拓撲優(yōu)化在結(jié)構(gòu)工程中的應用

高文俊 呂西林

（1.同濟大學土木工程防災國家重點實驗室，上海200092；2.同濟大學結(jié)構(gòu)防災減災工程系，上海200092）

0 引 言

為了實現(xiàn)結(jié)構(gòu)創(chuàng)新以滿足新的社會需求，從20世紀70年代開始，結(jié)構(gòu)工程不斷吸收與融合工程力學、計算機科學、材料學、機電控制、信息工程、智能技術(shù)等學科的先進技術(shù)，從而極大地豐富了自身的內(nèi)涵并取得了許多創(chuàng)新成果。在這些跨學科技術(shù)方法中，拓撲優(yōu)化（Topology Optimization）尤為引人注目。拓撲優(yōu)化自誕生起經(jīng)歷長期發(fā)展與完善，在結(jié)構(gòu)創(chuàng)新中逐漸顯露出自身獨特的優(yōu)勢與可持續(xù)性，促進了前沿物理、聲學、光學、航空航天、機械制造、結(jié)構(gòu)工程等諸多領域的技術(shù)進步與發(fā)展。在2000 年以后，隨著計算機性能的大幅度提升和并行計算技術(shù)的進一步發(fā)展與普及，拓撲優(yōu)化的應用范圍進一步擴大：從比較簡單的二維平面應力問題，推廣到復雜的三維問題［1］；從靜力學問題，推廣到動力學問題［2］；從單一物理場問題，推廣到多物理場耦合問題［3］。尤其是近10 年來，越來越多的工程結(jié)構(gòu)借鑒了拓撲優(yōu)化的結(jié)果，拓撲優(yōu)化已成為工程結(jié)構(gòu)創(chuàng)新的有力工具。主要的拓撲優(yōu)化數(shù)值方法可分為基結(jié)構(gòu)法［4］、均勻化方法［5］、密度法［6］以及水平集法［7］等；其中，基結(jié)構(gòu)法主要用于桁架桿系結(jié)構(gòu)的優(yōu)化，而均勻化方法、密度法以及水平集法主要用于連續(xù)體結(jié)構(gòu)的優(yōu)化，詳細的拓撲優(yōu)化方法介紹可以參考綜述文獻［8］。

對于工程結(jié)構(gòu)而言，拓撲優(yōu)化的研究對象是結(jié)構(gòu)材料在三維空間內(nèi)的分布形式。無論是尺寸優(yōu)化還是形狀優(yōu)化都需要一個給定的結(jié)構(gòu)布置形式，并且這個給定的結(jié)構(gòu)布置形式在優(yōu)化過程中不會發(fā)生拓撲變化，既不會出現(xiàn)新的孔洞，也不會改變既有構(gòu)件的連接方式。在傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)設計過程中，結(jié)構(gòu)的布置形式往往依據(jù)設計人員的工程經(jīng)驗給出，從而具有主觀性。而拓撲優(yōu)化并不需要這樣一個既定的結(jié)構(gòu)布置，并且在優(yōu)化過程中允許結(jié)構(gòu)的拓撲性質(zhì)不斷發(fā)生變化，最終給出優(yōu)化結(jié)果。

在結(jié)構(gòu)理論層面，拓撲優(yōu)化結(jié)果能夠加深對“最優(yōu)”結(jié)構(gòu)形式的理解與認知。例如，Sigmund等［9］基于拓撲優(yōu)化的數(shù)值結(jié)果指出：對于各向同性材料而言，類似Michell桁架（實際上，Michell桁架并不是一般意義上的桁架，而是一種非均勻各向異性連續(xù)體）的二力桿系結(jié)構(gòu)并不總是最小化柔順度問題（minimal compliance problem）的最優(yōu)解；該問題的最優(yōu)解在二維或者三維情況下有可能是變厚度的板殼連續(xù)體結(jié)構(gòu)；而類似Michell 桁架的優(yōu)化結(jié)果是由于有限元網(wǎng)格劃分不夠精細或者約束了構(gòu)件的最小尺度（minimum length-scale）導致的。Aage 等［10］基于密度法對單元量級在千兆（10 億）的機翼結(jié)構(gòu)以剛度最大為目標進行拓撲優(yōu)化，其優(yōu)化結(jié)果表明機翼最優(yōu)的結(jié)構(gòu)形式由桿件、曲面肋板、連續(xù)的變厚度墻體復合而成。Sigmund 與Aage 的研究表明在邊界條件和設計域較為復雜的情況下，高效的結(jié)構(gòu)具有較為復雜的組成形式，并且可能包含曲面形式的連續(xù)體。

