高斯差分變異和對(duì)數(shù)慣性權(quán)重優(yōu)化的鯨群算法

陳 雷，尹鈞圣

1.天津商業(yè)大學(xué) 信息工程學(xué)院，天津300134

2.天津商業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，天津300134

群體智能優(yōu)化算法作為求解優(yōu)化問題的一種新方法，被廣泛應(yīng)用于組合優(yōu)化、模式識(shí)別和規(guī)劃設(shè)計(jì)等多個(gè)領(lǐng)域。典型的群體智能優(yōu)化算法包括粒子群優(yōu)化（Particle Swarm Optimization，PSO）算法[1]、蟻群優(yōu)化（Ant Colony Optimization，ACO）算法[2]、人工蜂群（Artificial Bee Colony，ABC）算法[3]、蝙蝠算法（Bat Algorithm，BA）[4]、螢火蟲算法（Firefly Algorithm，F(xiàn)A）[5]，近些年國(guó)內(nèi)外學(xué)者又提出了蜻蜓算法（Dragonfly Algorithm，DA）[6]、布谷鳥搜索（Cuckoo Search，CS）算法[7]、蝴蝶優(yōu)化（Monarch Butterfly Optimization，MBO）算法[8]、灰狼優(yōu)化（Grey Wolf Optimization，GWO）算法[9]、雙種群蟻群優(yōu)化算法（Adaptive Simulated Annealing Ant Colony Algorithm based on Max-Min Ant System，SA-MMAS）[10]、烏鴉搜索算法（Crow Search Algorithm，CSA）[11]和鯨群優(yōu)化算法（Whale Optimization Algorithm，WOA）[12]等多種新型群體智能優(yōu)化算法。鯨群優(yōu)化算法是Mirjalili等人在2016 年提出的一種群體智能優(yōu)化算法，算法思想來源于對(duì)座頭鯨捕食行為的效仿，目的是通過鯨群搜索、包圍和捕捉獵物等過程實(shí)現(xiàn)優(yōu)化求解。經(jīng)實(shí)驗(yàn)證明，鯨群優(yōu)化算法的收斂精度與尋優(yōu)速度均優(yōu)于粒子群優(yōu)化算法（PSO）等早期的群體智能優(yōu)化算法。且WOA已經(jīng)成功應(yīng)用于系統(tǒng)優(yōu)化[13]、特征選擇[14]以及圖像分割[15]等各個(gè)領(lǐng)域。然而，WOA 在處理高維優(yōu)化問題時(shí)也存在收斂速度慢，易陷入局部極值等問題。因此，為了改進(jìn)上述問題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者用不同的方法對(duì)WOA 算法進(jìn)行改進(jìn)，其改進(jìn)策略可以劃分為以下三種。

第一種是改進(jìn)初始化階段和鯨的位置更新階段的搜索方程：如Elaziz 等[16]將對(duì)立學(xué)習(xí)策略引入種群初始化及鯨的位置更新階段，顯著提高了WOA 的全局優(yōu)化性能；Mafarja等在文獻(xiàn)[14]中利用輪盤賭選擇機(jī)制改進(jìn)種群初始化過程，引入交叉變異操作改進(jìn)搜索方程，提出了一種性能更優(yōu)的WOA-CM；王堅(jiān)浩等[17]采用混沌反向?qū)W習(xí)策略改進(jìn)種群初始化，并在包圍獵物階段引入非線性混沌擾動(dòng)因子，在搜尋獵物階段引入非線性慣性權(quán)重，提出一種CWOA；龍文等[18]通過將對(duì)立學(xué)習(xí)策略引入種群初始化過程以增強(qiáng)種群多樣性，引入非線性收斂因子協(xié)調(diào)算法的探索能力，同時(shí)將種群最優(yōu)個(gè)體進(jìn)行多樣性變異，使WOA的尋優(yōu)精度和尋優(yōu)速度顯著提高。第二種是在鯨的位置更新階段引入權(quán)重和改進(jìn)概率閾值：如何慶等[19]對(duì)鯨的位置引入自適應(yīng)權(quán)重系數(shù)，并在迭代過程中引入limit閾值思想，提出了一種MS-WOA；Abdel-Basset等[20]利用Lévy飛行以及邏輯混沌映射提出一種改進(jìn)的WOA；劉亮等人[21]在WOA中引入自適應(yīng)概率閾值、自適應(yīng)位置權(quán)重和預(yù)選擇小生境技術(shù)，提出一種APN-WOA。這些改進(jìn)策略均有效提升了原算法的收斂速度及尋優(yōu)精度。

