汛期分期的各種指標(biāo)參數(shù)。

(2)構(gòu)建初始分類樣本。選取汛期分期的指標(biāo)值Xij(i=1 ～n,j=1 ～m)，其中i代表樣本，j代表指標(biāo)，構(gòu)建樣本與指標(biāo)之間的關(guān)系矩陣X，對(duì)指標(biāo)數(shù)據(jù)進(jìn)行最大最小值標(biāo)準(zhǔn)化得到標(biāo)準(zhǔn)化矩陣X′：

(1)

按照各指標(biāo)對(duì)樣本分類的重要程度賦予權(quán)重系數(shù)w1,w2,…,wn，加權(quán)平均后將多指標(biāo)值矩陣轉(zhuǎn)化為初始分類樣本Y:

(2)

(3)

(4)

式中：yr為樣本值。

(4)確定目標(biāo)函數(shù)。通過將n個(gè)有序樣本分割為k段，從而定義出目標(biāo)函數(shù)，{yj1,yj1+1,…,yj2-1}，{yj2,yj2+1,…,yj3-1}，…，{yjk,yjk+1,…,yjk+1-1}，其中j1，j2，…，jk為k個(gè)分點(diǎn)，最優(yōu)分割的實(shí)質(zhì)就是尋找某一組分點(diǎn)，使得所有分類的直徑總和最小，即：

(5)

(5)求解最優(yōu)分割。有序樣本的最優(yōu)k類分割一定是在其某一個(gè)截尾子段最優(yōu)k-1類分割之后再添加一類形成的。使用以下遞推公式求解最優(yōu)分割。

B(n,2)=min{D(1,j-1)+D(j,n)}

(6)

B(n,k)=min{B(j-1,k-1)+D(j,n)}

(7)

(7)最優(yōu)分類結(jié)果的F檢驗(yàn)。對(duì)分類結(jié)果進(jìn)行F檢驗(yàn)，構(gòu)建F統(tǒng)計(jì)量[18]：

(8)

1.2 權(quán)重因子的計(jì)算

根據(jù)上述計(jì)算步驟，增加權(quán)重因子計(jì)算部分，詳見圖1。

Fisher最優(yōu)分割根據(jù)各指標(biāo)對(duì)樣本分類的重要性賦予權(quán)重系數(shù)w1,w2,…,wn，權(quán)重系數(shù)的大小可能影響最優(yōu)分割結(jié)果?；谇叭搜芯拷Y(jié)果[13-16,19]，本文選擇主成分分析法、熵權(quán)法和變異系數(shù)法確定權(quán)重系數(shù)，比較3種方法對(duì)Fisher最優(yōu)分割結(jié)果的影響程度。

1.2.1 主成分分析法

主成分分析法(Principal Component Analysis, PCA)由Karl和Pearson提出，利用變量的線性變換，尋找一組新的不相關(guān)的變量，原則是保持變量的總方差不變，根據(jù)變量的方差大小確定主成分的順序，從而減少變量的冗余信息，最大程度的挖掘變量包含的信息[19]。根據(jù)主成分的貢獻(xiàn)率以及與各指標(biāo)的相關(guān)程度確定綜合得分模型，其中綜合得分模型的系數(shù)反映各指標(biāo)變量在主成分中的綜合重要度，據(jù)此可以確定指標(biāo)變量的權(quán)重[16,19]。主成分分析法確定權(quán)重的具體步驟較為常見[19]，在此不再詳述。

1.2.2 熵權(quán)法

(9)

由信息熵與指標(biāo)權(quán)重的關(guān)系定義指標(biāo)的熵權(quán)：

(10)

1.2.3 變異系數(shù)法

變異系數(shù)法認(rèn)為當(dāng)某一指標(biāo)值的變異程度越大，反映系統(tǒng)特征的差異越大，指標(biāo)的區(qū)別程度越好，應(yīng)該賦予較大的權(quán)重，反之亦然[23]，例如李俊應(yīng)用變異系數(shù)法和模糊集理論確定黃河流域吳城水庫(kù)的汛期分期[24]。設(shè)x的取值為X={x1,x2,…,xi-1,xi}，則該指標(biāo)的變異系數(shù)為：

(11)

指標(biāo)權(quán)重為：

(12)

2 實(shí) 例

2.1 研究區(qū)概況和數(shù)據(jù)