近年來，通過與具體的工程問題結(jié)合，拓撲優(yōu)化在結(jié)構(gòu)工程領域內(nèi)涌現(xiàn)出許多新的應用。針對不同的工程問題，這些應用主要可以歸納為以下四個方面：①混凝土構(gòu)件的配筋；②結(jié)構(gòu)構(gòu)件的布置；③結(jié)構(gòu)構(gòu)件的形態(tài)優(yōu)化；④結(jié)構(gòu)找形。通過拓撲優(yōu)化得到的配筋布置形式能夠提高混凝土構(gòu)件的承載力。設計純框架結(jié)構(gòu)中支撐的布置位置以及選擇超高層建筑結(jié)構(gòu)中伸臂桁架所在的樓層則屬于結(jié)構(gòu)構(gòu)件的布置問題，這類問題也可以利用拓撲優(yōu)化獲得合理的布置方案。而對結(jié)構(gòu)構(gòu)件的形態(tài)進行拓撲優(yōu)化一方面可以減小構(gòu)件的自重，例如，對鋼梁腹板、翼緣板的開洞布置與開孔形狀進行優(yōu)化；另一方面也可以改善構(gòu)件的力學性能，例如，通過對金屬桿件的截面形式進行拓撲優(yōu)化從而提高桿件的屈曲臨界荷載。當拓撲優(yōu)化用于結(jié)構(gòu)找形時，則以結(jié)構(gòu)整體為優(yōu)化對象，得到指定條件下合理的結(jié)構(gòu)形式。如果拓撲優(yōu)化得出的結(jié)構(gòu)形態(tài)較為復雜，通常還需要工程師對優(yōu)化結(jié)果進行簡化與歸并，以便實際的施工與建造。這些應用為結(jié)構(gòu)設計與建造開拓了新思路，對更加高效的結(jié)構(gòu)形式進行了探索與嘗試。本文將對目前拓撲優(yōu)化技術(shù)在結(jié)構(gòu)工程領域內(nèi)的應用進行介紹。

1 拓撲優(yōu)化在結(jié)構(gòu)工程中的應用

1.1 鋼筋混凝土構(gòu)件配筋

在靜力荷載作用下并且允許的體積率較低時，拓撲優(yōu)化的結(jié)果往往接近純桿件構(gòu)成的桁架結(jié)構(gòu)。在文獻［11-12］中，這些類似桁架的拓撲優(yōu)化結(jié)果被視為鋼筋混凝土構(gòu)件在靜力作用下所形成的拉壓桿模型，可以簡潔地表達鋼筋混凝土構(gòu)件在既定荷載作用下的最優(yōu)傳力路徑。這些研究認為，依據(jù)優(yōu)化得到的拉壓桿模型，在拉桿處布設受拉鋼筋更為合理，但是這些研究在優(yōu)化的過程中沒有考慮鋼筋與混凝土的材料非線性，而把整個設計域視為各向同性的彈性體。文獻［11］采用漸近結(jié)構(gòu)優(yōu)化法，給出的算例以最小化結(jié)構(gòu)總重量為優(yōu)化目標，要求結(jié)構(gòu)的位移需小于設置的限值；優(yōu)化結(jié)果如圖1 所示，圖中給出了幾種簡單工況下的優(yōu)化結(jié)果以及所對應的拉壓桿模型。其中，優(yōu)化結(jié)果可能帶有繁雜的枝節(jié)，而實際應用中則希望配筋的布置盡可能簡潔，所以拉壓桿模型會根據(jù)優(yōu)化結(jié)果作進一步簡化。

圖1 拓撲優(yōu)化結(jié)果與拉壓桿模型［11］Fig.1 Results of topology optimization and strut-and-tie models［11］