第三種是多策略混合的改進(jìn)方式：如Mafarja 等[22]將模擬退火算法引入鯨群算法中組成WOA-SA，進(jìn)一步提高算法的尋優(yōu)性能；Xiong 等在文獻(xiàn)[13]中提出兩種獵物搜索策略對(duì)WOA 進(jìn)行改進(jìn)，更好地平衡了算法的全局和局部搜索性能；Sun 等[23]在WOA 中引入自適應(yīng)權(quán)重系數(shù)同時(shí)將其與奇異值分解算法相結(jié)合，使原算法的尋優(yōu)精度和收斂速度顯著提高。

針對(duì)WOA 在處理高維優(yōu)化問題時(shí)存在的問題，本文提出了一種改進(jìn)的WOA。首先通過高斯差分變異策略對(duì)鯨的位置進(jìn)行變異，提高了WOA的全局尋優(yōu)能力，避免發(fā)生早熟現(xiàn)象；另外通過引入對(duì)數(shù)慣性權(quán)重的方法，改進(jìn)鯨的位置更新公式，提高了算法的尋優(yōu)精度和收斂速度。通過函數(shù)尋優(yōu)測(cè)試實(shí)驗(yàn)證明了改進(jìn)WOA具有較好的尋優(yōu)能力。

1 鯨群優(yōu)化算法

鯨群優(yōu)化算法是模擬座頭鯨捕食行為而提出的一種新型群體智能優(yōu)化算法，該算法的尋優(yōu)過程主要包括三個(gè)階段：包圍獵物階段、泡泡網(wǎng)攻擊階段和搜尋獵物階段。

1.1 包圍獵物階段

鯨在捕食過程中，首先要確定獵物所在區(qū)域，然后才能對(duì)獵物進(jìn)行包圍捕食。然而，在實(shí)際優(yōu)化問題的求解過程中，獵物的位置往往是未知的，因此假設(shè)當(dāng)前種群最優(yōu)位置為目標(biāo)獵物；確定目標(biāo)獵物之后，種群中其他鯨均向最優(yōu)位置移動(dòng)，利用如下公式更新位置：

其中，t 為當(dāng)前迭代次數(shù)；X*( t )表示當(dāng)前種群最優(yōu)解的位置向量；X( t )表示當(dāng)前鯨的位置；A ?D 表示包圍步長(zhǎng)；A 和C 為系數(shù)向量，定義如下：

其中，r 為[ ]0,1 之間的隨機(jī)數(shù)；a 隨著迭代循環(huán)的次數(shù)增加從2線性遞減至0，表示如下：

其中，Max_iter 表示最大迭代次數(shù)。

1.2 泡泡網(wǎng)攻擊階段

泡泡網(wǎng)攻擊原理是座頭鯨沿著螺旋路徑收縮包圍圈的同時(shí)朝著獵物移動(dòng)，所以WOA 模仿座頭鯨的捕食行為，提出了收縮包圍原理以及螺旋更新位置兩種策略。

（1）收縮包圍原理。通過減少公式（3）中的收斂因子來實(shí)現(xiàn)，A 的值隨著值的降低而降低，因此，更新位置后的鯨處于原始位置與獵物之間，即使得每條鯨會(huì)向著獵物靠近，完成對(duì)獵物的包圍。

（2）螺旋更新位置。首先計(jì)算鯨與獵物之間的距離，然后模仿鯨的螺旋游走的方式捕獲食物，數(shù)學(xué)模型表示如下：

其中，D′=| X*( t )-X( t )|表示鯨的個(gè)體到當(dāng)前最優(yōu)位置的距離向量；b 是定義螺旋形式的常量系數(shù)，本文取1；l為[- 1,1] 之間的隨機(jī)數(shù)。

由于鯨是以螺旋形式包圍獵物同時(shí)還需收縮包圍圈，因此為了模擬這種效果，則選擇相同概率進(jìn)行收縮包圍和螺旋位置更新，數(shù)學(xué)模型表示如下：

其中，p 值為[ ]0,1 之間的隨機(jī)數(shù)，在迭代過程中時(shí)會(huì)隨機(jī)產(chǎn)生0～1 之間的隨機(jī)數(shù)，從而執(zhí)行公式（7）中相應(yīng)的公式。

