基于動(dòng)力學(xué)分析的大重合度直齒圓柱齒輪強(qiáng)度計(jì)算

何芝仙，陳 曦，時(shí)培成

（安徽工程大學(xué)力學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，安徽 蕪湖 241000）

圖1 具有縱向重合度的直齒圓柱齒輪示意圖Fig.1 Schematic diagram of spur gear with longitudinal contact-ratio

1 大重合度直齒圓柱齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析

對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，求解作用在輪齒上的動(dòng)態(tài)法向力的變化規(guī)律，是精確計(jì)算齒輪齒根彎曲應(yīng)力和齒面接觸應(yīng)力的前提條件［10］。文獻(xiàn)［11］基于單自由度扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模型，對(duì)大重合度直齒圓柱齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)分析。限于篇幅，本文不再贅述分析過程，直接給出大重合度直齒圓柱齒輪輪齒間動(dòng)態(tài)法向力的計(jì)算結(jié)果。設(shè)置大重合度直齒圓柱齒輪的參數(shù)：齒數(shù)z1=41，z2=60，模數(shù)m=5 mm，單排齒輪的齒寬b=40.5 mm，小齒輪的轉(zhuǎn)速n1=960 r/min，傳遞功率P=50 kW。

圖2為相同工況下漸開線標(biāo)準(zhǔn)直齒圓柱齒輪和大重合度直齒圓柱齒輪的單對(duì)輪齒間動(dòng)態(tài)法向力的變化規(guī)律。由圖2可知，大重合度直齒圓柱齒輪傳動(dòng)的重合度較大，動(dòng)態(tài)法向力由錯(cuò)開半個(gè)齒距的雙排齒輪共同承擔(dān)，與相同工況下的漸開線標(biāo)準(zhǔn)直齒圓柱齒輪相比，其單對(duì)輪齒所承受的最大動(dòng)態(tài)法向力由3 709.5 N減小為2 324.2 N，減小了37.34%。大重合度直齒圓柱齒輪的總動(dòng)態(tài)法向力通過排間分配和齒間分配的方式分配到每對(duì)嚙合的輪齒上，分別如圖3和圖4所示。圖5所示為大重合度直齒圓柱齒輪嚙合過程中前排齒輪單對(duì)輪齒間的法向力變化曲線，由圖可見，相比于靜態(tài)法向力峰值，動(dòng)態(tài)法向力峰值顯著增大，其由1 856.1 N增大為2 324.2 N，增大了25.22%，這是由齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)效應(yīng)引起的。因此，分析作用在齒輪輪齒間的動(dòng)態(tài)法向力是計(jì)算齒輪強(qiáng)度的前提條件。

圖2 直齒圓柱齒輪單對(duì)輪齒間的動(dòng)態(tài)法向力Fig.2 Dynamic normal force between a pair of teeth of spur gear

圖3 大重合度直齒圓柱齒輪的總動(dòng)態(tài)法向力及其排間分配Fig.3 Total dynamic normal force and its distribution between rows of spur gear with high contact-ratio

圖4 大重合度直齒圓柱齒輪動(dòng)態(tài)法向力的齒間分配Fig.4 Distribution of dynamic normal force between teeth of spur gear with high contact-ratio

圖5 大重合度直齒圓柱齒輪前排齒輪單對(duì)輪齒間的法向力Fig.5 Normal force between a pair of teeth of front row gear of spur gear with high contact-ratio

2 大重合度直齒圓柱齒輪的齒根彎曲應(yīng)力計(jì)算

計(jì)算齒根彎曲應(yīng)力和齒面接觸應(yīng)力是齒輪強(qiáng)度分析的關(guān)鍵內(nèi)容。ISO 6336-6—2006［12-13］中漸開線標(biāo)準(zhǔn)直齒圓柱齒輪齒根彎曲應(yīng)力的計(jì)算方法是以材料力學(xué)理論為基礎(chǔ)的，其對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)效應(yīng)對(duì)齒根彎曲應(yīng)力的影響處理得比較粗糙，計(jì)算結(jié)果偏于保守。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，彈性力學(xué)有限元分析法已經(jīng)成為計(jì)算齒輪齒根彎曲應(yīng)力的有效方法［12-15］，但在計(jì)算齒根彎曲應(yīng)力時(shí)考慮齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)效應(yīng)的相關(guān)研究仍很少見。