Gaynor等［13］結(jié)合基結(jié)構(gòu)法與密度法使用拓撲優(yōu)化獲得鋼筋混凝土構(gòu)件的拉壓桿模型。在該研究中，混凝土與鋼筋分別用實體單元和桁架單元表示；混凝土區(qū)域與鋼筋部分同時進行優(yōu)化；以結(jié)構(gòu)整體應變能最小為優(yōu)化目標，并對使用的材料用量進行限制；給出的算例如圖2 所示，圖中黑色區(qū)域代表混凝土形成的壓桿，而紅色線條則表示鋼筋形成的拉桿。Yang 等［14］將Gaynor 使用的方法推廣到三維的情況。Amir［15］也采用了與Gaynor類似的方法，不同之處在于混凝土本構(gòu)中考慮了損傷機制。

圖2 用于構(gòu)建拉壓桿模型的混合拓撲優(yōu)化結(jié)果［13］Fig.2 Hybrid topology optimization results for generating strut-and-tie models［13］

1.2 結(jié)構(gòu)構(gòu)件的布置

拓撲優(yōu)化能夠進一步完善現(xiàn)有的結(jié)構(gòu)體系，對原有結(jié)構(gòu)體系中的結(jié)構(gòu)構(gòu)件布置給出更優(yōu)的方案。目前，這類應用主要體現(xiàn)在兩個方面：一方面是優(yōu)化高層建筑中伸臂桁架的布設位置；另一方面是優(yōu)化框架結(jié)構(gòu)中支撐的布置。對于高層建筑，如果只布設一道伸臂桁架，通過窮舉法可以找到最優(yōu)的布置位置；但是若需要布設多道伸臂桁架，使用窮舉法尋找最優(yōu)布設位置的計算代價通常難以接受，而使用拓撲優(yōu)化則有更高的效率。

Lee 等［16］把超高層建筑中所有可能布設伸臂桁架的位置視為設計域，如圖3 所示，該設計域由離散的桁架桿件組成，每層伸臂桁架桿件的橫截面積被視為設計變量，而伸臂桁架桿件的材料用量則作為約束條件，以風荷載作用下結(jié)構(gòu)整體應變能最小為目標進行優(yōu)化。Zhu 等［17］研究了隨機激勵下結(jié)構(gòu)動力響應的拓撲優(yōu)化問題。其中的一個算例采用了基結(jié)構(gòu)法研究了伸臂桁架布置位置的優(yōu)化問題，以最小化地面隨機激勵下結(jié)構(gòu)頂層水平位移響應的方差作為優(yōu)化目標，并對伸臂桁架構(gòu)件的總體積設置上限，通過優(yōu)化得到了布設伸臂桁架的最優(yōu)樓層位置。其研究表明最優(yōu)的布設位置取決于隨機激勵主要頻率與結(jié)構(gòu)自振頻率之間的關系。

圖3 設計域中伸臂桁架的初始布置［16］Fig.3 Initial layout of outriggers in the design domain［16］

Zhu 等［17］還對隨機激勵下框架結(jié)構(gòu)中支撐布置的拓撲優(yōu)化問題進行了研究。優(yōu)化問題將最小化結(jié)構(gòu)頂層水平位移響應的方差作為優(yōu)化目標，并對支撐材料的總用量設置了上限，采用基結(jié)構(gòu)法對支撐布置位置進行拓撲優(yōu)化。為了比較隨機動力優(yōu)化結(jié)果與等效靜力優(yōu)化結(jié)果之間的區(qū)別，Zhu 等［17］對具有相同立面構(gòu)形的框架，見圖4（a），進行了框架剛度、支撐尺寸以及樓層質(zhì)量這三方面的變化，從而獲得不同的測試模型?？蚣軇偠缺环譃閺姟⒅小⑷跞N等級；支撐尺寸被分為大、中、小三種等級；樓層質(zhì)量被分為大、中、小三種等級。因此，共有27 種測試模型，對每種測試模型分別進行隨機動力優(yōu)化與等效靜力優(yōu)化。圖4（b）展示了框架剛度等級為強、支撐尺寸等級為大、樓層質(zhì)量等級為中的框架在隨機動力優(yōu)化下得到的支撐布置結(jié)果；圖4（c）展示了框架剛度等級為強、支撐尺寸等級為大、樓層質(zhì)量等級為大的框架在隨機動力優(yōu)化下得到的支撐布置結(jié)果。圖4（b）與圖4（c）中的框架與支撐具有相同的剛度，但是由于圖4（c）中樓層質(zhì)量被放大，使得結(jié)構(gòu)周期延長，導致優(yōu)化結(jié)果的改變。然而，圖4（b）與圖4（c）對應的框架在等效靜力優(yōu)化中獲得了相同的結(jié)果，如圖4（d）所示。這表明，在該情況下隨機動力優(yōu)化并不能被等效靜力優(yōu)化所取代，二者有顯著區(qū)別。