1.3 搜尋獵物階段

在搜尋獵物階段，當(dāng) |A |≥1 時(shí)，鯨群通過自身隨機(jī)搜尋更優(yōu)的獵物，不再選擇獵物來更新自身位置，數(shù)學(xué)模型表示如下：

其中，Xrand表示隨機(jī)的選擇鯨的位置向量。

鯨群算法作為比較新的群智能算法，因此它本身的尋優(yōu)能力相對(duì)較好，但WOA 在處理高維問題時(shí)存在收斂速度慢、易陷入局部極值的問題，因此本文采用兩種策略盡可能改進(jìn)鯨群算法本身存在的缺點(diǎn)。

2 改進(jìn)鯨群優(yōu)化算法

為了提高鯨群算法收斂速度慢、易陷入局部極值等問題，本文從兩方面改進(jìn)鯨群算法，一方面通過高斯差分變異方法對(duì)全局搜索的鯨的位置進(jìn)行變異，提高鯨的全局搜索能力。另一方面引入對(duì)數(shù)慣性權(quán)重方法，增強(qiáng)鯨的局部搜索能力，加快算法的收斂速度。

2.1 高斯差分變異策略

本文在鯨的位置更新階段，采用高斯差分變異策略，即利用當(dāng)前鯨的個(gè)體、最優(yōu)個(gè)體和隨機(jī)選擇的鯨的個(gè)體進(jìn)行高斯差分變異。傳統(tǒng)差分變異策略[24]中收縮因子是使用均勻分布函數(shù)，由于均勻分布函數(shù)在相同長(zhǎng)度間隔的區(qū)間中是等概率的，因此有時(shí)在變異個(gè)體附近無法產(chǎn)生較大擾動(dòng)，所以有時(shí)無法跳出局部極值，然而高斯分布函數(shù)在原點(diǎn)處峰值較小，兩端的分布比較長(zhǎng)。因此利用當(dāng)前最優(yōu)鯨的位置、當(dāng)前鯨的位置與鯨群中隨機(jī)個(gè)體進(jìn)行高斯差分，由于高斯差分變異可以在當(dāng)前變異個(gè)體附近生成更大的擾動(dòng)，使得算法更容易跳出局部極值，因此其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

其中，p1與p2為權(quán)重系數(shù)；f1和f2是以產(chǎn)生均值為0，方差為1 的高斯分布隨機(jī)數(shù)函數(shù)作為高斯分布函數(shù)系數(shù)；X*為當(dāng)前最優(yōu)個(gè)體位置；Xrand為隨機(jī)的選擇鯨的位置向量；X( )t 為當(dāng)前鯨的個(gè)體位置，所以本文采用了高斯差分變異策略，在算法迭代過程中根據(jù)式（10）對(duì)鯨群個(gè)體進(jìn)行擾動(dòng)，算法迭代前期，由于種群分布不均，所以個(gè)體位置分布差距較大，因此算法主要通過差分變量對(duì)個(gè)體進(jìn)行擾動(dòng)，從而產(chǎn)生多樣性個(gè)體，使算法能夠快速收斂；隨著算法迭代的不斷進(jìn)行，鯨群大多數(shù)個(gè)體位置不會(huì)發(fā)生太大變化，此時(shí)算法主要通過高斯分布函數(shù)系數(shù)對(duì)種群進(jìn)行擾動(dòng)，從而幫助算法降低陷入局部最優(yōu)的可能性，避免發(fā)生早熟。總而言之，高斯差分變異策略，充分利用高斯分布函數(shù)與差分變量的特性以產(chǎn)生新的個(gè)體，增強(qiáng)群體的多樣性，幫助算法提高跳出局部最優(yōu)的可能性，防止早熟的發(fā)生；而本文將引入高斯差分變異策略的鯨群算法定義為GWOA。

2.2 對(duì)數(shù)慣性權(quán)重策略

傳統(tǒng)鯨群算法在循環(huán)迭代過程中時(shí)并沒有考慮獵物對(duì)鯨引導(dǎo)力的差異性，所以本文將慣性權(quán)重思想引入傳統(tǒng)鯨群算法當(dāng)中。