在已知大重合度直齒圓柱齒輪幾何材料參數(shù)以及其輪齒間法向力的條件下，利用ANSYS軟件中的APDL（ANSYS parametric design language，ANSYS參數(shù)化設(shè)計(jì)語(yǔ)言）進(jìn)行參數(shù)化編程，以實(shí)現(xiàn)其齒根彎曲應(yīng)力的計(jì)算，具體計(jì)算流程（見圖6）如下。

步驟1：參數(shù)設(shè)置。輸入大重合度直齒圓柱齒輪的幾何物理參數(shù)并建立幾何模型，將齒面從開始嚙合到退出嚙合的過程分成N份，設(shè)置計(jì)算次數(shù)N，令k=1。

步驟2：網(wǎng)格劃分和設(shè)置邊界條件。選擇ANSYS軟件中形狀逼近功能強(qiáng)的Plane 82單元，對(duì)大重合度直齒圓柱齒輪的幾何模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分，其單個(gè)輪齒的有限元模型如圖7所示。設(shè)置位移邊界條件：選擇約束底邊節(jié)點(diǎn)2個(gè)方向的自由度，即ux=0，uy=0；約束兩側(cè)邊x方向的自由度，即ux=0。

步驟3：齒根彎曲應(yīng)力計(jì)算。從齒頂?shù)烬X根動(dòng)態(tài)地施加法向力，每向1個(gè)嚙合點(diǎn)位置施加法向力就進(jìn)行一次有限元分析，求解危險(xiǎn)點(diǎn)的彎曲應(yīng)力并記錄。

圖6 大重合度直齒圓柱齒輪齒根彎曲應(yīng)力計(jì)算流程Fig.6 Computational flow of tooth root bending stress of spur gear with high contact-ratio

圖7 大重合度直齒圓柱齒輪單個(gè)輪齒的有限元模型Fig.7 Finite element model of single tooth of spur gear with high contact-ratio

由于所選擇的大重合度直齒圓柱齒輪前后2排齒輪僅相差半個(gè)齒距，其齒根彎曲應(yīng)力以及齒面接觸應(yīng)力的變化也僅相差半個(gè)齒距對(duì)應(yīng)的嚙合時(shí)間，限于篇幅，僅給出前排齒輪的計(jì)算結(jié)果。圖8所示為在分別施加動(dòng)態(tài)法向力和靜態(tài)法向力的情況下大重合度直齒圓柱齒輪嚙合過程中前排齒輪齒根彎曲應(yīng)力的變化曲線。此處的彎曲應(yīng)力是基于第三強(qiáng)度理論計(jì)算的等效應(yīng)力，嚙合點(diǎn)位置x=0 mm對(duì)應(yīng)的是實(shí)際嚙合的起始點(diǎn)。由圖8可知，大重合度直齒圓柱齒輪前排齒輪的齒根彎曲應(yīng)力變化十分復(fù)雜，與作用在輪齒上的法向力以及嚙合點(diǎn)位置密切相關(guān)。當(dāng)法向力作用在輪齒齒頂時(shí)，其齒根彎曲應(yīng)力并非最大。結(jié)合圖5和圖8可知，當(dāng)法向力在齒頂附近出現(xiàn)第1個(gè)峰值時(shí)，齒根彎曲應(yīng)力取得最大值。與施加靜態(tài)法向力時(shí)的計(jì)算結(jié)果相比，考慮齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)效應(yīng)時(shí)，前排齒輪的齒根彎曲應(yīng)力變化曲線較為光滑，且齒根彎曲應(yīng)力較大，最大齒根彎曲應(yīng)力由118.12 MPa增大到144.68 MPa，增大了22.49%。這說明齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)效應(yīng)對(duì)齒根彎曲應(yīng)力的影響十分顯著，且這僅僅還是齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)內(nèi)部參數(shù)激振引起的。與相同工況下漸開線標(biāo)準(zhǔn)直齒圓柱齒輪相比（見圖9），大重合度直齒圓柱齒輪前排齒輪的最大齒根彎曲應(yīng)力由174.49 MPa減小為144.68 MPa，減小了17.08%。由此可知，本文討論的大重合度直齒圓柱齒輪的齒根彎曲強(qiáng)度顯著提高。