圖4 隨機激勵下框架支撐布置的拓撲優(yōu)化［17］Fig.4 Topology optimization of brace placement in frames under stochastic excitation［17］

Gholizadeh 等［18］對框架結(jié)構(gòu)中支撐的布置位置進行離散拓撲優(yōu)化，優(yōu)化目標為最小化結(jié)構(gòu)的總重量，同時考慮了性能設計約束條件、構(gòu)件幾何尺寸約束條件以及構(gòu)件強度約束條件。其中，性能設計約束條件指根據(jù)不同性能水準下的性能指標定義的約束條件，為了使得優(yōu)化結(jié)果滿足指定的性能要求。這些與結(jié)構(gòu)性能設計相關的約束條件包括：層間位移角小于規(guī)范限值、柱構(gòu)件的塑性鉸轉(zhuǎn)角小于規(guī)范限值以及支撐的軸向變形小于規(guī)范限值。該研究中，拓撲設計變量獨立于梁、柱、支撐的幾何尺寸。如圖5（a）所示，對各樓層的每一跨框架可以定義兩個拓撲設計變量XTi和XTj，分別對應兩種可能的支撐布置位置。拓撲設計變量的值只允許取0或1；0代表該位置沒有支撐，而1 代表該位置有支撐。在優(yōu)化過程中，結(jié)構(gòu)的抗震性能通過推覆分析（Pushover Analysis）獲得。從支撐布置的優(yōu)化結(jié)果可以看出，如圖5（b）和圖5（c）所示，各樓層支撐并沒有在同一跨內(nèi)從上到下連續(xù)布置，而是隨樓層的不同而變化，相互之間交錯排布。

圖5 框架支撐布置的拓撲優(yōu)化［18］Fig.5 Topology optimization of brace placement in frames［18］

1.3 結(jié)構(gòu)構(gòu)件的形態(tài)優(yōu)化

拓撲優(yōu)化也可以用于改進結(jié)構(gòu)構(gòu)件的形態(tài)［19］，從而使得整體結(jié)構(gòu)獲得更好的性能。Briseghella 等［20］將拓撲優(yōu)化用于鋼箱梁底部翼緣的開孔設計，為了減輕一座組合梁橋的自重，如圖6 所示。拓撲優(yōu)化采用了密度法，以最小化結(jié)構(gòu)應變能為目標，限定了允許使用的最大材料用量。該橋因建造經(jīng)費問題而一度停工，再建時卻發(fā)現(xiàn)原設計方案難以滿足新的抗震設計規(guī)范。為保留已建成的下部結(jié)構(gòu)，唯有減輕橋梁上部結(jié)構(gòu)的重量。經(jīng)過拓撲優(yōu)化后，新的設計在保證橋梁承載力與剛度的同時顯著降低了上部結(jié)構(gòu)的自重，從而減小了整體結(jié)構(gòu)的抗側(cè)力需求。

圖6 鋼箱梁底部翼緣開孔設計［20］Fig.6 Cavity design for the bottom flange of steel box girders［20］