在群智能算法中慣性權(quán)重的改進(jìn)策略比較豐富，如圖1所示，三條虛線分別表示文獻(xiàn)[25-27]中的自適應(yīng)遞減的慣性權(quán)重、非線性遞增慣性權(quán)重與非線性遞減的慣性權(quán)重。實(shí)線表示經(jīng)過多次測(cè)試后，本文提出一種對(duì)數(shù)慣性權(quán)重策略，首先該策略采用一種權(quán)重遞增的方式，與自適應(yīng)慣性權(quán)重和其他慣性權(quán)重兩種改進(jìn)策略相比，雖然遞減的方式在一定程度上能夠平衡算法的全局和局部搜索能力，但是在迭代后期，權(quán)重很小很容易使算法陷入局部最優(yōu)，而本文采用的一種權(quán)重遞增的方式，在迭代前期使算法能夠搜索較大區(qū)域，同時(shí)剛好能夠解決迭代后期陷入局部最優(yōu)的可能；其次，該策略采用對(duì)數(shù)函數(shù)作為權(quán)重的一部分，對(duì)數(shù)函數(shù)可以針對(duì)相應(yīng)的值調(diào)整函數(shù)坡度，與非線性慣性權(quán)重相比，本文改進(jìn)策略的慣性權(quán)重函數(shù)坡度較緩，在迭代前期慣性權(quán)重較大時(shí)，具有提高全局搜索的能力，隨著迭代次數(shù)的增加，慣性權(quán)重隨之增加從而使鯨群所選擇的獵物不斷接近理論極值，進(jìn)而使個(gè)體能夠準(zhǔn)確有效地找到目標(biāo)獵物；在迭代后期鯨群搜索能力得到提高的同時(shí)增加種群多樣性，進(jìn)而使算法更容易跳出局部極值。該策略公式如下：

其中，t 為當(dāng)前迭代次數(shù)；Max_iter 表示最大迭代次數(shù)；wmax為慣性權(quán)重最大值；wmin為慣性權(quán)重最小值。權(quán)重將隨著迭代次數(shù)增加而增加，將式（11）代入式（2）中，得到如下位置更新公式：

圖1 慣性權(quán)重與迭代次數(shù)曲線圖

所以，本文采用對(duì)數(shù)慣性權(quán)重策略，迭代前期，慣性權(quán)重提高鯨群全局搜索能力，使鯨群個(gè)體能夠更快地搜尋到最優(yōu)獵物；迭代后期，通過慣性權(quán)重線性增長(zhǎng)策略，使慣性權(quán)重增大，從而使算法在后期局部開發(fā)過程中更易跳出局部極值，從而尋找到最優(yōu)值。通過后續(xù)實(shí)驗(yàn)測(cè)試過程可以看出改進(jìn)策略能夠適應(yīng)在迭代過程中的實(shí)際情況，且能夠較好地平衡全局搜索與局部開發(fā)的能力，進(jìn)一步證實(shí)該策略的可行性與適用性，而本文將引入對(duì)數(shù)慣性權(quán)重和高斯差分變異策略的鯨群算法定義為IGWOA。

2.3 IGWOA算法步驟

對(duì)原始WOA進(jìn)行高斯差分變異與對(duì)數(shù)慣性權(quán)重兩方面改進(jìn)，得到的IGWOA的算法偽代碼，如下所示：

3 實(shí)驗(yàn)測(cè)試及分析

為了驗(yàn)證文中提出的IGWOA的性能，引入24個(gè)測(cè)試函數(shù)（如表1 所示）進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。其中，F(xiàn)1～F12 是單峰測(cè)試函數(shù)，F(xiàn)13～F19 是維度可變的多峰測(cè)試函數(shù)，F(xiàn)20～F24 是固定維度的多峰測(cè)試函數(shù)。在優(yōu)化性能測(cè)試過程中，實(shí)驗(yàn)軟硬件條件為：Windows 7（64 bit）操作系統(tǒng)，Inter?CoreTMi5-6500 CPU、3.20 GHz主頻及8 GB內(nèi)存，編程采用MATLAB R2014b軟件。

本文從三個(gè)方面對(duì)算法性能進(jìn)行測(cè)試：

（1）針對(duì)固定維度選取相同迭代次數(shù)分別對(duì)WOA、GWOA和IGWOA進(jìn)行測(cè)試，分析算法的性能。

（2）針對(duì)三個(gè)不同維度選取相同迭代次數(shù)對(duì)WOA與IGWOA進(jìn)行測(cè)試，分析改進(jìn)算法在不同維度情況下的尋優(yōu)性能。

