臨界平面多軸疲勞壽命估算模型的驗證與評估

王肇喜 ， 白 金 ， 王海東 ， 仇原鷹 ， 李 靜

（1.上海航天精密機械研究所，上海 201600；2.西安電子科技大學 機電工程學院，西安 710071）

0 引言

通常，將材料的多軸應變疲勞壽命估算模型分為3 類：第一類是靜態(tài)屈服理論在復雜應力狀態(tài)下的延伸即等效應變模型，第二類是基于塑性功理論的應力?應變乘積模型，第三類是基于臨界平面上的應變或應力?應變組合模型[1-8]。這些模型分別建立在不同的多軸疲勞破壞準則上，文獻[9-15]先后回顧并評述材料的多軸疲勞破壞準則?？偟膩碚f，等效應變法雖然在對比例加載下的多軸疲勞壽命預測表現(xiàn)出較好的預測效果，而在非比例加載下，由于應力?應變主軸旋轉(zhuǎn)，一般不能給出較好的預測結(jié)果；但是由于等效準則簡單實用，只需要測出一種應力條件下（如單軸拉壓）的疲勞曲線，就可以預測各種多軸條件下的疲勞壽命，因此在工程實際中應用較為廣泛。對于基于塑性功理論的壽命預測模型，雖然在某些情況下能成功描述材料的疲勞問題，但是塑性功是標量，不能反映裂紋萌生和擴展的優(yōu)先平面。與等效應變法和塑性功理論方法相比，基于臨界平面理論定義裂紋萌生和擴展的優(yōu)先平面，具有一定的物理意義，但是臨界平面的定義、損傷參量的選擇、表達形式的構(gòu)建等都會影響模型壽命預測結(jié)果的精度。文獻[1,6-8,16-20]也分別利用不同臨界平面模型估算不同材料不同情況下的多軸應變疲勞壽命；然而，對于同一對象不同模型估算結(jié)果的對比，或者不同對象同一模型估算結(jié)果與試驗結(jié)果的對比，研究報導較少。

考慮到臨界平面模型眾多但篇幅所限，本研究僅限于對比分析不同常用臨界平面模型的估算結(jié)果，并對其進行討論，在此基礎(chǔ)上，指出今后應該研究的問題。利用不同類型材料、不同形狀試件的多軸疲勞試驗數(shù)據(jù)，對常用臨界平面模型進行試驗驗證，并分析各模型的優(yōu)缺點和適用性，為基于臨界平面理論壽命預測模型的工程應用提供理論支撐。

1 估算多軸疲勞壽命的臨界平面模型

疲勞失效的主要原因是臨界剪切面上的交變剪應力，次要原因是垂直于該平面的正應力，同時，材料屬性、應力狀態(tài)、工作環(huán)境及應變幅值等也對疲勞有影響；因此，F(xiàn)indley[21]提出臨界平面的概念，Brown-Miller[22]進一步發(fā)展這一概念，并根據(jù)疲勞裂紋形成的機理進行物理解釋。Brown-Miller 從試驗中發(fā)現(xiàn)，在多軸交變載荷作用下所形成的典型裂紋有2 種?A 型、B 型。對于A 型，中間主應變ε2垂直于自由表面，裂紋為沿著表面擴展的淺長裂紋；對于B 型，最小主應變ε3垂直于自由表面，裂紋向縱深方向擴展。2 種可能的裂紋起始形式根據(jù)不同的損傷參量，可以得到不同的臨界平面損傷模型，典型的有如下6 種：

1）剪應變模型。其定義具有最大剪應變幅平面為臨界平面，以Δγmax/2 為損傷參量，相應的應變壽命關(guān)系為[23]：

其中，νe、νp分別是彈、塑性泊松比。和分別為疲勞強度系數(shù)和疲勞延性系數(shù)，b、c 分別為疲勞強度指數(shù)和疲勞延性指數(shù)。 Δγmax是最大剪應變范圍，E 是彈性模量，Nf疲勞壽命。