Briseghella 等［21］還將基于密度法得到的拓撲優(yōu)化結(jié)果應用于鋼筋混凝土殼體的設計中，見圖7。在優(yōu)化過程中，通過調(diào)整殼體的材料分布，殼體受彎的區(qū)域逐漸減少，從而避免了拉應力的出現(xiàn)，有益于混凝土裂縫的控制；另一方面，優(yōu)化后的殼體有較大面積的開孔，可以減少結(jié)構(gòu)的材料用量。拓撲優(yōu)化也可以結(jié)合其他優(yōu)化策略與方法用于鋁制梁柱構(gòu)件的截面優(yōu)化［22］，如圖8 所示，從而增加構(gòu)件的剛度與穩(wěn)定性。Baandrup等［23］基于密度法對懸索橋的加勁梁進行拓撲優(yōu)化，優(yōu)化以最小化結(jié)構(gòu)應變能為目標，并限定了允許使用的最大材料用量，優(yōu)化結(jié)果見圖9。該研究認為，漸近分布的曲面肋板比等間距分布的平面肋板具有更高的結(jié)構(gòu)效率，從而可以通過減小肋板的厚度降低結(jié)構(gòu)的材料用量。但是，該研究沒有考慮肋板的穩(wěn)定性問題，過薄的肋板難以用于實際工程。

圖7 薄殼結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化［21］Fig.7 Topology optimization of thin-shell structures［21］

圖8 柱截面優(yōu)化結(jié)果［22］Fig.8 Optimization results of column cross-section profiles［22］

1.4 結(jié)構(gòu)找形

圖9 懸索橋大梁的拓撲優(yōu)化［23］Fig.9 Optimization results of girders in suspension bridges［23］

結(jié)構(gòu)找形的目的是為了找到合理高效的結(jié)構(gòu)形態(tài)。在結(jié)構(gòu)工程中，一個明確的結(jié)構(gòu)形態(tài)需包含以下三個要素：①構(gòu)件的幾何外形；2）構(gòu)件之間的連接關系；③構(gòu)件的空間位置。尺寸優(yōu)化和形狀優(yōu)化針對的只是構(gòu)件的幾何外形，通常能給出較為精細的結(jié)果。而拓撲優(yōu)化則同時涵蓋這三個層次，可以通過改變構(gòu)件之間的連接關系與空間位置提升結(jié)構(gòu)效率，從而成為結(jié)構(gòu)找形的方法之一。

當設計域劃分較為粗糙時，拓撲優(yōu)化結(jié)果很難在構(gòu)件層次上給出精細的幾何外形［24-25］，只能給出較為簡略的結(jié)構(gòu)形態(tài)，如圖10（a）（b）所示。當設計域劃分的精細程度提升以后，拓撲優(yōu)化結(jié)果可以清晰地展示所有的結(jié)構(gòu)細節(jié)，見圖10（c）。對于局部結(jié)構(gòu)或者結(jié)構(gòu)構(gòu)件的設計常使用精細的數(shù)值模型，從而獲得更加細致的結(jié)構(gòu)形狀與幾何信息。對于較為復雜的整體結(jié)構(gòu)，則可以使用較為粗略的數(shù)值模型以避免難以接受的計算代價。通常使用粗略的數(shù)值模型獲得的優(yōu)化結(jié)果無法提供精確的幾何信息，但拓撲優(yōu)化結(jié)果能夠給出合理高效的結(jié)構(gòu)形式，為設計人員在概念設計與初步設計階段提供有價值的參考。