（3）針對(duì)固定維度選取相同迭代次數(shù)對(duì)改進(jìn)算法IGWOA、GWO 算法、正弦余弦算法（Sine Cosine Algorithm，SCA）[28]、多節(jié)拍優(yōu)化器算法（Multi-Verse Optimizer，MVO）[29]、改進(jìn)樽海鞘算法（Enhanced Salp Swarm Algorithm，ESSA）[30]和文獻(xiàn)[19，28-30]中的EWOA、IWOA、OWOA 和APN-WOA 進(jìn)行比較，分析算法的收斂精度和收斂速度，進(jìn)一步驗(yàn)證IGWOA的有效性和優(yōu)越性。

3.1 與WOA和GWOA進(jìn)行算法比較

IGWOA 對(duì)24 個(gè)測(cè)試函數(shù)進(jìn)行求解，與WOA 和GWOA 進(jìn)行比較，各算法的參數(shù)設(shè)置為：種群規(guī)模均設(shè)置為30，p1=0.5，p2=0.5，wmax=0.9，wmin=0.4 ，Max_iter=500，3種算法對(duì)每個(gè)函數(shù)獨(dú)立運(yùn)行30次，記錄它們的最大值、最小值、平均值與標(biāo)準(zhǔn)差；收斂曲線圖中fitness為適應(yīng)度值，Iteration是迭代次數(shù)，比較結(jié)果如表2與圖2。

由于最大值和最小值分別表示算法的質(zhì)量；平均值表示算法在固定循環(huán)次數(shù)下能達(dá)到的精度值；標(biāo)準(zhǔn)差則表示算法的魯棒性。所以從表2 中IGWOA、WOA 和GWOA 的比較結(jié)果可以看出IGWOA 在函數(shù)(F1、F3、F8、F11、F13、F14、F16、F21、F22、F24)上均能達(dá)到理論最優(yōu)值，而在函數(shù)(F2、F4、F7、F9、F10、F12、F15、F20)上，IGWOA 得到的最優(yōu)解非常接近理論最優(yōu)解，與此同時(shí)IGWOA 與WOA 和GWOA 相比，IGWOA 在22個(gè)測(cè)試函數(shù)(F1～F4、F6～F16、F18～F24)上獲得較好的最優(yōu)精度、最差精度、平均精度與標(biāo)準(zhǔn)差，而在F5、F17 這兩個(gè)測(cè)試函數(shù)上，GWOA和IGWOA得到相似的最優(yōu)精度、最差精度、平均精度與標(biāo)準(zhǔn)差，但依舊優(yōu)于WOA。綜上所述可以看出IGWOA 算法具有更高的收斂精度。為了更直觀地表現(xiàn)出收斂性能，3種算法的收斂曲線如圖2所示。從總體上看，在大多數(shù)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)上，GWOA，IGWOA的收斂曲線比WOA的收斂曲線下降得更快，同時(shí)適應(yīng)度值更快下降到較低水平。具體來說，從IGWOA 與GWOA 的收斂曲線可知，所有測(cè)試函數(shù)的收斂精度與速度都較優(yōu)于WOA，這說明了高斯差分變異策略的有效性。從IGWOA與GWOA的收斂曲線可知，除了F6、F17 函數(shù)外，IGWOA在收斂性能上以及后期擺脫局部極值上有著十分顯著的提高。這體現(xiàn)了對(duì)數(shù)慣性權(quán)重策略的可行性?？偠灾?，與WOA 和GWOA 相比，IGWOA 的收斂性能更為優(yōu)越，更能保持測(cè)試函數(shù)在算法上的穩(wěn)定性。

3.2 不同維函數(shù)優(yōu)化性能測(cè)試

隨著優(yōu)化函數(shù)維度的提高，優(yōu)化難度也不斷提高，為了體現(xiàn)出IGWOA 在不同維度（20/60/100）下的尋優(yōu)性能，因此進(jìn)行不同維函數(shù)優(yōu)化性能測(cè)試。其中兩種算法的種群規(guī)模為30，最大迭代次數(shù)為500次且對(duì)每個(gè)函數(shù)獨(dú)立運(yùn)行30次，表3包括最大值、最小值、最優(yōu)解的均值、標(biāo)準(zhǔn)差以及顯著性。比較結(jié)果如表3。