2）Wang-Brown 模型。Wang 等考慮平均應力影響，引入法向應變變程提出以下壽命估算模型[5]：

其中：S 為材料常數(shù)， A=(1+νe)+(1?νe)S ，B=(1+vp)+(1?vp)S ，S 值缺乏時可取為0.3； σnm是臨界平面上的法向平均應力。

3）SY 模型。尚德廣等[8]認為，Brown-Miller 所提出的臨界平面法的一般形式為法向應變與剪切應變分量經(jīng)過一個加權(quán)后的代數(shù)和，從連續(xù)介質(zhì)力學的觀點來看是很難給出物理解釋的，且其中常數(shù)有時并不是固定不變的，因而估算多軸疲勞壽命有時會產(chǎn)生很大的誤差。他們認為，如果將臨界平面定義為具有最大剪切應變的平面中具有最大法向應變的平面，其面上的最大剪切應變幅是疲勞損傷的真正驅(qū)動力，利用von-Mises 準則將臨界平面上 Δ γmax和法向應變變程兩參數(shù)合成一個等效應變幅，則可得到一個拉伸形式的多軸疲勞損傷參量，并用其作為臨界平面上的損傷控制參量，表達式為：

4）Fatemi-Socie 模型。Fatemi 等[2]認為合適的損傷參量應同時考慮正應力和剪應變的影響，提出以下模型：

其中： Δ γmax、σn,max分別為臨界平面上的最大剪應變范圍和最大法向應力，σy是屈服強度，G 是剪切模量，σn,max考慮非比例加載所引起的附加硬化的影響，材料參數(shù)k 反映不同材料的正應力對疲勞壽命影響的敏感程度，k 值缺乏時可取為1。和分別為剪切疲勞強度系數(shù)和剪切疲勞延性系數(shù)，b0和c0分別為剪切疲勞強度指數(shù)和剪切疲勞延性指數(shù)。

5）Smith-Watson-Topper 模型。Socie 對Smith-Watson-Topper 模型[4]進行修正，定義最大正應變幅平面為臨界平面[24]。該模型認為在多軸情況下，最大法向應力 σmax與最大正應變幅 Δεmax/2的乘積是一個合理的損傷參量，表達式為：

6）Brown-Miller 準則。Brown 和Miller[22]認為最大剪應變幅和最大剪應變面上的法向應變幅的線性組合是一個合適的損傷參量。Socie[24]用臨界平面上的法向平均應力 σnm對BM 模型進行修正，得到如下關(guān)系：

2 模型驗證及評述

2.1 模型驗證

引用1045HR 鋼[2]、45 鋼[25]、S460N 鋼[26]3 種材料在各種比例和非比例加載路徑下的疲勞壽命試驗數(shù)據(jù)對Sines 和Ohgi 提出的最大剪應變準則[23]（SO 準則）、Wang-Brown 準則[5]（WB 準則）、尚德廣準則[8]（SY 準則）進行評估。引用AISI316 不銹鋼[18]，LY12CZ 鋁合金[27]多軸疲勞試驗數(shù)據(jù)對Fatemi-Socie 準 則[2]（ FS 準 則） 、 Smith-Watson-Topper 準則[4,24]（SWT 準則）以及Brown-Miller 準則[22,24]（BM 準則）進行驗證。其中，前3 種材料均為薄壁圓管試件，后2 種材料均為缺口試件，材料參數(shù)分別見表1、表2，驗證結(jié)果見圖1。缺口材料的應力應變計算結(jié)果取自文獻[28]。

由圖1a～圖1c 可以看出，最大剪應變準則、SY 準則、WB 準則對45 鋼的預測結(jié)果基本分布在2 倍因子以內(nèi)。對1045 鋼、S460N 鋼比例加載下的預測結(jié)果也比較準確，基本位于2 倍因子以內(nèi)，但是對其非比例加載下的預測結(jié)果，大部分都偏于危險一側(cè)，相比較而言，SY 準則偏于危險一邊的程度要小一些。

