一類帶交叉擴(kuò)散項的捕食-食餌模型全局分歧研究

宋倩倩，李艷玲

陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，西安 710119

近年來，隨著種群生態(tài)學(xué)的發(fā)展，捕食系統(tǒng)已經(jīng)成為數(shù)學(xué)和生物學(xué)領(lǐng)域的一個重要課題，據(jù)此研究者已經(jīng)建立了包括Lotka-Volterra模型、比率型、Holling-Leslie模型等在內(nèi)的多種捕食食餌模型．文獻(xiàn)[1]給出如下帶有擴(kuò)散項的Holling-Leslie捕食食餌模型

(1)

文獻(xiàn)[1]主要研究該系統(tǒng)周期軌道的存在性和非常數(shù)正解的全局穩(wěn)定性．文獻(xiàn)[2]主要研究系統(tǒng)(1)中b=1的情況下正解存在性與其分歧解的局部和全局穩(wěn)定性．

其次，種群間的相互影響在種群擴(kuò)散中起著非常重要的作用[6-12]．其中：文獻(xiàn)[6]解釋了一類具有交叉擴(kuò)散項的生物意義并討論捕食食餌模型非常數(shù)正解存在性：文獻(xiàn)[7-8] 研究了一類帶交叉擴(kuò)散項的的局部分歧正解情況：文獻(xiàn)[9]研究了空間不均勻環(huán)境下帶交叉擴(kuò)散項的Lotka-Volterra競爭模型正解問題．然而目前在齊次Dirichlet邊界條件下研究帶有交叉擴(kuò)散項和優(yōu)化的Leslie-Gower型反應(yīng)函數(shù)系統(tǒng)的研究工作所見不多．故本文受文獻(xiàn)[4，7-8]的啟發(fā)在文獻(xiàn)[1]的基礎(chǔ)上研究如下帶有修正的Leslie-Gower模型和交叉擴(kuò)散項的競爭模型

(2)

其中：Δ為Lapalce算子：Ω為Rn中具有光滑邊界的有界開區(qū)域：u，v分別表示食餌和捕食者的種群密度：α，β，a，b，m，k都是正常數(shù)，α和β代表交叉擴(kuò)散系數(shù)，a和b分別表示食餌種群和捕食者種群的內(nèi)稟增長率，齊次的Dirichlet邊界條件意味著兩個物種的居住區(qū)域Ω被一個敵對的環(huán)境所包圍．

在食物嚴(yán)重缺乏的情況下區(qū)別于模型(1)的反應(yīng)函數(shù)，模型(2)中優(yōu)化的Leslie-Gower型反應(yīng)函數(shù)表明，即使食餌數(shù)量急劇減少也不會對捕食者數(shù)量的增長產(chǎn)生較大的影響．此外，模型(2)中還增加了二者之間的交叉擴(kuò)散項，這使模型更具有實際的生物意義．

1 正解的先驗估計

-μΔψ+q(x)ψ=λψ，x∈Ω：ψ=0，x∈?Ω

λ1(q(x))關(guān)于q(x)遞增．記λ1(0)=λ1，對應(yīng)的主特征函數(shù)記作ψ1(ψ1>0，x∈Ω)．

考慮非線性邊值問題

-Δu=u(a-u)，x∈Ω：u=0，x∈?Ω

(3)

若a<λ1，則u=0是(3)式的唯一非負(fù)解：若a>λ1，則(3)式有唯一正解，記為θa，θa關(guān)于a單調(diào)遞增．

同理，考慮非線性邊值問題

-Δv=v(b-βv)，x∈Ω：v=0，x∈?Ω

(4)

若b<λ1，則v=0是(4)式的唯一非負(fù)解：若b>λ1，則(4)式有唯一正解，記為θb，θb關(guān)于b單調(diào)遞增．以上結(jié)論可參考文獻(xiàn)[13]．

令

U=(1+αv)uV=(1+βu)v

由于

(5)

引理1若a≤λ1或者b≤λ1，則方程(5)沒有正解．

證假設(shè)方程(5)有正解(U，V)，由方程(5)關(guān)于U的方程可得

兩邊同乘U，在Ω上積分，結(jié)合Green公式得

引理2若a，b>λ1，(U，V)是方程(5)的任一正解，則對于任意的x∈Ω，有

0

由于

從而有

進(jìn)而有v(x0)

U(x)≤U(x0)=(1+αv(x0))u(x0)<(1+αau(x0))u(x0)≤a(1+αa2)

同理可得

v(x1)

V(x)≤V(x1)=(1+βu(x1))v(x1)≤(1+βM(a))·b(k+a)

從而定理得證．

2 分歧正解的存在性

由于分歧正解的存在性與特征值問題密切相關(guān)，因此在討論分歧正解的存在性之前給出兩個與分歧正解存在性相關(guān)的特征值引理．

令

其中(u，v)是(U，V)的函數(shù)，將(3)式在(U，V)=(θa，0)處Taylor展開得

(6)