表1 測(cè)試函數(shù)

由表3可知，隨著維度的提高，WOA在大多數(shù)測(cè)試函數(shù)上，平均精度越來越差，這是因?yàn)闇y(cè)試函數(shù)本身變得越來越復(fù)雜，WOA 無法較好處理復(fù)雜的測(cè)試函數(shù)所導(dǎo)致的；反觀IGWOA，它的平均精度能夠收斂到更低的水平并且優(yōu)化效果優(yōu)于WOA，這體現(xiàn)出改進(jìn)策略在處理高維問題上的優(yōu)越性能。

表2 WOA、GWOA和IGWOA對(duì)測(cè)試函數(shù)的結(jié)果比較

圖2 3種算法對(duì)24個(gè)函數(shù)的尋優(yōu)收斂曲線比較

圖2 （續(xù)）

表3 不同維度下WOA與IGWOA尋優(yōu)性能比較

表3 （續(xù)）

為了直觀比較WOA 與IGWOA 的性能，本文采用威爾遜（Wilcoxon）秩和檢驗(yàn)來比較兩者差異，其中“+”表示兩者具有顯著差異，即IGWOA 的性能優(yōu)于WOA；“—”表示兩者差異不顯著，即IGWOA 的性能次于WOA 或者兩者性能較為接近；“NaN”表示兩者無法比較，即進(jìn)行威爾遜秩和檢驗(yàn)時(shí)的值相同；顯著性水平設(shè)置為0.05。在表3最后一列，記錄了WOA與IGWOA的顯著性水平。

在顯著性方面，除了F16、F18 的顯著性水平分別為“—”與“NaN”，大多數(shù)測(cè)試函數(shù)(F1～F13、F15、F17～F19)的顯著性水平均為“+”，這說明IGWOA 的尋優(yōu)性能明顯優(yōu)于WOA。

這就表明本文利用高斯差分變異策略以及對(duì)數(shù)慣性權(quán)重策略改進(jìn)的IGWOA能夠提高原算法的尋優(yōu)精度。

3.3 與其他群智能優(yōu)化算法比較

為了進(jìn)一步驗(yàn)證算法的有效性，將IGWOA 與GWO 算法、SCA、MVO 算法、ESSA 和其他改進(jìn)鯨群算法等8 種近幾年提出的智能優(yōu)化算法進(jìn)行比較。在比較過程中，9 種算法的種群規(guī)模為30，最大迭代次數(shù)為500，測(cè)試函數(shù)為F1～F4、F6、F14～F18、F22 和F24，算法對(duì)每個(gè)函數(shù)獨(dú)立運(yùn)行30 次，記錄它們的平均精度與標(biāo)準(zhǔn)差，比較結(jié)果如表4與圖3。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證IGWOA的優(yōu)化性能，將其與GWO算法、SCA 和MVO 算法進(jìn)行比較，由于GWO、SCA、ESSA 和MVO 算法是近些年來提出相對(duì)較新的群智能優(yōu)化算法，同時(shí)這些算法已經(jīng)和一些經(jīng)典群智能優(yōu)化算法做了對(duì)比，比如：PSO算法、萬有引力搜索算法（Gravitational Search Algorithm，GSA）[31]、遺傳算法（Genetic Algorithm，GA）[32]和蝗蟲優(yōu)化算法（Grasshopper Optimization Algorithm，GOA）[33]等，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明它們具有較好的尋優(yōu)性能，因此本文將不再比較。除了上述算法外，IGWOA還與文獻(xiàn)[21，34-36]中的改進(jìn)鯨群算法進(jìn)行比較，其中表4中的“—”表示文獻(xiàn)中算法未對(duì)測(cè)試函數(shù)進(jìn)行測(cè)試，由于相應(yīng)文獻(xiàn)并未提供具體代碼，所以EWOA、IWOA、OWOA 和APN-WOA 的最終數(shù)據(jù)是文獻(xiàn)中相應(yīng)測(cè)試函數(shù)下的最佳結(jié)果。