江西省七一水庫(kù)位于信江支流金沙溪中游，壩址以上控制流域面積324 km2，水庫(kù)的總庫(kù)容22 800 萬(wàn)m3，正常蓄水位160.40 m(黃海高程，下同)，是一座以灌溉為主，兼有防洪、發(fā)電、供水等綜合效益的大(Ⅱ)型水庫(kù)。七一水庫(kù)現(xiàn)行防洪運(yùn)行方式為：主汛期為4月1日-6月30日，主汛期汛限水位為159.00 m；后汛期為7月1日-9月30日，后汛期汛限水位為160.00 m。

本次所使用的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)為七一水庫(kù)、土城、童家坊3個(gè)雨量站的逐日降雨資料，七一水庫(kù)逐日入庫(kù)流量資料。分期使用降雨資料為七一水庫(kù)站和土城站的逐日降雨的算術(shù)平均值，1993年后的土城站的資料，移用童家坊的降雨資料進(jìn)行延長(zhǎng)，因童家坊和土城的同時(shí)期的(1970-1992年)的年降雨相關(guān)性達(dá)0.96。根據(jù)水庫(kù)所處流域的氣象水文背景和相關(guān)文獻(xiàn)調(diào)研[4-8]，本文汛期分期指標(biāo)采用以下6個(gè)指標(biāo)，包括旬最大日流量，旬平均日流量，旬暴雨日數(shù)，旬最大日雨量，旬最大3日雨量和旬雨量和。

2.2 分期計(jì)算

2.2.1 權(quán)重計(jì)算結(jié)果

3種方法計(jì)算的指標(biāo)權(quán)重如表1。權(quán)重差異最大的指標(biāo)為旬暴雨日數(shù)，變異系數(shù)法和熵權(quán)法確定的旬暴雨日數(shù)權(quán)重較大(分別為0.34，0.43)，而主成分分析法對(duì)應(yīng)的該指標(biāo)權(quán)重小于0.2。暴雨事件的隨機(jī)性較大，旬暴雨日數(shù)的變化范圍為0～4 d。在全部指標(biāo)的變異程度上，旬暴雨日數(shù)的變異系數(shù)最大。因此前兩種方法確定的旬暴雨日數(shù)指標(biāo)權(quán)重為最大值，反映該指標(biāo)的不確定性程度最大。除旬暴雨日數(shù)，變異系數(shù)法和熵權(quán)法確定的旬最大日流量等5個(gè)指標(biāo)的權(quán)重基本一致。主成分分析法確定的6個(gè)指標(biāo)權(quán)重中僅有2個(gè)指標(biāo)(旬最大日流量、旬平均日流量)的權(quán)重與前兩種方法的結(jié)果一致，其他指標(biāo)與前兩種方法的結(jié)果差異較大。

就不同指標(biāo)的差異而言，旬暴雨日數(shù)的變異性最大(變異系數(shù)為3.24)，其次為流量指標(biāo)(旬最大日流量、旬平均日流量)，變異系數(shù)為1.50～1.63，而雨量指標(biāo)(旬最大日雨量、旬最大3日雨量、旬雨量)的變異性最小，變異系數(shù)在1.03～1.13。變異性越大反映指標(biāo)的不確定性程度越強(qiáng)，指標(biāo)提供的系統(tǒng)的信息越多。因此暴雨日數(shù)對(duì)汛期分期可能存在較大影響，其次為流量相關(guān)的指標(biāo)，而雨量相關(guān)的指標(biāo)對(duì)汛期分期的影響可能較小。同時(shí)，由于旬最大日雨量和旬最大3日雨量?jī)蓚€(gè)指標(biāo)的變異系數(shù)非常接近，且兩者存在較好的相關(guān)性，意味著兩個(gè)指標(biāo)存在一定同一性，今后的汛期分期中則可以適當(dāng)減少雨量指標(biāo)的數(shù)量。

表1 3種方法計(jì)算成果Tab.1 Calculation results of three methods

2.2.2 Fisher最優(yōu)分割結(jié)果

各方法計(jì)算所得權(quán)重系數(shù)與各指標(biāo)值代入公式(2)得到初始樣本分類向量(圖2)，應(yīng)用最優(yōu)分割遞推算法[公式(5)～(7)]可得不同分類數(shù)對(duì)應(yīng)的最小目標(biāo)函數(shù)值和分割位置(圖3和表2，表2以變異系數(shù)法權(quán)重的計(jì)算結(jié)果為例，其他方法計(jì)算結(jié)果省略)。由計(jì)算結(jié)果可知，k=3時(shí)曲線存在明顯拐點(diǎn)，相應(yīng)的分期為{1，10}，{11，12}，{13，21}，即3月上旬-6月上旬為前汛期，6月中旬-6月下旬為主汛期，7月上旬-9月下旬為后汛期。

