奇妙的歐拉公式

肖學(xué)軍

請(qǐng)觀察下列幾種簡(jiǎn)單多面體模型，數(shù)一數(shù)這些多面體的頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)和棱數(shù)。

我們將數(shù)出的結(jié)果填入下表中：

請(qǐng)思考：這些多面體的頂點(diǎn)數(shù)（V）、面數(shù)（F）、棱數(shù)（E）之間有什么關(guān)系？

不難發(fā)現(xiàn)，這個(gè)有趣的關(guān)系就是：V+F-E=2。它最早是由18世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)并證明的，因此也被稱為歐拉公式或者歐拉定理。

我們?cè)賮?lái)觀察下面4個(gè)平面圖形：

請(qǐng)數(shù)一數(shù)它們各有多少個(gè)頂點(diǎn)？多少條邊？這些邊圍出了多少個(gè)區(qū)域？

我們將結(jié)果填入下表中：

觀察上表，請(qǐng)思考這些平面圖形的頂點(diǎn)數(shù)（V）、邊數(shù)（F）、區(qū)域數(shù)（E）之間有什么關(guān)系？任意作出一個(gè)圖形試試看。

通過(guò)觀察易知，任何平面圖形的頂點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)及區(qū)域數(shù)之間存在的關(guān)系是：頂點(diǎn)數(shù)+區(qū)域數(shù)-邊數(shù)=1，用字母表示就是： V+E-F=1。

聰明的讀者，你能夠用歐拉公式來(lái)解決下列問(wèn)題嗎？

1. 正二十面體有12個(gè)頂點(diǎn)，那它有 條棱;

2. 一個(gè)多面體的面數(shù)比頂點(diǎn)數(shù)大8，且有30條棱，則它的頂點(diǎn)數(shù)是 ;

3. 某個(gè)玻璃飾品的外形是簡(jiǎn)單多面體，它的外表是由三角形和八邊形兩種多邊形拼接而成，且有24個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)處都有3條棱，設(shè)該多面體表面三角形的個(gè)數(shù)為x個(gè)，八邊形的個(gè)數(shù)為y個(gè)，求x+y的值。

參考答案：1.30;2.12;3.14。

（作者單位：南京師范大學(xué)第二附屬初級(jí)中學(xué)）