光學(xué)腔中腔量子電動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的理論成果

喬玉潔 張 罡

（ 天津師范大學(xué)物理與材料科學(xué)學(xué)院，天津300387）

1 概述

光學(xué)作為一門(mén)最基礎(chǔ)的物理學(xué)科，在物理學(xué)的發(fā)展過(guò)程中起到至關(guān)重要的作用。但隨著研究的深入，物理學(xué)家們發(fā)現(xiàn)經(jīng)典力學(xué)已經(jīng)不足以描述微觀系統(tǒng)，所以在20 世紀(jì)初由普朗克、玻爾、海森堡、薛定諤等一大批物理學(xué)家共同創(chuàng)立的量子力學(xué)帶領(lǐng)大家進(jìn)入了“新世界”，至此一些經(jīng)典力學(xué)中無(wú)法克服的困難——波粒二象性、黑體輻射、光電效應(yīng)等都得到了合理地解釋?zhuān)孔恿W(xué)的快速發(fā)展推動(dòng)了科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，也促進(jìn)了我們對(duì)光的性質(zhì)的進(jìn)一步研究與探索。當(dāng)我們將量子場(chǎng)論與光學(xué)相結(jié)合，用量子力學(xué)的觀點(diǎn)處理光與物質(zhì)的相互作用時(shí)，量子光學(xué)的概念就此提出。腔量子電動(dòng)力學(xué)作為量子光學(xué)的一個(gè)主要的領(lǐng)域，在過(guò)去幾十年中取得了巨大的進(jìn)展，在量子信息和量子計(jì)算方面也體現(xiàn)出了極大的應(yīng)用潛力。

2 腔量子電動(dòng)力學(xué)簡(jiǎn)介

腔量子電動(dòng)力學(xué)概念的首次提出可以追溯到20 世紀(jì)40 年代，1946 年Edward M. Purcell 在美國(guó)物理學(xué)春季會(huì)議上的論文摘要中提到[2]：當(dāng)自旋系統(tǒng)與共振電路耦合時(shí)，原子的射頻躍遷的自發(fā)輻射率會(huì)發(fā)生變化，這就打破了在這之前人們普遍認(rèn)為自發(fā)輻射是一種固有屬性的說(shuō)法，從而使更多的科學(xué)家們把注意力放在自發(fā)輻射和能級(jí)移動(dòng)方面。1948 年，Casimir 和Polder逐漸把單個(gè)原子與導(dǎo)電平面之間的研究擴(kuò)展到兩個(gè)平行金屬板之間的相互作用情況[3，4]，并發(fā)現(xiàn)了“Casimir 效應(yīng)”。20 世紀(jì)50年代，微波激射器[5]的實(shí)現(xiàn)激發(fā)了人們對(duì)腔中物質(zhì)與輻射場(chǎng)相互作用的深入研究，在這段時(shí)期內(nèi)，電子自旋躍遷自發(fā)輻射率的修正被預(yù)測(cè)并得到實(shí)驗(yàn)證實(shí)[6]。1963 年，Jaynes 和Cummings建立了一個(gè)理想模型“Jaynes Cumming（J-C）模型”，該模型的提出在腔量子電動(dòng)力學(xué)的發(fā)展過(guò)程中具有里程碑的意義。1970年，Drexhage 等人第一次在實(shí)驗(yàn)中觀察到“Purcell 效應(yīng)”[7]。以上大部分實(shí)驗(yàn)都是在弱耦合條件下進(jìn)行的，但隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，腔QED 系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)逐漸進(jìn)入強(qiáng)耦合區(qū)域，在此區(qū)域可以使光子與原子的量子態(tài)更具有確定性，并且它們之間的相互作用也會(huì)增強(qiáng)，有利于促進(jìn)量子態(tài)的傳輸，給量子信息的實(shí)現(xiàn)奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

3 光頻區(qū)段腔QED 的理論計(jì)算

這是一個(gè)吸引力。我們把這種由外界其他波促使導(dǎo)體板產(chǎn)生吸引力的現(xiàn)象稱(chēng)為Casimir 效應(yīng)，（2）式的Casimir 效應(yīng)是非常微弱的，直到1996 年，物理學(xué)家首次對(duì)它進(jìn)行了測(cè)定，使得理論值和實(shí)驗(yàn)值基本吻合。

然而在真實(shí)的光學(xué)腔中，腔內(nèi)的電磁波會(huì)發(fā)生泄漏進(jìn)而衰減，使得真實(shí)的光學(xué)腔存在耗散的問(wèn)題，所以態(tài)密度不是一個(gè)理想的δ 函數(shù)。對(duì)于品質(zhì)因素為Q 的光學(xué)腔，若我們只考慮腔模頻率為v 時(shí)，由于腔模頻率是基頻的整數(shù)倍，高階模式不容易被激發(fā)，所以可以采用單模近似的方法得到品質(zhì)因素為Q 的光學(xué)腔與腔外電磁場(chǎng)耦合所致的譜密度為：

其中Vc是腔體積。

如果腔體積Vc～λ03，則自發(fā)輻射率有～Q 倍的提升。到目前為止，光學(xué)腔中自發(fā)輻射的抑制和增強(qiáng)均已經(jīng)被實(shí)驗(yàn)所證實(shí)[10-12]。

