帶加性噪聲的隨機(jī)波動(dòng)方程的慣性流形逼近

李 琴，陳光淦

1. 四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院/可視化計(jì)算與虛擬現(xiàn)實(shí)四川省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，成都 610068； 2. 四川省江油中學(xué)，四川 江油 621700

波動(dòng)方程是最重要的數(shù)學(xué)物理方程之一，它是關(guān)于時(shí)間的二階偏微分方程，描述了振動(dòng)在介質(zhì)中的傳播，在光波、聲波和水波等自然現(xiàn)象中被廣泛研究．慣性流形和穩(wěn)定流形等不變流形刻畫(huà)了系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特征和有效行為．文獻(xiàn)[1]證明了隨機(jī)波動(dòng)方程不變流形的存在性：文獻(xiàn)[2]研究了隨機(jī)波動(dòng)方程的慣性流形的存在性．

本文考慮帶加性白噪聲的隨機(jī)波動(dòng)方程

u(0，x)=u0(x)，ut(0，x)=u1(x)，u(t，0)=u(t，π)=0

(1)

其中：ν>0，D=[0，π]，W(t)是雙邊的L2(D)值的Q-維納過(guò)程，其協(xié)方差算子Q滿足trQ<∞．假設(shè)非線性項(xiàng)f在L2(D)上是全局Lipschitz連續(xù)的，并且Lipschitz常數(shù)是Lf．

由于維納過(guò)程W(t)處處連續(xù)，處處不可導(dǎo)，文獻(xiàn)[3-4]從數(shù)值模擬與計(jì)算角度研究了隨機(jī)微分方程的逼近：文獻(xiàn)[5]用光滑的Φε(t)去近似不光滑的W(t)，得到隨機(jī)微分方程的刻畫(huà)：文獻(xiàn)[6]通過(guò)一類(lèi)平穩(wěn)過(guò)程研究了Wong-Zakai型的近似．

考慮近似隨機(jī)系統(tǒng)

(2)

1 預(yù)備知識(shí)

其中Lf為L(zhǎng)ipschitz常數(shù)．

令

其中I為恒等算子．

方程(1)等價(jià)于下面的方程組

(3)

其中(u，v)Τ∈E．

方程(2)等價(jià)于下面的方程組

(4)

設(shè)

由ek的正交性，容易驗(yàn)證E1⊥E22，E-1⊥E22．再由文獻(xiàn)[8]可知，在E11和E22上定義新內(nèi)積

有E1⊥E-1，那么E1⊥E2．顯然，E1⊕E2=E．那么算子A滿足下面條件(指數(shù)二分性)：

‖eAtP1x‖E≤Keαt‖x‖E，t≤0

‖eAtP2x‖E≤Keβt‖x‖E，t≥0

(5)

其中β<α<0，K>0，I=P1+P2．記E1=P1E和E2=P2E．

定義1設(shè)(Ω，F(xiàn)，P)是一個(gè)完備概率空間，θ={θt}t∈R是Ω上的變換族，定義映射

如果映射θt滿足如下條件

則稱(chēng)(Ω，F(xiàn)，P，θ)為驅(qū)動(dòng)動(dòng)力系統(tǒng)．

定義2設(shè)(H，dH)是一個(gè)完備度量空間，如果映射

滿足下面性質(zhì)

φ(0，ω，x)=x

φ(t+τ，ω，x)=φ(t，θtω，φ(t，ω，x))，τ∈R，ω∈Ω，x∈H

則稱(chēng)θ和φ構(gòu)成的二元組(θ，φ)為一個(gè)隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)．

定義3對(duì)于隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)φ(t，ω，x)，如果對(duì)任意的t≥0，ω∈Ω，有

φ(t，ω，M(ω))?M(θtω)

那么隨機(jī)集M(ω)稱(chēng)為正不變集．

考慮一個(gè)Langevin方程

(6)

它具有軌道不變性和測(cè)度不變性[9]．定義

由文獻(xiàn)[10]知，(u*(ω)，v*(ω))Τ和(X*(ω)，Y*(ω))Τ分別是下面線性方程組的唯一穩(wěn)態(tài)解

(7)

(8)

實(shí)際上

(9)

(10)

存在且分別生成下面的穩(wěn)態(tài)解

(11)

(12)

定義如下非線性函數(shù)

那么gi(i=1，2)與f有相同的Lipschitz常數(shù)．

考慮下面的方程組

(13)

(14)

引入變換

T(ω，(u，v)Τ)=(u，v)Τ-(u*(ω)，v*(ω))Τ

T-1(ω，(u，v)Τ)=(u，v)Τ+(u*(ω)，v*(ω))Τ

Tε(ω，(Xε，Yε)Τ)=(Xε，Yε)Τ-(X*(ω)，Y*(ω))Τ

T-1，ε(ω，(Xε，Yε)Τ)=(Xε，Yε)Τ+(X*(ω)，Y*(ω))Τ

和

是隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)，對(duì)任意(u，v)Τ∈E和(Xε，Yε)Τ∈E，過(guò)程

和

分別是(3)式和(4)式的解．

2 慣性流形的Wong-Zakai型逼近

和

定義Banach空間

其范數(shù)為

引理3[2]如果Lf滿足

(15)

那么方程組(13)有不變的Lipschitz流形

ME(ω)={(ξ，h(ξ，ω))|ξ∈E1}

進(jìn)一步，如果

(16)

那么ME(ω)是方程組(13)的隨機(jī)慣性流形，其中Lh為h(ξ，ω)的Lipschitz常數(shù)．

用文獻(xiàn)[2]中類(lèi)似的方法可得到方程組(14)的慣性流形如下．

引理4[2]如果Lf滿足(15)式，那么方程組(14)有不變的Lipschitz流形

MEε(ω)={(ξ，hε(ξ，ω))|ξ∈E1}

進(jìn)一步，如果(16)式成立，那么MEε(ω)是方程組(14)的隨機(jī)慣性流形．

(17)

(18)

(19)

對(duì)應(yīng)的隨機(jī)慣性流形的Lispchitz映射為

(20)

相應(yīng)地，對(duì)(Xε，Yε)Τ作如下變換

(21)

(22)

(23)

對(duì)應(yīng)的隨機(jī)慣性流形的Lispchitz 映射為

(24)

證由方程組(11)和(12)有

(25)

記不等式(25)的最后一個(gè)不等號(hào)后的兩個(gè)加式分別為I1，I2．對(duì)I1，由分部積分得

(26)

證由(19)和(23)式，有

(27)

在(27)式不符項(xiàng)中同乘e-ηt，有

那么

而

所以

由引理4，可得

因此

證首先當(dāng)ε→0時(shí)由慣性流形映射(24)和(20)式，有