圖8 大重合度直齒圓柱齒輪前排齒輪的齒根彎曲應(yīng)力變化曲線Fig.8 Variation curve of tooth root bending stress of front row gear of spur gear with high contact-ratio

3 大重合度直齒圓柱齒輪的齒面接觸應(yīng)力計(jì)算

采用Hertz公式計(jì)算齒輪的齒面接觸應(yīng)力較為方便且計(jì)算精度較高，其與有限元分析法的相對(duì)誤差在0.66%以內(nèi)［16］。齒輪齒面接觸應(yīng)力的計(jì)算公式為［17-20］：

圖9 漸開線標(biāo)準(zhǔn)直齒圓柱齒輪的齒根彎曲應(yīng)力變化曲線Fig.9 Variation curve of tooth root bending stress of involute standard spur gear

與漸開線標(biāo)準(zhǔn)直齒圓柱齒輪不同，大重合度直齒圓柱齒輪齒面接觸應(yīng)力的大小主要取決于嚙合點(diǎn)處綜合曲率半徑和輪齒間法向力的大小。對(duì)于本文討論的大重合度直齒圓柱齒輪，法向力不由1對(duì)輪齒承擔(dān)，其齒面接觸應(yīng)力的最大值一般不出現(xiàn)在節(jié)圓附近［17］。基于上文分析得到的大重合度直齒圓柱齒輪前排齒輪輪齒間的法向力，利用式（1）計(jì)算其前排齒輪的齒面接觸應(yīng)力（從齒頂?shù)烬X根），結(jié)果如圖10所示。由圖10可知，大重合度直齒圓柱齒輪前排齒輪的齒面接觸應(yīng)力與輪齒間法向力的變化規(guī)律十分相似，但最大齒面接觸應(yīng)力出現(xiàn)在法向力取得次峰值時(shí)所對(duì)應(yīng)的嚙合點(diǎn)位置（x=5.484 1 mm）處，這是因?yàn)樵撐恢锰庉嘄X間的法向力較大且綜合曲率半徑較小。與靜態(tài)工況相比，考慮齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)效應(yīng)時(shí)大重合度直齒圓柱齒輪前排齒輪的最大齒面接觸應(yīng)力由197.6 MPa增大為219.22 MPa，增大了10.94%。但與同樣工況下的漸開線標(biāo)準(zhǔn)直齒圓柱齒輪相比（見圖11），其最大齒面接觸應(yīng)力由390.03 MPa減小為219.22 MPa，減小了43.79%。由此可知，本文討論的大重合度直齒圓柱齒輪的齒面接觸強(qiáng)度也有較大幅度的提高。

圖10 大重合度直齒圓柱齒輪前排齒輪的齒面接觸應(yīng)力變化曲線Fig.10 Variation curve of tooth surface contact stress of front row gear of spur gear with high contact-ratio

圖11 漸開線標(biāo)準(zhǔn)直齒圓柱齒輪的齒面接觸應(yīng)力變化曲線Fig.11 Variation curve of tooth surface contact stress of involute standard spur gear

4 結(jié)論

1）與相同工況下的漸開線標(biāo)準(zhǔn)直齒圓柱齒輪相比，大重合度直齒圓柱齒輪在性能上具有以下獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)：

①大重合度直齒圓柱齒輪單對(duì)輪齒所承受的最大動(dòng)態(tài)法向力減小了37.34%。

②大重合度直齒圓柱齒輪的最大齒根彎曲應(yīng)力減小了17.08%，且并不在法向力作用在齒頂處時(shí)出現(xiàn)；最大齒面接觸應(yīng)力減小了43.79%，且不出現(xiàn)在節(jié)圓附近。

2）與靜態(tài)工況相比，考慮齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)效應(yīng)時(shí)，大重合度直齒圓柱齒輪的最大齒根彎曲應(yīng)力增大了22.49%，最大齒面接觸應(yīng)力增大了10.94%，說明齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)效應(yīng)對(duì)齒輪的齒根彎曲強(qiáng)度和齒面接觸強(qiáng)度的影響顯著。

綜上，大重合度直齒圓柱齒輪在保留漸開線標(biāo)準(zhǔn)直齒圓柱齒輪優(yōu)點(diǎn)的前提下，其動(dòng)力學(xué)性能和承載能力均明顯改善，應(yīng)用潛力巨大。