圖10 不同精細度下的優(yōu)化結(jié)果Fig.10 Optimization results under different resolutions

一方面拓撲優(yōu)化可用于桁架結(jié)構(gòu)的找形［26-27］；另一方面拓撲優(yōu)化也可用于框架結(jié)構(gòu)體系中抗側(cè)力系統(tǒng)的找形［28-30］。文獻［28］采用了密度法對框架結(jié)構(gòu)的抗側(cè)力系統(tǒng)進行了拓撲優(yōu)化。優(yōu)化過程中，框架體系作為已知的結(jié)構(gòu)部分內(nèi)嵌于設計域中，在優(yōu)化過程中不發(fā)生變化，設計域單獨針對抗側(cè)力系統(tǒng)；拓撲優(yōu)化以最小化結(jié)構(gòu)應變能為目標，限定了允許使用的最大材料用量。Allahdadian等［29］使用時域方法考慮地震激勵下抗側(cè)力系統(tǒng)的優(yōu)化問題，采用密度法進行了拓撲優(yōu)化，目標函數(shù)為自定義的結(jié)構(gòu)位移范數(shù)在時域內(nèi)的積分，并研究了使用持時較短的脈沖信號替代真實地震波對優(yōu)化結(jié)果的影響。Qiao等［30］對具有不同抗側(cè)力系統(tǒng)的框架結(jié)構(gòu)進行了地震激勵下的非線性時程分析，并對比了結(jié)構(gòu)的損傷程度。圖11（a）是Qiao 等［30］使用拓撲優(yōu)化方法得到的典型框架抗側(cè)力系統(tǒng)。整個抗側(cè)力系統(tǒng)由相互斜交的桿件組成，每根桿件并不是直線而是曲線；此外，這些桿件的布置并不受到樓層或框架的約束，與支撐布置問題的優(yōu)化結(jié)果相比更加自由。圖11（b）是圖11（a）簡化后的結(jié)果，非線性時程分析中采用圖11（b）中的結(jié)構(gòu)與傳統(tǒng)的支撐框架（見圖11（c）和圖11（d））進行對比。圖11中圓點表示地震激勵下構(gòu)件的屈服位置。對比結(jié)果表明：在材料用量相同的情況下，按拓撲優(yōu)化結(jié)果進行支撐布置的框架其抗震性能優(yōu)于傳統(tǒng)的支撐框架，并且依據(jù)拓撲優(yōu)化結(jié)果設計的抗側(cè)力系統(tǒng)能使框架受到更少的損傷。徐佳琦等［31］基于連續(xù)體拓撲優(yōu)化對結(jié)構(gòu)的抗側(cè)力體系進行了研究，研究發(fā)現(xiàn)通過引入層間位移角限值約束后，拓撲優(yōu)化結(jié)果具有明確的支撐框架形態(tài)，并且避免了不易建造的細微結(jié)構(gòu)。

圖11 具有不同抗側(cè)力系統(tǒng)的框架在地震作用下的損傷［30］Fig.11 Seismic damage in the frames with different lateral load resisting systems［30］

超高層建筑結(jié)構(gòu)抗側(cè)力體系是決定超高層建筑結(jié)構(gòu)是否經(jīng)濟合理的關鍵［32］。近年來，超高層建筑呈現(xiàn)主要抗側(cè)力構(gòu)件周邊化、支撐化、巨型化和立體化的特點，對結(jié)構(gòu)效率的要求也越來越高。文獻［33-35］對于超高層建筑結(jié)構(gòu)抗側(cè)力體系進行拓撲優(yōu)化，從而衍生出新的結(jié)構(gòu)類型，促進了超高層建筑結(jié)構(gòu)抗側(cè)力體系的發(fā)展。Stromberg等［33］基于密度法對超高層建筑的外周結(jié)構(gòu)進行拓撲優(yōu)化，以結(jié)構(gòu)整體應變能最小為優(yōu)化目標，限制允許的最大材料用量，設計域為下方上圓的漸變筒體，優(yōu)化結(jié)果如圖12（a）所示，優(yōu)化后的外周結(jié)構(gòu)以重復漸變的斜交構(gòu)件為主要特征。Stromberg等［34］的研究表明：在各區(qū)間內(nèi)，巨型斜交桿件的最優(yōu)相交節(jié)點在該區(qū)間3∕4 高度的位置，如圖12（b）所示，并且這一結(jié)論與虛功原理的推導結(jié)果一致。文獻［35-37］得到了類似的優(yōu)化結(jié)果。

圖12 高層建筑抗側(cè)力系統(tǒng)找形Fig.12 Form finding of lateral force resisting system in tall buildings