理論上，IGWOA 在搜尋獵物階段引入對(duì)數(shù)慣性權(quán)重，該權(quán)重隨著迭代次數(shù)的增加而增加，在每次迭代過程中鯨群所選擇的獵物更加接近理論極值，從而使個(gè)體能夠準(zhǔn)確有效地找到目標(biāo)獵物；IGWOA 在位置更新階段引入高斯差分變異策略，通過差分變量對(duì)個(gè)體進(jìn)行擾動(dòng)產(chǎn)生多樣性個(gè)體，從而提高算法尋優(yōu)的能力，因此基礎(chǔ)鯨群算法通過對(duì)數(shù)慣性權(quán)重與高斯差分變異策略能夠進(jìn)一步提高算法的收斂速度與尋優(yōu)精度。

實(shí)驗(yàn)測(cè)試上，從表4中IGWOA與其他改進(jìn)WOA比較結(jié)果可以看出，IGWOA 在函數(shù)(F1、F3、F14、F16、F22、F24)上均能達(dá)到理論最優(yōu)值，而在函數(shù)(F2、F4、F6、F15、F17、F18)上，IGWOA得到的最優(yōu)解非常接近理論最優(yōu)解，與此同時(shí)IGWOA與其他算法相比，IGWOA在測(cè)試函數(shù)(F1、F3、F6、F14、F15、F16、F17、F18、F22、F24)上獲得較好的平均精度與標(biāo)準(zhǔn)差，僅在F2、F4 這兩個(gè)測(cè)試函數(shù)上，IGWOA略次于APN-WOA。一方面，為了直觀表現(xiàn)出IGWOA 的收斂性能，本文給出了測(cè)試函數(shù)的收斂曲線，從圖3 中可以清晰地看出，IGWOA與其他算法相比，IGWOA收斂曲線的下降速度更快，同時(shí)適應(yīng)度值更快下降到較低水平。進(jìn)一步說明了高斯差分變異策略的有效性和對(duì)數(shù)慣性權(quán)重策略的可行性。

表4 IGWOA與其他算法優(yōu)化基準(zhǔn)函數(shù)對(duì)比

圖3 IGWOA與各種算法之間的優(yōu)化收斂曲線比較

另一方面，為了體現(xiàn)改進(jìn)算法的收斂性與個(gè)體多樣性優(yōu)勢(shì)，本文通過實(shí)驗(yàn)測(cè)試出部分迭代時(shí)刻的不同方法個(gè)體分布，在迭代前期，IGWOA與其他算法相比具有快速尋優(yōu)的能力，不同方向的鯨群個(gè)體根據(jù)算法更新策略，朝著目標(biāo)獵物位置進(jìn)行個(gè)體變異與移動(dòng)更新，從而產(chǎn)生多樣性個(gè)體；在迭代中期，雖然IGWOA 的搜尋效果略遜于GWO 算法，但I(xiàn)GWOA 依舊能夠在保持鯨群個(gè)體較優(yōu)的搜索效果的基礎(chǔ)上，保持鯨的個(gè)體位置在目標(biāo)極值位置附近廣泛分布；在迭代后期，IGWOA中鯨群個(gè)體根據(jù)算法更新與變異策略更新個(gè)體位置，使算法尋優(yōu)能力與個(gè)體變異能力得到提高，進(jìn)而使算法產(chǎn)生多樣性個(gè)體并且不易陷入局部極值，IGWOA 與其他算法相比，IGWOA 中的多樣性個(gè)體所能搜尋到的最優(yōu)位置以及算法所能到的收斂精度值最為優(yōu)越。因此可以得知IGWOA算法本身個(gè)體多樣性的優(yōu)勢(shì)十分顯著。

綜上所述，IGWOA 在收斂精度、收斂速度、個(gè)體多樣性以及魯棒性方面與其他改進(jìn)群智能優(yōu)化算法相比具有優(yōu)勢(shì)。

4 結(jié)束語

本文首先將高斯差分變異策略引入WOA 中，從而幫助算法降低陷入局部最優(yōu)的可能性，防止早熟現(xiàn)象的發(fā)生；然后提出了對(duì)數(shù)慣性權(quán)重策略改進(jìn)算法的位置更新公式，從而平衡算法全局探索能力和局部開發(fā)能力，同時(shí)加快算法的收斂速度，為了驗(yàn)證IGWOA 的性能，運(yùn)用24個(gè)測(cè)試函數(shù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，結(jié)果表明IGWOA的收斂精度與收斂速度明顯優(yōu)于WOA，進(jìn)一步驗(yàn)證了所提出策略的有效性。最后，如何將改進(jìn)的IGWOA應(yīng)用于工程優(yōu)化問題中將是下一步的研究?jī)?nèi)容。