由圖1d～圖1f 可以看出，BM 準則對AISI316不銹鋼的預測結(jié)果偏于危險一側(cè)，而對LY12CZ鋁合金的預測結(jié)果卻比較保守。FS 模型不論對AISI316 不銹鋼還是對LY12CZ 鋁合金，預測結(jié)果都比較理想，大多數(shù)預測結(jié)果都位于3 倍誤差帶以內(nèi)。SWT 準則不管對AISI316 不銹鋼還是對LY12CZ 鋁合金，預測結(jié)果都過于保守，所有預測結(jié)果都位于3 倍因子以外。

其中，NP是預測壽命，NT是試驗壽命，n 為壽命個數(shù)。各疲勞壽命估算模型在比例和非比例加載下的預測結(jié)果平均誤差因子見表3、表4。

由表3、表4 可以看出，對于薄壁圓管試件，比例加載下各疲勞壽命估算模型預測精度都比較令人滿意，相比之下，在非比例加載情況下預測結(jié)果就比較差。對于缺口試件，SWT 模型估算壽命與試驗壽命相差甚遠，最大偏差達到126 倍因子；BM 模型的預測結(jié)果次之，最大偏差達到5.43 倍因子；FS 模型的預測結(jié)果最優(yōu)，最大偏差為2.42倍因子。綜合所評估的6 種臨界平面模型而言，F(xiàn)S 模型可以給出較好的預測結(jié)果。

表1 材料的力學性能Table 1 Mechanical properties of the materials

表2 材料的單軸疲勞性能Table 2 Uniaxial fatigue properties of the materials

圖1 模型試驗驗證Fig.1 Model test verification

表3 應變疲勞壽命估算模型對光滑試件預測誤差比較Table 3 Comparison of prediction errors of strain fatigue life estimation models for smooth specimens

表4 應變疲勞壽命估算模型對缺口試件預測誤差比較Table 4 Comparison of prediction errors of strain fatigue life estimation models for notched specimens

2.2 模型評述

利用5 種材料對6 種常用臨界平面壽命預測模型進行驗證可以發(fā)現(xiàn)，對于同一對象，不同模型的估算結(jié)果相差較大；而對于不同對象，同一模型的估算結(jié)果有時低于試驗結(jié)果，有時卻高于試驗結(jié)果。不同壽命預測模型估算壽命合理與否，一方面取決于預測模型中的疲勞損傷參量是否有效，另一方面也取決于預測模型的表達形式是否合理。

對于SO 模型、SY 模型和WB 模型，圖1a～圖1c 可以看出非比例加載下的壽命預測結(jié)果都偏于危險一側(cè)。原因在于，這3 種模型的疲勞損傷參量都是基于應變，沒有考慮應力對疲勞損傷的影響；因此，這3 種模型都不能很好地反映非比例加載引起的附加強化現(xiàn)象對疲勞壽命的影響。已有研究[2,24]表明，相同等效應變下，非比例加載引起的附加強化現(xiàn)象會大大縮短材料的疲勞壽命。由于SO 模型、SY 模型和WB 模型對非比例附加強化現(xiàn)象反映的不夠充分，因此非比例加載下通常會給出偏于危險的預測結(jié)果。

另外，對比式（2）、式（3）左側(cè)可以發(fā)現(xiàn)，對于SY 模型、WB 模型而言，兩者引入的疲勞損傷參量相同，但是模型的表達形式不同。由此導致二者具有不同的疲勞壽命預測結(jié)果，見圖1b、圖1c。整體而言，非比例加載下SY 模型的預測結(jié)果要優(yōu)于WB 模型的預測結(jié)果。原因在于，WB 模型采用臨界平面上的法向應變變程與剪切應變范圍經(jīng)過一個加權(quán)后的代數(shù)和，從連續(xù)介質(zhì)力學的觀點來看是很難給出物理解釋。與之相比，SY 模型利用Von-Mises 準則將臨界平面上的法向應變變程與剪切應變范圍合成一個等效的損傷參量更為合理；由此可知，選擇何種表達形式來描述材料的疲勞損傷是十分重要的。

