矩陣初等變換的應(yīng)用舉例

摘?要：矩陣的初等變換是高等代數(shù)的重要組成部分，其思想貫穿于高等代數(shù)的始終，在矩陣的理論研究中占有非常重要的地位。而大部分的《高等代數(shù)》教科書理論性很強(qiáng)，例題很少，學(xué)生學(xué)起來(lái)比較吃力，本文主要舉例探討初等變換在矩陣的逆、矩陣的秩、線性方程組的解、向量組的線性相關(guān)性、二次型的標(biāo)準(zhǔn)化等方面的應(yīng)用，以供高代初學(xué)者一個(gè)學(xué)習(xí)參考。

關(guān)鍵詞：初等變換;逆矩陣;矩陣的秩;相關(guān)性;二次型標(biāo)準(zhǔn)化

1 緒論

在高等代數(shù)中，數(shù)域P上的矩陣的初等變換是指下列三種變換：[1]

由行列式的性質(zhì)知，每個(gè)方陣做初等變換后不改變方陣的行列式的非零性，因此可以通過(guò)對(duì)方陣做初等變換來(lái)判斷原矩陣是否可逆。當(dāng)然，這僅僅是矩陣初等變換的簡(jiǎn)單應(yīng)用，它在高等代數(shù)的主要應(yīng)用體現(xiàn)在以下幾點(diǎn)：求矩陣的逆、求矩陣的秩，求向量組的極大線性無(wú)關(guān)組以及線性相關(guān)性，求線性方程組的解，二次型的標(biāo)準(zhǔn)化等。

2 矩陣初等變換的應(yīng)用

2.1 求矩陣的逆矩陣

說(shuō)明：在求逆矩陣的過(guò)程中，初等行變換和初等列變換，只能使用某一種，不能同時(shí)用兩種方法。

2.2 初等行變換法求矩陣的秩

對(duì)于任給的矩陣，利用初等行變換化成行階梯型矩陣，那么階梯型矩陣中非零行的數(shù)目就是矩陣的秩。

2.3 求線性方程組的解

求解非齊次線性方程組一般解的步驟為：

3 結(jié)語(yǔ)

本文僅介紹初等變換在求矩陣的逆、矩陣的秩、向量組的線性相關(guān)性，線性方程組的解、二次型的標(biāo)準(zhǔn)化等方面的應(yīng)用，它還有許多應(yīng)用，這就要求我們?cè)诟叩却鷶?shù)的學(xué)習(xí)和教學(xué)中要注意歸納總結(jié)。

參考文獻(xiàn)：

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[4]李坤金.高等代數(shù)（第三版）全程輔導(dǎo)及習(xí)題精解[M].北京：中國(guó)水利水電出版社，2012.2.

作者簡(jiǎn)介：陳小燕（1982—?），女，海南臨高人，本科，碩士，講師，研究方向：基礎(chǔ)數(shù)學(xué)、數(shù)論。