接下來(lái)我們會(huì)從微觀的角度對(duì)（3）式進(jìn)行解釋。對(duì)于一個(gè)非理想的光學(xué)腔來(lái)說(shuō)，品質(zhì)因素是由系統(tǒng)的微觀參數(shù)決定的。非理想光學(xué)腔作為一個(gè)開(kāi)放系統(tǒng)，光子可以在腔內(nèi)部和外部之間隧穿，系統(tǒng)的哈密頓量為[13，14]：

對(duì)其求解可得：

由于外部空間中的電磁場(chǎng)處于熱平衡態(tài)，所以＜F（t）＞=0，可得：

由上式我們可以看出，腔內(nèi)電磁場(chǎng)是以κ/2 的速率進(jìn)行衰減，有品質(zhì)因素Q=v/κ。則可以得到（7）式的關(guān)聯(lián)函數(shù)：

所以譜函數(shù)是

其中f（r）是光學(xué)腔中的駐波模式。

因此當(dāng)腔內(nèi)存在一個(gè)二能級(jí)原子時(shí)，總的哈密頓量是：

然后對(duì)光場(chǎng)（腔內(nèi)和腔外）進(jìn)行對(duì)角化，得到一系列簡(jiǎn)正模式，之后采用Weisskopf-Wigner 近似來(lái)處理原子的自發(fā)輻射，這種方法適用于 g （r ）?κ的弱耦合區(qū)域。下面我們對(duì)其做簡(jiǎn)要描述：

其中

對(duì)于處理二能級(jí)原子的總哈密頓量（13）式，我們還有另一種方法，就是把原子和腔場(chǎng)視為一個(gè)系統(tǒng)，再考慮外部環(huán)境對(duì)其的影響，則系統(tǒng)密度矩陣的演化可以用主方程描述為[15]：

其中

該方程描述的是原子和腔場(chǎng)的哈密頓量（這里已假定原子躍遷頻率和腔模頻率相等）。等式的第一項(xiàng)描述的是密度矩陣的幺正演化，第二項(xiàng)則是外部電磁環(huán)境導(dǎo)致的耗散。

這一形式和真空中自發(fā)輻射類(lèi)似，只不過(guò)衰變率改變了，這正是一開(kāi)始得到的結(jié)論[2]。

另一方面，在Ω＞＞κ 的強(qiáng)耦合區(qū)，有：

因此當(dāng)時(shí)間t＜＜1/κ 時(shí)，ρ11（t）呈現(xiàn)周期性的拉比振蕩。這一結(jié)果定性上很容易理解，對(duì)于κ=0 的完美光學(xué)腔，激發(fā)態(tài)的原子輻射出的光子在腔中來(lái)回反射，原子- 光子耦合系統(tǒng)必然呈現(xiàn)拉比振蕩；對(duì)于非理想光學(xué)腔，如果g＞＞κ，則在一個(gè)振蕩周期內(nèi)腔場(chǎng)幾乎不衰減，那么也近似為拉比振蕩。

4 Jaynes-Cummings 模型

Jaynes-Cummings 模型是由Jaynes 和Cummings 在討論微波激射器（Maser）時(shí)提出的，它可以用來(lái)描述一個(gè)二能級(jí)原子與單模腔之間的相互作用，并且在旋波近似下，該原子- 腔耦合系統(tǒng)可以用Jaynes-Cummings 哈密頓量來(lái)描述[16]，其解析解也是較為容易得到的，還有利于進(jìn)行動(dòng)力學(xué)性質(zhì)的研究。

目前為止，該模型已成功應(yīng)用于一系列實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，如量子Rabi 振蕩[17]等。

對(duì)于上面的（13）式，若我們只考慮系統(tǒng)的短期行為，忽略腔場(chǎng)的衰減，在不限制腔模頻率等于原子躍遷頻率的條件下，則由哈密頓量

決定的幺正演化，就可以稱(chēng)為Jaynes-Cummings 模型[16]。

對(duì)H 做一幺正變化使其變?yōu)椴缓摂?shù)的形式：

本征態(tài)為

值得注意的是基態(tài)是特殊的，基態(tài)n=-1，只有一個(gè)態(tài)就是

形如|n，±＞的態(tài)被稱(chēng)為“綴飾態(tài)”[18]，形象地說(shuō)似乎是電磁場(chǎng)“裝飾”了原子態(tài)。在失諧量δ=0 的情形，綴飾態(tài)的形式特別簡(jiǎn)單[19]：

不同的是，二能級(jí)原子的Rabi 振蕩是可以由半經(jīng)典理論解釋[20]。

5 結(jié)論

腔量子電動(dòng)力學(xué)作為研究腔內(nèi)原子與光場(chǎng)相互作用的系統(tǒng)，在量子理論方面展現(xiàn)出較好的應(yīng)用前景，尤其在強(qiáng)耦合機(jī)制下的光頻區(qū)，吸引了眾多研究者的目光。CQED 的進(jìn)展，對(duì)量子信息和量子計(jì)算的實(shí)現(xiàn)有著至關(guān)重要的作用。

本文給出了非理想光學(xué)腔下品質(zhì)因素為Q 的光學(xué)腔與腔外電磁場(chǎng)耦合，所致的譜密度在微觀角度的理論推導(dǎo)，以及給出的二能級(jí)原子與單模腔相互作用的理論計(jì)算，在后面的研究過(guò)程中，可以將其推廣應(yīng)用到多能級(jí)原子與單模腔相互作用動(dòng)力學(xué)性質(zhì)研究之上，以及對(duì)超強(qiáng)耦合機(jī)制方面的研究提供了理論基礎(chǔ)。