基于環(huán)形抽樣代理模型的結(jié)構(gòu)可靠性分析方法

周成寧，肖寧聰*，李興國，張 軍

(1. 電子科技大學(xué)機(jī)械與電氣工程學(xué)院 成都 611731；2. 成都步科智能有限公司 成都 611730；3. 西安航天動力測控技術(shù)研究所 西安 710038)

工程中的不確定性廣泛存在，如振動、沖擊、加速度、噪聲及載荷等，這些因素對結(jié)構(gòu)的性能和可靠性產(chǎn)生重要影響[1]。結(jié)構(gòu)可靠性理論和方法為處理工程中各種不確定性問題提供有效解決途徑。

蒙特卡洛仿真(monte carlo simulation, MCS)方法具有較高的精度和魯棒性，其可靠性分析結(jié)果常常作為衡量其他方法優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)，廣泛應(yīng)用于結(jié)構(gòu)可靠性分析領(lǐng)域[2]。但對于小概率問題，MCS 方法需要大量樣本來保證精度，尤其性能函數(shù)是隱式時，需通過數(shù)值仿真，如有限元分析(finite element analysis, FEA)[3-4]求解輸入變量的輸出響應(yīng)，導(dǎo)致可靠性分析耗費大量時間，效率低下。為了提高可靠性分析的效率，一階、二階可靠性分析方法(first-/second-order reliability methods, FORM/SORM)[5]被廣泛采用。FORM、SORM 在可靠性設(shè)計點(most probable point, MPP)對性能函數(shù)分別進(jìn)行一階、二階泰勒展開。然而，由于忽略展開式中的高階項，對于非線性程度較高的性能函數(shù)，F(xiàn)ORM、SORM 的精度較低，很難得到準(zhǔn)確的可靠性指標(biāo)。為了更好地平衡精度和效率，近年來，代理模型技術(shù)在結(jié)構(gòu)可靠性領(lǐng)域廣泛發(fā)展。常見的代理模型有：響應(yīng)面法(response surface method,RSM)[6-7]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(neural networks, NN)[8-9]、支持向量機(jī)(support vector machine, SVM)[10-11]、克里金插值(Kriging)[12-18]等。

Kriging 模型因具有準(zhǔn)確的插值特性和提供估計值的不確定性方差，而被廣泛應(yīng)用于結(jié)構(gòu)可靠性領(lǐng)域。文獻(xiàn)[19]提出一種學(xué)習(xí)方程— U 方程，為Kriging 在結(jié)構(gòu)可靠性領(lǐng)域廣泛發(fā)展奠定了堅實的基礎(chǔ)；文獻(xiàn)[17]提出一種基于子集模擬(subset simulation, SS)的可靠性分析方法，為解決小概率失效問題提供了一種可行的途徑；文獻(xiàn)[18]考慮變量權(quán)重并保證所選樣本點之間保持一定的距離且分布在極限狀態(tài)方程周圍；文獻(xiàn)[20]引入了K-Means 聚類算法考慮變量之間的相關(guān)性問題；文獻(xiàn)[21]連接極限狀態(tài)方程兩側(cè)異號的特定樣本點，再在此直線上隨機(jī)產(chǎn)生n個樣本點，尋找最佳候選樣本點。雖然以上方法都在一定程度上提升了可靠性分析的效率，但很少關(guān)注代理模型更新過程中的抽樣區(qū)域問題；鑒于此，本文通過 3σ準(zhǔn)則、歐式距離確定代理模型更新過程中的抽樣區(qū)域，避免因?qū)κЦ怕守暙I(xiàn)較小的區(qū)域持續(xù)抽樣而造成計算資源的浪費，提高了可靠性分析的效率。另外，通過改變抽樣區(qū)域帶寬，該方法也可用于解決結(jié)構(gòu)可靠性分析中的小失效概率問題。

1 Kriging 模型

Kriging 模型(高斯過程回歸)是起源于地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)的一種插值方法，不僅可以估計樣本點響應(yīng)的均值，還可以表征估計結(jié)果不確定程度，目前在可靠性領(lǐng)域已得到廣泛的應(yīng)用。Kriging 模型通常分為線性回歸部分和隨機(jī)過程部分，其數(shù)學(xué)模型可表示為[22]：

2 代理模型更新與抽樣策略

構(gòu)建高效的代理模型，樣本點的選取策略是關(guān)鍵。設(shè)計空間不同區(qū)域的樣本點對失效概率的貢獻(xiàn)不一樣，因此在代理模型構(gòu)建過程中，若在貢獻(xiàn)較小的區(qū)域過多的選取樣本點，或貢獻(xiàn)較大的區(qū)域過少的選取樣本點，都會影響代理模型的構(gòu)建效率和精度；再者，依據(jù)傳統(tǒng)的AK-MCS 方法選取樣本點，同樣避免不了對失效概率貢獻(xiàn)較小的區(qū)域過多的選取樣本點?；诖砟Ｐ偷慕Y(jié)構(gòu)可靠性分析中，為了提高所構(gòu)建模型的建模效率和精度，需構(gòu)建特定的抽樣區(qū)域，該區(qū)域的樣本點相對其他區(qū)域樣本點對失效概率有較大的貢獻(xiàn)。因此，所選樣本點應(yīng)分布在極限狀態(tài)方程附近；再構(gòu)建抽樣特定區(qū)域，通過選取該區(qū)域內(nèi)的樣本點對代理模型進(jìn)行更新。分析如下。

