帶跳的McKean-Vlasov隨機(jī)微分方程解的存在唯一性

王 如， 馬 麗，2*

（1.海南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，海南 ?？?571158；2.海南師范大學(xué) 海南省數(shù)學(xué)研究中心，海南 ?？?571158）

隨機(jī)模型在很多科學(xué)和工程的分支中起著重要的作用，例如隨機(jī)控制、自動(dòng)化、生物數(shù)學(xué)、濾波等。隨機(jī)微分方程本質(zhì)上是帶有隨機(jī)項(xiàng)和隨機(jī)系數(shù)的偏微分方程，若隨機(jī)微分方程的系數(shù)依賴于分布，則稱之為McKean-Vlasov 隨機(jī)微分方程，又稱為分布依賴的隨機(jī)微分方程或Mean-field隨機(jī)微分方程，該方程最早出現(xiàn)在文獻(xiàn)[1-2]中。研究該方程的困難之處在于系數(shù)依賴于測(cè)度，因此隨機(jī)微分方程經(jīng)典的方法不能用，例如，在研究解的存在唯一性時(shí)要考慮測(cè)度空間及合適的度量。此外，該方程可看作交互粒子的極限，由于粒子有交互作用，因此蒙特卡洛方法不適用，研究該方程具有一定的挑戰(zhàn)性。

目前已有大量文獻(xiàn)研究了由布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的McKean-Vlasov隨機(jī)微分方程解的存在唯一性。在系數(shù)連續(xù)、局部有界、局部Lyapunov條件下，文獻(xiàn)[3]用了局部化的方法得到了D?Rd上的McKean-Vlasov隨機(jī)微分方程的弱解的存在唯一性，此外，在全局Lyapunov條件下得到了弱解的唯一性。當(dāng)擴(kuò)散系數(shù)是非退化的，漂移系數(shù)和擴(kuò)散系數(shù)關(guān)于空間變量滿足某些可積性條件，關(guān)于測(cè)度變量滿足Lipschitz 條件時(shí)，文獻(xiàn)[4]得到了強(qiáng)解的存在唯一性。當(dāng)系數(shù)關(guān)于測(cè)度變量在弱收斂的拓?fù)湎逻B續(xù)，關(guān)于空間變量滿足線性增長(zhǎng)條件、擴(kuò)散系數(shù)非退化條件下，通過(guò)對(duì)分布迭代，文獻(xiàn)[5]得到了弱解的存在唯一性。在方程系數(shù)關(guān)于空間變量滿足線性增長(zhǎng)，擴(kuò)散矩陣一致非退化條件下，文獻(xiàn)[6]通過(guò)系數(shù)光滑化、Krylov估計(jì)、矩的估計(jì)及Skorokhod表示定理得到了弱解的存在性。文獻(xiàn)[7]在系數(shù)為有界且聯(lián)合連續(xù)，擴(kuò)散項(xiàng)為非退化的條件下，得到了帶有公共噪音的McKean-Vlasov隨機(jī)微分方程弱解的存在唯一性。

關(guān)于帶跳測(cè)度的McKean-Vlasov隨機(jī)微分方程解的正則性方面的文獻(xiàn)不多。在擴(kuò)散系數(shù)與漂移系數(shù)均是有界的且滿足全局Lipschitz 條件，跳測(cè)度的系數(shù)滿足線性增長(zhǎng)條件且有界的條件下，文獻(xiàn)[8]得到了解的存在唯一性。文獻(xiàn)[9]研究了由α-stable過(guò)程驅(qū)動(dòng)的McKean-Vlasov 隨機(jī)微分方程。在α-stable項(xiàng)的系數(shù)為1，漂移系數(shù)有界、關(guān)于測(cè)度滿足Lipschitz連續(xù)、關(guān)于空間變量滿足H?lder連續(xù)的條件下，借助于Krylov估計(jì)、Prohov定理及Skorohod表示定理得到了弱解的存在性，再由逐軌道唯一性得到強(qiáng)解的存在唯一性。文獻(xiàn)[10]在方程系數(shù)滿足全局Lipschitz條件和線性增長(zhǎng)條件下得到了由Lévy過(guò)程驅(qū)動(dòng)的McKean-Vlasov隨機(jī)微分方程解的存在唯一性，并證明了It?公式。

本研究考慮了帶跳測(cè)度的McKean-Vlasov 隨機(jī)微分方程的解的存在唯一性，在系數(shù)滿足連續(xù)性及局部有界性的條件下，用局部化的方法，結(jié)合It?公式、弱收斂、Skorohod表示定理等工具，得到了弱解的存在唯一性。本研究創(chuàng)新點(diǎn)如下：首先，把文獻(xiàn)[10]的全局Lipschitz條件推廣到局部Lipschitz條件，構(gòu)造了截?cái)嗪瘮?shù)，此截?cái)嗪瘮?shù)滿足文獻(xiàn)[10]的條件，因此對(duì)部分過(guò)程可以用It?公式，進(jìn)而用局部化的方法得到了弱解的存在唯一性；其次，把文獻(xiàn)[9]中的模型推廣到帶跳測(cè)度項(xiàng)，在跳測(cè)度滿足一定條件下，得到弱解的存在唯一性。本研究不要求擴(kuò)散項(xiàng)系數(shù)的非退化性，允許方程中含有跳測(cè)度，從而拓展了McKean-Vlasov的隨機(jī)微分方程解的存在唯一性方面的結(jié)果。

本研究安排如下：第一節(jié)首先給出一些符號(hào)和定義，并證明弱解的存在性。第二節(jié)證明弱解的唯一性。

1 弱解的存在性證明

2 弱解的唯一性證明