以拓撲優(yōu)化結(jié)果為主要形態(tài)特征的外周結(jié)構(gòu)逐漸出現(xiàn)在超高層建筑的結(jié)構(gòu)設計方案中［32，38-41］。文獻［38-39］展示了外周結(jié)構(gòu)為斜交網(wǎng)格的超高層建筑結(jié)構(gòu)設計方案，如圖13（a）（b）所示。對于高約300 m 的塔樓，抗側(cè)力系統(tǒng)包括外圍的斜交網(wǎng)格以及內(nèi)部的鋼筋混凝土核心筒，兩者共同承擔豎向力和側(cè)向力。斜交網(wǎng)格形成的外周結(jié)構(gòu)使得結(jié)構(gòu)整體剛度較大，不需要設置環(huán)帶桁架或伸臂桁架即可滿足層間位移角的要求。此外，在外周結(jié)構(gòu)剛度足夠大的情況下，可以減小核心筒占用的面積，使內(nèi)部的建筑空間更加開闊。葛文澤［40］使用PERFORM-3D 軟件對圖13（a）中所示具有拓撲優(yōu)化結(jié)果特征的超高層結(jié)構(gòu)進行了抗震性能分析，研究了該結(jié)構(gòu)體系在地震作用下的塑性發(fā)展順序，對圖13（a）中所示結(jié)構(gòu)是否滿足實際工程要求進行了數(shù)值模擬檢驗，為將來可能的工程應用提供了參考信息。然而文獻［38-39］中展示的外周結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)工程中一般稱為米歇爾桁架，是斜交網(wǎng)格結(jié)構(gòu)在側(cè)向荷載作用下以結(jié)構(gòu)剛度最大為優(yōu)化目標的優(yōu)化結(jié)果。但是，如果考慮水平荷載和豎向荷載組合工況，則類似米歇爾桁架的斜交網(wǎng)格結(jié)構(gòu)不一定是超高層建筑外周結(jié)構(gòu)的最優(yōu)形式。因此，該問題的研究有待進一步完善。

Chung 等［41］展示的超高層建筑結(jié)構(gòu)設計方案中，外周結(jié)構(gòu)采用了更加簡潔的形式，見圖13（c）。該結(jié)構(gòu)形式與Stromberg 等［34］的優(yōu)化結(jié)果類似，側(cè)向荷載經(jīng)由斜交桿件傳遞至角柱。這些斜交桿件以軸向變形為主，具有較高的結(jié)構(gòu)效率，但會導致樓面梁有軸向力。陳才華等［42］對巨型斜撐框架-核心筒超高層結(jié)構(gòu)進行了模型振動臺試驗。試驗結(jié)果表明：以斜交桿件為特征的外周結(jié)構(gòu)不僅增加了整體抗側(cè)剛度，使剛度沿豎向的分布更均勻，同時增加了整體抗扭剛度。

圖13 超高層建筑抗側(cè)力系統(tǒng)設計Fig.13 Designs of lateral force resisting system in super tall buildings

2 未來的研究趨勢與發(fā)展方向

本文回顧了近年來拓撲優(yōu)化在結(jié)構(gòu)工程中的應用，涉及鋼筋混凝土構(gòu)件的配筋、結(jié)構(gòu)構(gòu)件的形態(tài)優(yōu)化與布置優(yōu)化以及結(jié)構(gòu)整體找形等多個層面，并對當前的發(fā)展現(xiàn)狀進行了介紹，為今后的應用與研究提供了較為豐富的參考文獻。在結(jié)構(gòu)工程的未來發(fā)展中，結(jié)構(gòu)設計會更加精細與合理，結(jié)構(gòu)形式將不斷優(yōu)化。其中，結(jié)構(gòu)創(chuàng)新是歷久彌新的主旋律，而拓撲優(yōu)化作為結(jié)構(gòu)創(chuàng)新的一種重要手段將為結(jié)構(gòu)工程的發(fā)展注入新的活力。特別是在非傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)設計與功能結(jié)構(gòu)設計中，拓撲優(yōu)化具有廣闊的應用前景。其中，具有價值的應用方向包括但不限于：

（1）設計受力復雜的構(gòu)件或者節(jié)點。鋼結(jié)構(gòu)網(wǎng)架的支承節(jié)點往往有多根桿件匯交，常采用半球狀鑄鋼連接節(jié)點，而高位斜撐—柱轉(zhuǎn)換支承節(jié)點常采用分叉樹枝狀鑄鋼連接節(jié)點，這類鑄鋼節(jié)點受力復雜設計難度高。目前，已有學者開展了探索性的研究［43］，將拓撲優(yōu)化應用于復雜節(jié)點的設計，以提高此類節(jié)點的整體性能。此外，拓撲優(yōu)化也可以應用于索桿結(jié)構(gòu)中典型節(jié)點的設計，從而獲得受力合理、形式新穎且具有美感的節(jié)點形態(tài)［44］。