圖1 U 方程選取的3 類樣本點

2)蒙特卡洛抽樣的樣本分布情況如圖2 所示(如變量服從高斯分布)，對于結(jié)構(gòu)可靠性分析中的小概率失效問題，設(shè)計空間的最優(yōu)樣本點往往存在于蒙特卡洛抽樣樣本分布的邊緣部分，如圖3 中紅色虛線之間的藍(lán)色樣本點；假設(shè)有1×106個樣本服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，且失效概率的數(shù)量級為10-3，由3σ準(zhǔn)則可得，分布在各個區(qū)間的樣本量數(shù)目如圖4所示，并且隨著區(qū)間遠(yuǎn)離原點，區(qū)間內(nèi)的樣本數(shù)量急劇減少。如圖4 所示，即使區(qū)間 [4,+∞)內(nèi)的31.67 個樣本全部落在失效域內(nèi)，對失效概率的貢獻(xiàn)僅僅為10-5數(shù)量級；況且，對于結(jié)構(gòu)可靠性中小概率失效問題，區(qū)間[ 4,+∞)內(nèi)的樣本僅有少量分布于可靠性問題的失效區(qū)域。因此，此區(qū)域的樣本點最終對失效概率的貢獻(xiàn)估計僅為10-6數(shù)量級，甚至更小，可忽略不計。另外，如圖3 所示，外圈紅色虛線外側(cè)的樣本點對模型更新后的準(zhǔn)確率影響較小；同理，內(nèi)圈紅色虛線內(nèi)側(cè)的樣本點對模型更新后的準(zhǔn)確率影響同樣較小。因此，為了避免代理模型更新過程中對失效概率貢獻(xiàn)較小的區(qū)域過多抽樣或?qū)κЦ怕守暙I(xiàn)較大的區(qū)域過少抽樣，圖3 紅色虛線區(qū)域樣本點即為最佳樣本點的目標(biāo)區(qū)域(樣本服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布)。

圖2 蒙特卡洛產(chǎn)生的候選樣本點

圖3 所提方法抽樣策略的抽樣區(qū)域

圖4 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布各區(qū)間內(nèi)樣本點數(shù)量

通過以上優(yōu)化方法在目標(biāo)區(qū)域選取最佳樣本點，代理模型不斷迭代更新，直至滿足收斂條件，見參考文獻(xiàn)[19]。最終求得失效概率，完整的可靠性分析步驟如下。

1) 通過MCS 產(chǎn)生N個樣本點，本文隨機(jī)選擇12 個樣本點，作為設(shè)計空間(design of experiment,DoE)的初始樣本點;

2) 更新DoE 中的樣本點，通過DoE 中的樣本點構(gòu)建更新Kriging 模型，用此模型預(yù)測步驟1) 中N個樣本點的均值和方差；

3) 通過歐氏距離確定環(huán)形抽樣區(qū)域Z；

3 算例分析

表1 幾種方法的精度與效率對比

為了說明建模過程中樣本點的選取、收斂情況，選取了其中一次計算結(jié)果。圖5、圖6 分別為本文方法在構(gòu)建代理模型過程中迭代抽樣示意圖，以及樣本量與失效概率的關(guān)系變化情況。從圖5 中可以看出，本文方法在更新代理模型的過程中避開了對失效概率貢獻(xiàn)較小的區(qū)域抽樣，從而實現(xiàn)抽樣集中在對失效概率貢獻(xiàn)大的區(qū)域。代理模型與極限狀態(tài)方程能較好的擬合。

圖5 本文方法抽樣示意圖

圖6 本文方法樣本量與對應(yīng)的失效概率

圖7、圖8 分別給出了經(jīng)典AK-MCS方法在構(gòu)建代理模型過程中迭代抽樣示意圖，以及樣本量與失效概率的關(guān)系變化情況。從圖5、圖7中不難發(fā)現(xiàn)，在選取相同初始點的情況下，圖5 抽樣的樣本點數(shù)量明顯少于圖7，效率提升明顯。另外，從圖6、圖8 可知，本文方法與AK-MCS 方法均能得到精度較高的結(jié)果，但調(diào)用性能函數(shù)的次數(shù)明顯少于AK-MCS 方法。

圖7 AK-MCS 抽樣示意圖

圖8 AK-MCS 樣本量與對應(yīng)的失效概率

4 結(jié) 束 語

本文基于歐氏距離環(huán)形抽樣，對基于Kriging 代理模型的結(jié)構(gòu)可靠性分析方法進(jìn)行了研究，并用數(shù)值算例驗證了該方法的合理性，結(jié)果如下：

1) 工程中涉及到的性能函數(shù)往往是隱式的，需要通過FEA 計算響應(yīng)值。然而，F(xiàn)EA 非常耗時，因此，基于代理模型的高效結(jié)構(gòu)可靠性分析方法可提升可靠性分析的效率；

2) 本文方法中的環(huán)形抽樣區(qū)域通過歐氏距離進(jìn)行確定，使代理模型在更新過程中避免了對失效概率貢獻(xiàn)小的區(qū)域進(jìn)行重復(fù)抽樣，提升了可靠性分析的效率；

3) 本文方法具有較高的精度和效率，可應(yīng)用于結(jié)構(gòu)可靠性及可靠性靈敏度分析。同時，可通過改變環(huán)形抽樣區(qū)域的大小來提升方法的魯棒性和計算效率。