對于BM 模型、FS 模型、SWT 模型，3 個模型中的損傷參量都引入應力項；因此，與SO 模型、SY 模型和WB 模型相比，這3 個模型在某種程度可以更好地反映非比例附加強化現(xiàn)象對疲勞壽命的影響。但是，由圖1d、圖1f 可以看出，BM 模型、SWT 模型的預測結(jié)果并不理想，原因主要有以下幾個方面：

由式（6）可見，BM 模型的損傷參量中引入臨界平面上的法向平均應力σnm來反映平均應力對材料疲勞壽命的影響。本研究中采用的1045HR鋼[2]、45 鋼[25]、S460N 鋼[26]3 種材料，不管是比例加載工況還是非比例加載工況，都不存在明顯的平均應力；因此，對這3 種材料而言，在文獻[2,25-26]的加載工況下，臨界平面上的平均應力σnm近似為0。此時，BM 模型與材料常數(shù)S=1 時的WB 模型相類似，也不能很好地反映材料的附加強化現(xiàn)象。由圖1d 可見，BM 模型一方面高估AISI316不銹鋼的疲勞壽命，另一方面又低估LY12CZ 鋁合金的疲勞壽命。驗證結(jié)果表明，臨界平面上的法向應變范圍與剪切應變范圍的代數(shù)和并不是一個合適的多軸疲勞破壞準則。

對于SWT 模型，Socie[24]指出該模型適用于拉伸型破壞材料；但是，試驗發(fā)現(xiàn)不管是AISI316不銹鋼還是LY12CZ 鋁合金，都是剪切型破壞材料。這是造成SWT 模型預測結(jié)果不理想的重要原因之一。對于FS 模型（圖1e），不管是AISI316不銹鋼還是LY12CZ 鋁合金，都給出較為理想的預測結(jié)果。Fatemi 等[2]指出，F(xiàn)S 模型用于剪切型破壞材料。因此，F(xiàn)S 模型的適用范圍與AISI316不銹鋼和LY12CZ 鋁合金的開裂形式相一致。這是FS 模型預測結(jié)果比較理想的原因之一。材料發(fā)生疲勞斷裂之后，根據(jù)材料斷口的形貌特征，能夠確定材料的開裂形式，但是疲勞裂紋開裂形式不僅與材料類型有關(guān)，而且還與試驗溫度、加載幅度、加載路徑等因素有關(guān)[24]，判斷在什么樣的工況下材料屬于剪切型開裂，什么樣的工況下材料屬于拉伸型開裂，目前尚未有明確的判斷準則。由圖1e、圖1f 的試驗驗證結(jié)果可知，根據(jù)加載工況判斷材料的開裂方式，對于合理選擇疲勞壽命預測模型，提高疲勞壽命預測的可靠性至關(guān)重要。因此，借助試驗手段，進一步研究疲勞裂紋開裂形式與材料類型、試驗溫度、加載幅度、加載路徑等因素之間的關(guān)系，對于選擇合適的多軸疲勞壽命預測模型，提高模型的預測精度，具有重要意義。

3 結(jié)論

1）對同一對象，不同模型的估算結(jié)果相差甚遠，而對于不同對象，同一模型的估算結(jié)果有時低于試驗結(jié)果有時卻高于試驗結(jié)果，是由于所驗證的6 種模型都是特定材料在特定載荷狀態(tài)下的產(chǎn)物，損傷參量及其中的修正系數(shù)都是對特定材料及特定載荷狀態(tài)而言的。

2）對于6 種常用臨界平面模型，比例加載下大多可以給出較好的預測結(jié)果，但是非比例加載下，各模型的預測結(jié)果差異較大。綜合看來，F(xiàn)S 模型對于剪切型開裂材料具有較好的預測精度；但是，目前如缺乏多軸疲勞試驗數(shù)據(jù)，材料的開裂形式難以準確判斷，進一步研究能有效預測多軸非比例疲勞壽命的預測模型仍具有重要意義。