其中(6)式中偏導(dǎo)數(shù)均為(θa，0)處的導(dǎo)數(shù)值，Qi(a：U-θa，V)滿足Qi(a：U-θa，V)(0，0)=0，i=1，2，且有

定理1設(shè)a>λ1，b>λ1，則(a*：θa，0)∈R+×X為系統(tǒng)(5)的分歧點，且在(a*：θa*，0)的鄰域內(nèi)存在正解，即

Γ*={(a(s)：θa*+s(φ*+φ1(s))，s(ψ*+ψ1(s)))：0

(7)

(8)

因此算子L(a*：0，0)的核空間N(L(a*：0，0))=span{(φ*，ψ*)T}．令L*(a*：0，0)為L(a*：0，0)的自伴算子，經(jīng)計算L*(a*：0，0)(φ，ψ)=0等價于

(9)

因此得

dimN(L(a*：0，0))=1 codimR(L(a*：0，0))=1

(10)

那么有

兩邊同時乘ψ*，然后在Ω上積分，結(jié)合Green公式得

由于

所以有

(11)

由于θa關(guān)于a嚴(yán)格單調(diào)遞增，則(11)式左邊大于0．從而矛盾，即L1(a*：0，0)(φ*，ψ*)?R(L(a*：0，0))．

同理可得發(fā)自半平凡解分支(a*：0，kθb)的局部分歧正解．

定理2設(shè)a，b>λ1，則(a*：0，kθb)∈R+×X為系統(tǒng)(5)的分歧點，且在(a*：0，kθb)的鄰域內(nèi)存在正解，即

Γ*={(a(s)：s(φ*+φ2(s))，θb+s(ψ*+ψ2(s)))：0

3 局部分歧解的延拓

定理3若a，b>λ1，則由定理1給出的分歧正解Γ*在正錐P內(nèi)可延拓為全局分歧，并且存在常數(shù)a∞充分大，使得當(dāng)a>a∞時，全局分歧曲線隨參數(shù)a延伸到無窮．

證(7)式等價于

(12)

(13)

(14)

若η≡0，由算子(-μΔ-a+2θa)可逆知ξ≡0，矛盾，則η≠0．令

令a>a*，?μ≥1，i≥0有λi(μ，ha*)≥λ2(μ，ha*)>λ1(1，ha*)．因此，K′(a)沒有大于或等于1的特征值．此時有i(K(a：·)，0)=1．

(15)

其中

下面證μ1的代數(shù)重數(shù)為1．只需證

R(μ1I-K′(a))∩N(μ1I-K′(a))=0

即

(16)

(17)

另外，結(jié)合(16)式可得

與ha<0矛盾．故μ1的代數(shù)重數(shù)為1．因此當(dāng)a*-γ

C1=C0-{(a(s)：s(φ*+φ1(s))，s(ψ*+ψ1(s)))：-σ

則C為系統(tǒng)(5)由(a*：θa*，0)的解曲線，在(a*：θa*，0)的小鄰域內(nèi)有C∈P，而且分支C-{(a*：θa*，0)}滿足下列條件之一：

2)C在R+×P內(nèi)由(a*：θa*，0)延伸到∞．

下面證明C-{(a*：θa*，0)}?P．假設(shè)C-{(a*：θa*，0)}P，則存在點和序列{an，Un，Vn}?C∩P，Un>0，Vn>0，使得n→∞時，(an，Un，由于(un，vn)和(Un，Vn)之間存在一一對應(yīng)的關(guān)系知(un，vn)(θa，0)．因此或

通過以上討論知3)成立，即C-{(a*：θa*，0)}?P．因為‖Un‖∞，‖Vn‖∞有界．則全局分歧曲線只能沿參數(shù)a延伸到∞．

注2注意到(u，v)≥(0，0)和(U，V)≥(0，0)之間存在一一對應(yīng)的關(guān)系，由定理1和定理2知模型(5)存在分歧正解．

4 平凡解和半平凡解的穩(wěn)定性

本節(jié)參考文獻(xiàn)[14]的方法主要分析了系統(tǒng)(5)的平凡解和半平凡解的穩(wěn)定性．顯然系統(tǒng)(5)的平凡解是(0，0)，半平凡解是(θa，0)(a>λ1)，(0，kθb)(b>λ1)．

定理41) 若a<λ1且b<λ1，則平凡解(0，0)是漸近穩(wěn)定的：相反地，若a>λ1或者b>λ1，則平凡解(0，0)是不穩(wěn)定的．

證因為3種情況的證明過程相似，所以在此只證定理4中的情況(2)．由線性化原理知，(θa，0)的穩(wěn)定性由下面特征值問題決定

(18)

由于(18)中的方程不是完全對稱的，需要考慮下面兩個特征值問題

(19)

和

(20)

由文獻(xiàn)[14]知(18)式的特征值是(19)式和(20)式的組合．分別記(19)式和(20)式的特征值為λ*和λ*，則有

λ*=λ1(2θa-a)>λ1(θa-a)=0

為了研究λ*，因V=(1+βu)v，則由主特征值的變分原理得