（2）優(yōu)化需要大量重復制作的預制構(gòu)件，以及需要重復建設的基礎設施。由于需要重復制作或建造，減少結(jié)構(gòu)的材料用量能帶來巨大的經(jīng)濟效益。而拓撲優(yōu)化是提升結(jié)構(gòu)效率，減少結(jié)構(gòu)材料用量的有效方法。

（3）復雜結(jié)構(gòu)、超高層結(jié)構(gòu)整體找形。大高寬比（大于10∶1）、傾斜體型、扭轉(zhuǎn)體型、核心筒偏置等復雜形體的超高層建筑以及由超高層建筑群組成的“空中城市”將給結(jié)構(gòu)設計和施工提出更大的挑戰(zhàn)［32］。尋求高效合理的結(jié)構(gòu)體系是這類高難度結(jié)構(gòu)設計的關鍵，而使用拓撲優(yōu)化能為復雜的結(jié)構(gòu)設計提供合理的結(jié)構(gòu)形式。

（4）提升動力作用下的結(jié)構(gòu)性能。在大跨橋梁或者超高層建筑抗風問題中，結(jié)構(gòu)形體與顫振、渦振等動力現(xiàn)象緊密相關。合理的結(jié)構(gòu)形體能有效減小這些負面的振動效應，提高結(jié)構(gòu)的安全性。而拓撲優(yōu)化是獲得合理結(jié)構(gòu)形體的有效方法，通過拓撲優(yōu)化減小結(jié)構(gòu)的風致振動是未來的研究方向。在建筑結(jié)構(gòu)抗震中，可以對結(jié)構(gòu)抗側(cè)力構(gòu)件的布置或者結(jié)構(gòu)的抗側(cè)力體系進行拓撲優(yōu)化，從而提升結(jié)構(gòu)的抗震性能。但是，此類研究中目前多采用靜力荷載或者等效靜力荷載進行結(jié)構(gòu)優(yōu)化，沒有充分考慮結(jié)構(gòu)的動力特性，所以在未來的研究中還有待完善。

目前與結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化相關的研究主要側(cè)重結(jié)構(gòu)的優(yōu)化方法，已開展的研究常以優(yōu)化方法的局部細節(jié)改進為創(chuàng)新點，注重闡明改進后的優(yōu)化方法帶來的變化，但缺少面向工程應用的考慮與討論，也缺乏系統(tǒng)的對比分析和試驗驗證。系統(tǒng)的對比分析需包括：1）結(jié)構(gòu)的線性與非線性性能分析；2）結(jié)構(gòu)的魯棒性；3）結(jié)構(gòu)造價與結(jié)構(gòu)的材料用量。其中，結(jié)構(gòu)造價是工程實踐所關心的問題，但是經(jīng)常被忽略。試驗驗證則包含靜力試驗與動力試驗兩個方面。其中，使用振動臺對新型結(jié)構(gòu)進行模擬地震激勵試驗是研究結(jié)構(gòu)抗震性能的有效方法。在試驗的過程中，由于拓撲優(yōu)化結(jié)果通常具有較多的復雜匯交節(jié)點，試驗模型的制作與加工將會面臨挑戰(zhàn)。

目前可以實現(xiàn)拓撲優(yōu)化的軟件有Altair Solidthinking Inspire、HyperMesh、Altair OptiStruct

等，一些著名的大型商用計算分析軟件（例如，AnsysAbaqusComsol 等）也添加了相應的結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化模塊，以便普通結(jié)構(gòu)設計人員使用，降低了拓撲優(yōu)化的應用門檻。然而，對于復雜的拓撲優(yōu)化問題，商用計算軟件中的內(nèi)嵌模塊并不能充分滿足要求，也不能提供靈活的計算框架。目前，研究人員解決復雜拓撲優(yōu)化問題時，仍然傾向使用面向過程的編程方式建立有限元模型并編寫優(yōu)化程序。這需要具備相關的編程經(jīng)驗以及數(shù)值計算方面的專業(yè)知識與技巧。因此，拓撲優(yōu)化在復雜問題中的應用往往需要經(jīng)驗豐富的研究人員參與。在未來，拓撲優(yōu)化技術(shù)將進一步發(fā)展，并且與結(jié)構(gòu)工程的聯(lián)系會更加緊密，相關的技術(shù)應用值得結(jié)構(gòu)工程領域研究人員關注與學習。