表2 目標(biāo)函數(shù)計(jì)算結(jié)果(變異系數(shù)法)Tab2. Calculation result of objective function (variation coefficient method)

為進(jìn)一步精細(xì)化分析汛期時(shí)段區(qū)間，同時(shí)根據(jù)水庫(kù)實(shí)際調(diào)度的需求進(jìn)行分析，當(dāng)k=3時(shí)前汛期長(zhǎng)達(dá)3個(gè)月，不利于水庫(kù)動(dòng)態(tài)汛限水位調(diào)控，而且在后汛期中7月上旬與7月下旬-9月下旬的樣本值存在明顯的差異(圖2)，體現(xiàn)其過渡性特征，另外，4月中旬-5月的樣本值與3月也存在一定的差異，反映主汛期與前汛期、后汛期之間的過渡性，綜合以上考慮，水庫(kù)汛期可劃分為5期，根據(jù)Fisher最優(yōu)分割法對(duì)k=5進(jìn)行分期，其相應(yīng)分期為{1，4}，{5，10}，{11，12}，{13}，{14，21}，即3月上旬-4月上旬為前汛期，4月中旬-6月上旬為前汛過渡期，6月中旬-6月下旬為主汛期，7月上旬為后汛過渡期，7月中旬-9月下旬為后汛期。從分期結(jié)果上看，七一水庫(kù)汛期分5期是在3期的結(jié)果上進(jìn)一步的細(xì)化，整體結(jié)果隸屬于3期的分期結(jié)果。

進(jìn)一步對(duì)分類數(shù)為5類時(shí)的分期結(jié)果進(jìn)行F檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，自由度分別為4和16，F(xiàn)=48>Fα=4.07，即在0.01的顯著性水平上分期結(jié)果之間存在顯著差異。應(yīng)用熵權(quán)法和主成分分析法權(quán)重的Fisher最優(yōu)分割結(jié)果與變異系數(shù)法權(quán)重的Fisher最優(yōu)分割結(jié)果一致，此處不再贅述。

2.3 分期結(jié)果比較

2.3.1 成因分析

金沙溪流域位于贛東北暴雨中心邊緣，以亞熱帶鋒面氣旋雨為主，常出現(xiàn)在5-7月份。因孟加拉灣和南海暖濕氣流與北方冷空氣團(tuán)相遇時(shí)切交線的南北徘徊，容易形成暴雨過程。暴雨移動(dòng)方向大多由西至東，或西北向東南移動(dòng)，有時(shí)出現(xiàn)靜止鋒，形成暴雨中心穩(wěn)定少動(dòng)現(xiàn)象[25]。實(shí)測(cè)資料表明，每年暴雨次數(shù)約為3～7次，雨量占全年的15%～25%。一次暴雨持續(xù)時(shí)間大多為1～2 d，持續(xù)時(shí)間在3～4 d以上的很少。7-9月則以不穩(wěn)定的熱氣流上升形成的雷陣雨為主，雨區(qū)較小，歷時(shí)短，強(qiáng)度較大，但日雨量不大。期間偶有西太平洋入侵大陸的臺(tái)風(fēng)影響，形成歷時(shí)較短、風(fēng)強(qiáng)、雨量較大的降雨過程。10月-次年2月，主要受西伯利亞和蒙古干冷氣流影響，一般降雨量較小，僅占全年的32%[25]。

金沙溪為雨源性補(bǔ)給河流，流域調(diào)蓄能力較差。徑流、水位隨降雨情況而變化，年內(nèi)分配不均勻。根據(jù)1960-2017年七一水庫(kù)站統(tǒng)計(jì)資料，10月-次年1月為枯水期，來(lái)水量占全年的16%。3-6月為豐水期(汛期)，來(lái)水量占全年的57%，其余各月為平水期。洪水出現(xiàn)季節(jié)多在5-6月。因此，從流域所處的水文氣候背景來(lái)看，水庫(kù)的主汛期宜為5-6月，汛前期可能在3-4月，而汛后期宜為7-9月，這一劃分與本文的汛期分期結(jié)果基本一致。

2.3.2 數(shù)理統(tǒng)計(jì)

圖4是各旬暴雨日數(shù)、雨量、最大日流量和入庫(kù)水量的統(tǒng)計(jì)特征?？傮w而言，不同期間的水文氣象指標(biāo)存在較大差異。主汛期(6月中旬-下旬)的各項(xiàng)指標(biāo)均為最大值，因此6月中旬-下旬劃分為主汛期符合水庫(kù)流域的暴雨徑流特征。汛后過渡期(7月上旬)的各項(xiàng)指標(biāo)位于主汛期和汛后期的過渡狀態(tài)。盡管汛前過渡期(4月中旬-6月上旬)與汛前期(3月上旬-4月上旬)的旬雨量和入庫(kù)水量差異較小，但汛前過渡期的暴雨日數(shù)和最大日流量與汛前期存在較大差異，說(shuō)明汛前過渡期與汛前期的總降雨和徑流量差異不大，但汛前過渡期存在較多的暴雨事件，形成的最大日流量明顯大于汛前期，反映其水文氣象特征的過渡特性，因此4月中旬-6月上旬劃分為汛前的過渡期也較為合理。汛前(3月上旬-4月上旬)和汛后期(7月中旬-9月下旬)的各項(xiàng)水文氣象指標(biāo)均為最小值，因此各劃分為單獨(dú)的一期。因此，數(shù)理統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果與本文使用Fisher最優(yōu)分割結(jié)果是一致的，反映本文分期結(jié)果的合理性。

2.3.3 系統(tǒng)聚類

本文采用系統(tǒng)聚類法[2,3]對(duì)七一水庫(kù)的汛期進(jìn)行聚類分析，基于旬最大日流量、旬平均日流量、旬暴雨日數(shù)、旬最大日雨量、旬最大3日雨量和旬雨量和等6個(gè)指標(biāo)的層次聚類結(jié)果如圖5。圖示可知，研究樣本可劃分為4類，分別為{11，12}，{5，7～10，13}，{1～4，6}，{14～21}，對(duì)應(yīng)時(shí)期為{6月中下旬}、{4月中旬，5月-6月上旬，7月上旬}、{3月-4月上旬，4月下旬}、{7月中旬-9月}?；谙到y(tǒng)聚類的結(jié)果與基于Fisher最優(yōu)分割的分期結(jié)果基本上是一致的，其中第一類{6月中下旬}為主汛期，第二類{4月中旬，5月-6月上旬，7月上旬}以主汛期為界，劃分為汛前過渡期{4月中旬-6月上旬}和汛后過渡期{7月上旬}，第三類{3月-4月上旬，4月下旬}中的{3月-4月上旬}為汛前期，{4月下旬}劃分至汛前過渡期，第四類{7月中旬-9月}為汛后期。

3 結(jié)論與建議

(1)通過對(duì)七一水庫(kù)汛期分期計(jì)算及分析，認(rèn)為主成分分析法、熵權(quán)法和變異系數(shù)法確定指標(biāo)的權(quán)重均適用于Fisher最優(yōu)分割在水庫(kù)汛期分期。計(jì)算結(jié)果表明，3種方法計(jì)算的權(quán)重存在一定的差異，但這種差異對(duì)最終的分期結(jié)果的影響較小。

(2)就3種方法確定指標(biāo)權(quán)重而言，變異系數(shù)法和熵權(quán)法更適用于指標(biāo)權(quán)重的確定。變異系數(shù)法和熵權(quán)法量化了指標(biāo)的不確定性程度，兩者計(jì)算的指標(biāo)權(quán)重較為一致，較好的區(qū)分出暴雨日數(shù)、流量、雨量等不同指標(biāo)的差異；主成分分析方法計(jì)算的各指標(biāo)之間的權(quán)重差異較小，難以揭示不同水文氣象指標(biāo)的差異性。

(3)不同算法所得的指標(biāo)權(quán)重結(jié)果應(yīng)用于七一水庫(kù)汛期分期計(jì)算，其采用Fisher最優(yōu)分割法的結(jié)果與數(shù)理統(tǒng)計(jì)、系統(tǒng)聚類等方法的分析結(jié)果一致，可為水庫(kù)汛期優(yōu)化調(diào)度提供參考。

(4)通過對(duì)確定指標(biāo)權(quán)重的3種方法計(jì)算表明，今后汛期分期工作中可以對(duì)權(quán)重算法所得的指標(biāo)變異系數(shù)進(jìn)行分析，從而為后期優(yōu)選適宜于該流域汛期分期的關(guān)鍵指標(biāo)提供參考。

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